相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案Word格式.docx

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ECAs'

CFB；

（2）若SE=3,设AB=x.BF=y,求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值

范困.

如怪I,四边形ABCD中，AC平分乙ZL4B,乙ADC=

LACB=90%E为AB的中点，

AC2=AB力D；

（2）求证：

\AFD7CFE・

8.如图，在四边形ABCD中ME//DC,BC>

AD,乙D=90。

，4C丄3C,AB=10cm,BC=6cm,F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以lcm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为/秒（0VtV5）.

AACD^ABAC；

（2）求DC的长；

（3）试探究：

BEF可以为等腰三角形吗？

若能，求/的值；

若不能，请说明理由.

（4）

1若BC=12,求线段BE的长；

2若"

FC的而积是20,求△加C的面积.

10.小玲用下而的方法来测量学校教学大楼AB的髙度：

如图，在水平地面上放一面平而镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面髙度DC=1.6米.请你帮助小玲讣算出教学大楼的髙度AB是多少米？

・

答案和解析

1.【答案】解：

⑴证明：

由题意可知"

=乙8=ZGC1F=90°

・•・乙BFC±

+乙BC[F=90°

MC±

G+ZBQF=90°

•"

-乙BFGl=GiG、

・•・△BC'

Fs、AGC^・

（2）・・・6\是AB的中点，AB=6.

••-AC^=BC]=3,

•・・CF=C]F,・•・C1F=BC-BF=9-BF,

・・・乙B=90°

・・・BF2+BCf=ClF2,

RPBF2+32=（9-FF）2,解得BF=4,

由

（1）得△AGCl^Abc±

f,

AG_AClAG3

…iq_bF*•••V—

解得4G=?

4

【解析】本题考查相似三角形的判泄与性质、矩形的性质、翻折变化.解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答.

（1）根据题意和图形可以找岀△BC\F7力GC1的条件，从而可以解答本题：

（2）根据勾股定理和

（1）中的结论可以求得AG的长.

2.【答案】证明：

（1）•••四边形ABCD为正方形，

aAB=AD.乙BAD=90。

・・・BE丄AP.DF丄AP9

・・・£

.BEA=£

AFD=90°

•・・乙1+乙2=90。

，乙2+乙3=90°

・•・Z1=乙3.

Z.BEA=乙AFD,

Z1=Z3,

AB=DA9

在△力EEH】2\ZL4F中，

MABEW'

DAF,

・•・BE=AF.

・•・EF=AE-AF=AE-BE.

筈=务而肋=EE・

BE_DF

BFAD

BE_BF"

DFAD

・•・Rt△BEF^Rt△DFA.

・•・乙4=乙3・•・•Z1=乙3,・•・Z4=Zl.

•・・乙5=Zl,・•・乙4=Z.5.

即BE平分,而BE丄EP,

【解析】本题主要考査了相似三角形的判左与性质：

在判泄两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.也考査了全等三角形的判肚与性质和正方形的性质.

（1）利用正方形的性质^AB=AD,/.BAD=90°

，根据等角的余角相等得到Z1=Z3,则可判断△朋陀△»

，，则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论：

（2）利用竺=氏和MF=8E得到生=—,则可判泄肮△BEF^Rt△DF4所以乙4=乙3,

vzBFADDFAD

再证明乙4=乙5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP.

3.【答案】解：

⑴相似.

理由：

设正方形的边长为心

AC=\fa2+a2=>

/2a，

••耸=警=晶4去=晶

ACCG

•••五=药'

・・・MCF=乙ACF,

・•・△ACF^LGCA；

（2）r\ACF~\GCA、

・•・Z1=乙CAF,

・・・ZC>

1F+Z2=45%

・・・Z.l+Z2=45°

【解析】

（1）设正方形的边长为“，求出AC的长为返a，再求出△力CF与厶GC4中夹"

CF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判ACF与AGCA相似：

（2）根据相似三角形的对应角相等可得乙1=乙G4F,再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，乙2+乙C4F="

C8=45。

，所以乙1+乙2=45。

本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判左和相似三角形对应角相等

的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键.

4.【答案】

（1）证明：

•••四边形ABCD是平行四边形,.-.AB//CD,AD//BC,

・•・乙C+乙3=180°

Z-ADF=厶DEC.

・・•ZJ1FD+£

AFE=180%£

AFE=乙3,

・••£

AFD=乙C・

・•・△ADF^ADEC・

（2）解：

・••四边形ABCD是平行四边形,••・CD=AB=&

由⑴知△仙25DEC,

AD_AF

DE—CD

...D*讐二辔在中，由勾股泄理得：

AE=pDE2_AD2=6・

（1）根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：

HADF7DEC；

⑵由bADFs'

DEC,得比例，求出DE的长.利用勾股立理求出AE的长.

此题考査了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判立与性质是解本题的关键.

5.【答案】解：

•••CD//AB.

・•・△ECDt

CD

AB

・・・FG//AB.

・•・△HFGs'

HAB,

FG

■―■

■■——

f即朋BQ+5+4②'

由①②得岛=缶，解得BD"

L7・•・—=AB

=—,解得月3=10.2.15+3

答：

路灯A离地而的髙度为10・2m・

【解析】根据相似三角形的判迄由CD//AB得厶EAB7ECD,利用相似比有三=虫亍

AB3+3D同理可得器=莎鼻，然后解关于AB和BD的方程组求出AB即可.

本题考査了相似三角形的应用：

利用影长测量物体的髙度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物髙与影长的比相等”的原理解决.

6.【答案】

（1）证明:

沁ABC为等腰直角三角形，MCB=90。

・・・AC=BC.

・・・Z.CAB=乙CBA=45%

・・・ZLCAE=180°

-45°

=135°

同理乙CEF=135%

・•・乙C4E=厶CBF,

•・・乙ECF=135%MCB=90°

・・・LECA+乙BCF=45%

•・・乙ECA+Z.E=乙CAB=45°

・•・乙E=乙BCF,

•・・Z.CAE=乙CBF,・•・△ECA®

、CFB\

-AB=x,ZLCAB=45°

乙ACB=90。

AC=BC.

.・•sin45°

=吕

・・•由

（1）^IAECAfCFB,

12

・・*=严

x的取值范用是尤＞0,

即y与兀之间的函数关系式是y二土疋.x的取值范围是兀＞0.

（1）根据等腰直角三角形性质求岀^CAE=乙CBF=135%求出乙EC4+乙BCF=

45%乙E+乙力CE=45。

，推岀厶E=/BCF,即可推出两三角形相似：

（2）根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数左义求岀AC和BC长，根拯两时间相似得出比例式，代入即可求岀答案.

本题考査了相似三角形的性质和判左，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的左义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力.

7.【答案】⑴证明:

：

AC平分乙DAB,

乙DAC=厶CAB»

・・•£

ADC=MCB=90。

，

・•・△ADC^AACB,

・•・AD：

AC=AC：

AB.

aAC2=AB•力D；

（2）证明：

•••£

为AB的中点，

・・・CE=BE=AE.

・••乙EAC=厶ECA,

・・•乙DAC=乙CAB,

・•・乙DAC=乙ECA,

・••CE//AD,

・•・△AFD^CFE・

（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；

（2）根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE,根据等腰三角形的性质得到^EAC=

乙EG4,推出AD//CE即可解决问题；

本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判左，掌握相似三角形的判左立理和性质左理是解题的关键.

8.【答案】

•••CD/A48,

Z.BAC=Z.DCA

又4C丄BC,Z.ACB=90°

Z.D=Z.ACB=90°

ACD^-^BAC:

在△力3C中，AC=y/AB2-BC2=8^

由

（1）知，4ACD7BAC,

，.兰=竺,

ACBA

即兰=

8

解得：

DC=6.4；

（3）能・由运动知，BF=2t,BE=t,

"

FB若为等腰三角形，可分如下三种情况：

1当BF=BE时，10-2t=t,解得七二牛秒.

2

当EF=EB时，如图，过点E作的垂线,为G,

贝IJBG=^BF=^（10一2。

•此时△BEGs\BAC・••竺=竺,即匸-抽0-2»

ABBCiq6

@2

t=f：

3当FB=FE时，如图2,过点F作AB的垂线，垂足为H

则=-BE=坯•此时△BFHfBAC

22

・BF=叩10-2t_士

••ABBC‘」=

心菩综上所述：

当、EFB为等腰三角形时，『的值为丰秒或罟秒或菩秒.

【解析】⑴利用平行线判断出乙BAC=2CA,即可得岀结论；

（2）先根据勾股左理求出M=8,由⑴知，得岀靠=缶，即可得岀结论：

（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得岀比例式建立方程求解即可得岀结论.

此题是相似形综合题，主要考査了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键.

9.【答案】

•:

DE11AC、•••Z.DEB=乙FCE,

・・・EF//AB.

・•・乙DBE=厶FEC,・•・△BDEs\EFC；

①•••EF/A48,

BEAF1

■——

■■———,ECFC2

・・・EC=BC-BE=12—BE,

BE1

:

•=_>

12-BE2

BE=4;

②喰

FC2

・・•EF//AB,・•・△EFCs\BAC9

••鬻=倉弋）=,

S^ABC=

99

=4EFC=tX20=45.

（1）由平行线的性质得出厶DEB="

CE,厶DBE="

EC,即可得出结论；

（2）①由平行线的性质得出篇=等=扌，即可得岀结果；

②先求出务=p易证△EFC7BAC,由相似三角形的而积比等于相似比的平方即可得岀结果.

本题考査了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识：

熟练掌握相似三角形的判

定与性质是解题的关键.

10.【答案】解：

根据题意可得：

乙AEB="

ED,乙BAE=ZDCE=90。

・•・△ABEs△CDE,

ABAE

■=t

CDCE

AB_21

-eL6~2S*

・・•AB=13.44（米）・

教学大楼的髙度AB是13.44米.