弹性地基梁的计算Word格式.docx
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(3-9)
将上式代入式(3-9),则得
(3-10)
2.挠度曲线微分方程的齐次解
解的一般形式为:
(3-11)
y=chaxcosax+C2chaxsinax+C3sharcosax+C4shaxsinax在上式中引用了
shax=chax=
2,2
3.2按文克尔假定计算短梁
1.初参数和双曲线三角函数的引用
图示一等截面基础梁,设左端有位移儿,角变九、弯矩和剪力它们的正方向如图中所示。
求式(3-11)的各阶导数,并应用梁左端的边界条件,注意当兀=0时ch^=cosO¥
=l,shar=sin«
x=Oo得到:
%=^(C+C3)
M{)=-2EJa2C4
C()=2EJa3(-C2+C3)
解以上四式,求出
ci=>
C2=7~^0-
2a4aEJ
C3=丄&
o+
1
2a2EJ
M()
(3-12)
=_纲
图3-2
这样,将式(3-11)中的四个常数Ci至G用儿、九、M。
和0。
表达。
将式(3-12)代入式(3-11)中,变为
_久丄
$=>
0ch盃cos处+2a(ch盃sin血+sh盃Cos处)
m()——!
——2<
——!
——
2a^EJsh^sin^v—4aEJ(chsin<
^
一shatcos处)(3-13)
为了计算方便,引用下列记号:
©
二chavcos处
池=ch*sinar+sh血cos处(3-14)
血二sha^sinar
久=chctxsinax-sh*COs处
其中0、©
2、海、孙叫做双曲线三角函数。
这四个函数之间有如下的关系:
_d(p{
a(ox)
(3-15)
=GLdxd(ai)
——-=a—=a(p^
dxd(ax)
仏a如=2吗
dxcl(ax)
将式(3-14)代入式(3-13)并按式(3-7)消去EJ,再按式(3-5)逐次求导数,并注意式(3-15),则得以下各式:
门12a2八a
y=>
o^i+&
o石©
2--^7-^3-Qo—^4
&
=_儿明+&
(®
_m0电-◎-Co电-血
KK
Kk1
M=儿厂03+%厂久+Mu©
+Q{}—(P2
(3-16)
2a4a2a
Kk
Q=儿兀严2+&
()无T03-M(s+Qq(P\
2荷载引起的阳加项〜
(1)集中荷载P引起的附加项
将座标原点移到荷载P的作用点。
因为仅考虑P的作用,故在它的作用点处的四个初参数为
儿|==0&
*=(),MXi=0QXi=-P
用儿,兀、“勺和©
代换式(3-16)中的儿、%、M。
与0则得
八2a,
(3-17)
6,=—^3a(.t-x,)
M=_£
p02如如
Q=-p<
Pia(x-Xl)
式(3-17)即为荷载P引起的附加项。
式中双曲线三角函数件、厲、叭、久均有下标°
(兀-坷),表示这些函数°
(兀-坷)随变化。
当求荷载P左边各截面的位移,既角变,弯矩和剪力时只用式(3-16)即可,不需用式(3-17),因此,当<
'
1时式(3-17)不存在。
(2)力矩M引起的附加项
当梁只作用着力矩M时,将座标原点移到力矩M的作用点,此点的四个初参数为
儿广0比=0,MXi=MQX1=0
用儿2、乞2、M©
Qx2,代换式(3-16)中的儿、九、M。
、。
。
就得力矩M弓|起的附加项如下:
2小“
y=
K
(3-18)
式中0.02、%、久均有下标ad•-兀2),表示这些函数随a(x-£
)变化。
当x<
x2时式(3・18)不存在o
(3)分布荷载q引起的附加项
设求座标为a(x-x4)截面的位移、角变、弯矩和剪力。
将分布荷载看成是无限多个集中荷载qdm代入式(3-17),得
y=v「“心曲K旳
(3-19)
0=半-「叽-“如KW
在式(3-⑼中®
、02、必、久随a(x-u)变化。
如视x为常数,则d(x~u)=-du•考虑这一关系,并注意式(3-15),得下列各式:
_1d
=Sag、
adu
(3-20)
0ia(.j=
将以上各式代人式(3-19),再施用部分积分,则得
(3-21)
03心)=
duJJ式(3-21)就是求分布荷载q的附加项的一般公式。
(a)梁上有一段均布荷载的附加项(图3-3):
dq
这时q=q.du=0,代入式(3-21)得附加项为$=2)一)]
Goa
0=[^4a(x-x4>
—^4a(.r-Xj).
M=^r[03a(.F)一03a(f)]
=苍'
[^2a<
x-x4)~02a(x-x3)]
(b)梁上有一段三角形分布荷载的附加项(图3-3):
梁上有一段三角形分布荷载。
在心到入区段内任一点的荷载集度为△g/、
q=(“一勺)
尢一心
dq_\qdux4一x3
将以上关系代入式(3-21),则得
尸祁缶航一勺%“]
+\^2a(x-.u)-02*7)]}
(3-23)
-右bla(.r-.t4)-0aCf)]}
+£
[®
a(.7)一%(.一』
+*[如7一03a(r)]}
在式(3-22)和式(3-23)中,函数0的下标有的为°
(兀-“),在式(3-23)中第一
个方括号内还有乘数("
-勺)。
使用此二式时要注意,当X小于或等于入时,圆括号内的“均应换为X,即*-耳)改为ad),(丸-心)改为(―勺)。
(c)梁的全跨布满均布荷载的附加项(图3-4):
当均布荷载%布满梁的全跨时,则心=0,并且任一截面的座标距大永小于或
等于“。
这样,将式(3-22)中各函数0的下标®
改为兀,则
az=1,©
2a(7=°
%归)=0,^4«
(x-x)=°
由此,得全跨受均前荷载的附加项为’
K4
7叭
0—欽2
(d)梁的全跨布满三角形荷载的附加项(图3-4):
当三角形荷载布满梁的全跨时,心=0,任一截面的座标距兀永小于或等于心。
与推导式(3・23)相同,从式(3・23)得
■
y=Ti[x-
=卫[1_©
]K/L鬥」
Q=_誥严
2a1
(3-25)
式(3-25)就是梁的全跨布满三角形荷载时的附加项。
图3-3图3-4
在衬砌结构的计算中,常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载,根据这儿种荷载,将以上求位移、角变、弯矩和剪力的公式综合写
出如下:
门1」2cr八a
+L~K卩①八“x-X])"
~|.v;
«
M03a(x-.$)
〜2a2
—一儿a久+一M。
〒笑一0—(P.
la2
Xj~77—尸03a(x-X])
A
vVo®
+&
()亍02一M()——(py一0o—^4y=Laka
牙一——02a
2a3
+晋初+善Z田
(3-26)
M=儿P+%缶久+也+°
£
处一券伟一為久TL-||心盹问.7)
Q_儿石02+%寿®
-“冲+0(®
q0M
■石®
一牯®
-||,_p处(FTL曲
式(3-26)中,h—表示附加项只当时才存在,余类推。
例题3-1图3-5所示基础梁,长度/=4m,宽度b=0.2moEJ=1333kN-m2<
地基的弹性压缩系数K=40000kN/m\梁的两端自山。
求梁截面1和截面2的弯矩。
解:
(1)查出双曲线三角函数
因梁宽b=0.2m,故K值须用
K=0.2X40000=8000kN/m2
4EJ
竺L=l・107丄
4x1333m
a=
从表中查出各。
值,见表3・1图3・11
表3・1
x(m)
ax
2
03
%
1.1
3.2
0.7568
2.0930
1.1904
0.8811
3
3.3
4
4.4
-3.6882
1.0702
3.6036
6.3163
-13.4048
-15.5089
-2.1356
11.2272
-13.5180
-51.2746
-38.7486
-26.2460
(2)确定初参数儿、味、M。
、Q由梁左端的边界条件,知。
M°
=0,Qo=0
其它两个初参数儿和弘可用梁右端的边界条件
M=0与Q=0
由式(3-26)确定。
因梁上作用着一段均布荷载q(),故须将式(3-22)迭加到式(3-26)中。
尚须注意:
人i=3m,心二。
,x4=2mo
这样,便可写出下列二式
为^7©
+4—©
恥-勺)]一2卩02恥_.“=°
儿召①+%务吋券Pj=0
将Q值,K值和表3-1中相应的0值代入以上二式中,得
8000x38.74868000x26.2460n20
2x1.1072•°
4x1.1073°
2X1.1072
40x2.0930
[3.6036+38.7486]2x1.107二o
8000x51.2746
2x1.107
8000x38.7486
4x1.1072
20
[1.0702+51.27461-40X0.7568=0
解出
?
u=0.00247m,
^0=-0.0001188o
以上将四个初参数儿、久、M。
、Qo都求出来了。
(3)求截面1与截面2的弯矩
将式(3-22)迭加到式(3-26)中。
集中荷载P的附加项对截面1和截面2的弯矩没有影响。
并注意®
=o,由此,则得
M=)J0+4^704+^rb3a(.F-03a(F.
将Q值,K值、儿、九和表3-1中相应的0值代人上式,算出截面1与截面2的弯矩如下:
@)截面1的弯矩截面1距座标原点x=lm,在均布荷载范围以内,故心应等于%,因此,叫7为零。
截面1的弯矩
8000xl.l904x0.002478000xO.8811x0.0001188
M二一2x1.1072"
4x1.107'
+—[1」904]
2x1.107-=-0.270kN-m
面2的弯矩
8000x2.1356x0.002478000xll.2272x0.0001188
(b)截面2的弯矩截面2在均布荷载范圉以外,故x4=2m,x=3m。
可得截
M
2x1.1072
4x1.107
[1.1904+2.1356]
2x1.1072=
7.957kN-m
3.3按文克尔假定计算长梁
1无限长梁
梁的挠度曲线方程(3-11)乂可写为:
y=ea\A}cosax+A2sinax)+e~ax
x(儿cosax+A4sinax)
当%趋近于00时,梁的y值应趋近于零。
根据这一关系,上式变为
y=(生cosat+A4sinax)(3-28)
再确定常数A3与A4。
依据式(3-5)求y的各阶导数,得
图3-6
0=—=ae~ax[(-A3+A4)cosav-(A3+A4)sinax]dx
j2
M=_EJ—=-EJa2e^ax[2A3sinax-2A4cosax]
(3-29)
Q=-EJ—=-EJa[(九+A4)cosax+2(-A3+比)sinax]dx
在荷载作用点0。
应有
=0
p_
[e]
代人式(3-29),得
—+A4=0
—2EJa3(令4-A4)———
注意式(3-7),解出
l.v-0
将As及A4代入式(3-28)和式(3-29)中,得以下各式:
Pa齐,・、
y=e(cosar+sinav)
2K
aPa'
5・
0=esinax
M=(cosav-sinax)
2a
p
Q=-石严cosav
(3-30)
引用符号0,令
(p、=e^ax(cosax一sinar)
—/XV
(3-31)
(pb=ecosax
4=严'
(cosax+sinax)
—at•08=fsinav
因此,式(3-30)变为
Pay=——©
aPa2
(3-32)
"
L
初p
M=——(p.
2a5、P皆-严
式(3-32)就是计算无限长梁的方程。
其中函数久〜久可以从表中查出,它们之间存在下列关系:
dddod
—(Ps=-2a$〒久=一°
®
=一2°
佟〒%=叫
ax,dx,dxax
用式(3-32)计算图3-6所示的无限长梁,求出地基反力・和&
、M及。
的曲线如图中所示,距离荷载P越远则旷、0、M和。
越小。
计算证明,与荷载P的作用点距离为处=兀处,荷载的影响很小。
因此,给出如下的规定:
当集中荷载P与梁端的距离X满足
ax2兀
时,则可按无限长梁计算。
有的文献中规定,当处豪2・75时即可按无限长梁计算。
例题3-2图3-7所示基础梁,E=2X108kN/nr,J=2500X108m4,梁的宽度b=20cmo地基的弹性压缩系数K=15X104kN/m3,求点B的挠度及弯矩.
(1)判定梁的类别
因梁的宽度b=20cm,故K值须用
K=0.2X15XI04=30000kN/m2根据式(3-7)求出梁的弹性标值Q为
=4=4I彳0000
_\'
4£
7_\I4x2x108x2500x10-8
=0.011—=l.l—
cmm
靠近梁端的荷载至梁端的距离为3.6m,则
^=1.1X3.6=3.86>
2.75
故可按无限长梁计算。
图3-7
(2)查出双曲线三角函数0
将座标原点分别放置于A、B,C、D各点,从表中查岀各©
值见表3・2。
表3-2
荷载至点B的距离
X
lm
2m
ax
1.1
<
Ps
1.0000
-0.1457
-0.1548
07
1.0000
0.4476
0.0244
(3)计算点B的挠度和弯矩
由式(3-32)求出点B的挠度和弯矩为
y=—y(pn(1+2x0.4476+0.0244)
2K厶"
=2x30000=O.OO355m
“PP100
=4x1.1(1-2X0.1457-0」548)=12.59kN.m
M=——y侏4a厶5
2半无限长梁左端的边界条件为(参照图3-8)
[ML_o=M(J,=Qq
代人式(3-29)中则得
2EJa2A4=M°
-2£
Ja3(A3+A4)=(2()
解岀
14M()
2EJa,2EJa
将A3和九代人式(3-28)与式(3-29)中,得
y=——!
_e^ax[-cosax_M0a(cosav_sinax)]
2EJa'
(3-33)
0=——!
―[(20(coso¥
+sinax)+2M()acos空|
2EJor
M=丄e~m[-Q()sinax-M{}a{cosax+sinca)]
Q=一严'
[一a(cosax-sinax)+2M()asinax]
在上式中引用式(3-31)中的各函数0,并注意
a
则变为
(3-34)
M=°
0仇_M%]
=-[-0(心+J
图3-8所示的梁当它的长度I满足
皿"
(或>
2.75)
时,即可按半无限长梁进行计算。
按文克尔假定计算基础梁,区分为三类:
1刚性梁
当梁的长度/符合
al<
—
4(或Wl)
时,地基反力可按直线分布计算。
2长梁
当荷载与梁两端的距离X符合
g"
(或22.75)
时,叫做无限长梁,用式(3-32)计算。
当梁端上作用着集中力和力矩,而梁的长度1符合
田"
时,叫做半无限长梁,用式(3-34)计算。
3短梁
凡不属于刚性梁和长梁类型的就叫做短梁,用式(3-26)计算。
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