世纪金榜课时提升作业四十二 第七章 第一节Word格式文档下载.docx
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①空间中没有公共点的两条直线平行;
②互相垂直的两条直线是相交直线;
③既不平行也不相交的直线是异面直线;
④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.
其中正确命题的序号是_________.
5.(2013·
南通模拟)下列四个条件中,能确定一个平面的有______(填写序号).
①空间中的三点;
②空间中两条直线;
③一条直线和一个点;
④两条平行直线.
6.已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是________.
7.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列命题,其中正确命题的序号是_______.
①P∈a,P∈α⇒a⊂α;
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
8.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在这个正方体中判断MN与DB的位置关系为_______.
9.已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB,CD的中点,则MN_______
(AC+BD)(填“>”“<”或“=”).
10.(能力挑战题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
11.对于四面体ABCD,下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).
①相对棱AB与CD所在直线异面;
②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面;
④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.
12.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O是底面ABCD的中心,点E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为_______.
二、解答题
13.如图,在四面体ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于M,RQ,DB的延长线交于N,RP,DC的延长线交于K,求证:
M,N,K三点共线.
14.(能力挑战题)在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°
,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°
.
(1)求四棱锥的体积.
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
答案解析
1.【解析】∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABCD∩平面ACB1=AC,
平面A1B1C1D1∩平面ACB1=l,∴AC∥l.
答案:
平行
2.【解析】由条件知当平面α,β的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则α,β相交;
若公共点不共线,则α,β重合.故①不一定成立;
②成立;
③成立;
④不成立.
2
3.【解析】∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,
∴M∈β.
根据公理3可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
C和M
4.【解析】没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;
互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;
既不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③④正确.
③④
5.【解析】①错.应为空间中不共线的三点.②错,当两直线异面时不可以.③错,当这个点在直线上时不可以,故只有④正确.
④
6.【解析】若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;
若不共面,则直线AB与CD是异面直线.
平行、相交或异面
7.【解析】当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但aα,
∴①错;
当a∩β=P时,②错;
如图,∵a∥b,P∈b,∴P
a,
∴由直线a与点P确定惟一平面α,
又a∥b,由a与b确定惟一平面β,但β过直线a与点P,∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
【误区警示】解答本题时对平面性质不熟、不善于举出反例是致错的主要原因.
8.【解析】还原这个正方体如图,则MN和DB的位置如图所示.
由□BDNM知MN∥DB.
MN∥DB
9.【解析】如图所示,四边形ABCD是空间四边形,而不是平面四边形,要想求MN与AC,BD的关系,必须将它们转化到平面来考虑.取AD的中点为G,再连结MG,NG,在△ABD中,M,G分别是线段AB,AD的中点,则MG∥BD,且MG=
BD,同理,在△ADC中,NG∥AC,且NG=
AC,又根据三角形的三边关系知,MN<MG+NG,即MN<
BD+
AC=
(AC+BD).
<
10.【思路点拨】以A1D1,EF,CD为棱构造平行六面体解决.
【解析】先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a,b,c,与直线a,b,c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性.无论两两异面的三条直线a,b,c的相对位置如何,总可以构造一个平行六面体ABCD-A1B1C1D1,使直线AB,B1C1,DD1分别作为直线a,b,c,在棱DD1的延长线上任取一点M,由点M与直线a确定一个平面α,平面α与直线B1C1交于点P,与直线A1D1交于点Q,则PQ在平面α内,直线PM不与a平行,设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a,b,c相交.由于点M的取法有无穷多种,因此在空间同时与直线a,b,c相交的直线有无数条.依题意,不难得知题中的直线A1D1,EF,CD是两两异面的三条直线,由以上结论可知,在空间与直线A1D1,EF,CD都相交的直线有无数条.
无数
【变式备选】如图所示,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是________(填序号).
(1)A,M,O三点共线
(2)A,M,O,A1不共面
(3)A,M,C,O不共面(4)B,B1,O,M共面
【解析】连结A1C1,AC,则A1C1∥AC,
∴A1,C1,A,C四点共面,∴A1C⊂平面ACC1A1,
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上.
∴A,M,O三点共线.
(1)
11.【解析】由四面体的概念可知,AB与CD所在的直线为异面直线,故①正确;
由顶点A作四面体的高,当四面体ABCD的对棱互相垂直时,其垂足是△BCD的三条高线的交点,故②错误;
当DA=DB,CA=CB时,这两条高线共面,故③错误;
设AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,M,N,易证四边形EFMN为平行四边形,所以EM与FN相交于一点,易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点,故④正确.
①④
12.【解析】取D1C1的中点G,连结OF,OG,GE.
因为点O是底面ABCD的中心,F为AD的中点,
所以OF
CD,D1G
CD,即OF
D1G.
所以四边形OGD1F为平行四边形.
所以D1F∥GO,即OE与FD1所成角也就是OE与OG所成角.
在△OGE中,
所以GE2+OE2=OG2,即△GOE为直角三角形,所以
异面直线OE与FD1所成角的余弦值为
【变式备选】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是_______.
【解析】如图,取AC中点G,连结FG,EG,则FG∥C1C,FG=C1C;
EG∥BC,EG=
BC,故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),
在Rt△EFG中,
13.【证明】∵M∈PQ,
直线PQ⊂平面PQR,M∈BC,直线BC⊂平面BCD,
∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
即M在平面PQR与平面BCD的交线l上.
同理可证:
N,K也在l上,∴M,N,K三点共线.
14.【解析】
(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PO⊥平面ABCD,
∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,
即∠PBO=60°
在Rt△POB中,
∵BO=AB·
sin30°
=1,
又PO⊥OB,
∴PO=BO·
tan60°
=
,
∵底面菱形的面积
∴四棱锥P-ABCD的体积
(2)取AB的中点F,连结EF,DF,
∵E为PB中点,
∴EF∥PA.
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或补角).
在Rt△AOB中,
AO=AB·
cos30°
=OP,
∴在Rt△POA中,PA=
∴EF=
∵四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°
∴△ABD为正三角形.
又∵∠PBO=60°
,BO=1,
∴PB=2,∴PB=PD=BD,即△PBD为正三角形,
∴DF=DE=
∴
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为
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