223 实际问题与二次函数教学设计Word格式.docx
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教学过程
一、导入新课
在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如抛球、围墙、拱桥跨度等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义.从这节课开始,我们就共同解决这几个问题.
二、新课教学
问题1从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:
m)与小球的运动时间t(单位:
s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?
小球运动中的最大高度是多少?
教师引导学生找出问题中的两个变量:
小球的高度h(单位:
s).
然后让学生计算当t=1、t=2、t=3、t=4、t=5、t=6时,h的值是多少?
再让学生根据算出的数据,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象(可见教材第49页图).
根据函数图象,观察出小球运动的时间是多少时,小球最高?
学生结合图象回答:
这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
教师引导学生求函数的顶点坐标,解决这个问题.
当t=-
=-
=3时,h有最大值
=
=45.
答:
小球运动的时间是3s时,小球最高.小球运动中的最大高度是45m.
问题2如何求出二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值?
学生根据问题1归纳总结:
当a>0(a<0),抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=-
时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(大)值
.
三、巩固练习
探究1用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大?
教师引导学生参照问题1的解法,先找出两个变量,然后写出S关于l的函数解析式,最后求出使S最大的l值.
解:
矩形场地的周长是60m,一边长为lm,所以另一边长(
-l)m.场地的面积S=l(30-l),即S=-l2+30l(0<l<30).
因此,当l=-
=15时,S有最大值
=225.也就是说,当l是15m时,场地的面积S最大.
四、课堂小结
利用二次函数解决实际问题的过程是什么?
找出变量和自变量;
然后列出二次函数的解析式;
再根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
最后在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值.
五、布置作业
习题22.3第1、4题.
第2课时
22.3实际问题与二次函数
(2).
3.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式.
1.根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式.
2.求二次函数y=ax2+bx+c的最小(大)值.
复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学.
探究2:
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;
每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
教师引导学生阅读问题,理清自变量和变量.在这个探究中,某商品调整,销量会随之变化.调整的价格包括涨价和降价两种情况.
(1)我们先看涨价的情况.
设每件涨价x元,每星期则少卖l0x件,实际卖出(300-l0x)件,销售额为(60+x)(300-l0x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润y=(60+x)(300-l0x)一40(300-l0x),即y=-l0x2+100x+6000.
列出函数解析式后,教师引导学生怎样确定x的取值范围呢?
由300-l0x≥0,得x≤30.再由x≥0,得0≤x≤30.
根据上面的函数,可知:
当x=5时,y最大,也就是说,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6250元.
(2)我们再看降价的情况.
设每件降价x元,每星期则多卖20x件,实际卖出(300+20x)件,销售额为(60-x)(300+20x)元,买进商品需付40(300+20x)元.因此,所得利润
y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x),
即
y=-20x2+100x+6000.
怎样确定x的取值范围呢?
由降价后的定价(60-x)元,不高于现价60元,不低于进价40元可得0≤x≤20.
当x=2.5时,y最大,也就是说,在降价的情况下,降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大利润是6125元.
由
(1)
(2)的讨论及现在的销售状况,你知道应如何定价能使利润最大了吗?
学生最后的出答案:
综合涨价和降价两种情况及现在的销售状况可知,定价65元时,利润最大.
三、巩固练习
1.某商场购进一批单价为16元的日用品,经试销发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数,则y与x之间的关系式是,销售所获得的利润为w(元)与价格x(元/件)的关系式是.
2.某商店销售一种商品,每件的进价为2.50元,根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:
在一段时间内,单价是13.50元时,销售量为500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.设每件商品降价x元,总利润为y元,请你写出y与x的函数关系式,并分析,当销售单价为多少元时,获利最大,最大利润是多少?
参考答案:
1.y=-30x+960,w=(x-16)(-30x+960)
2.y=(13.5-x-2.5)(500+200x)=-200x2+1700x+5500,顶点坐标为(4.25,9112.5),即当每件商品降价4.25元,即售价为13.5-4.25=9.25时,可取得最大利润9112.5元.
四、课堂小结
今天你学习了什么?
有什么收获?
习题22.3第8题.
第3课时
22.3实际问题与二次函数(3).
1.根据不同条件建立合适的直角坐标系.
2.将实际问题转化成二次函数问题.
复习二次函数y=ax2的性质和特点,导入新课的教学.
探究3下图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m.水面下降1m,水面宽度增加多少?
教师引导学生审题,然后根据条件建立直角坐标系.怎样建立直角坐标系呢?
因为二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
教师可让学生自己建立直角坐标系,然后求出二次函数的解析式.
如上图,设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2,-2),可得
-2=a×
22,a=-
.
这条抛物线表示的二次函数为y=-
x2.
当水面下降1m时,水面的纵坐标为-3,根据上面的函数解析式可得水面的横坐标为
,-
,据此可求出这时的水面宽度是2
水面下降1m,水面宽度增加2
-4m.
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如左图所示.
根据设计图纸已知:
如右图中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
教师让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题
(1)就是求函数y=-x2+2x+
最大值,问题
(2)就是求右图B点的横坐标.
学生独立解答,教师巡视指导,最后让一两位同学板演,教师讲评.
习题22.3第6、7题.
教案B
同学们好,我们上节课学习了二次函数与一元二次方程,可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.对于某些实际问题,如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画,那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究.
问题从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:
s).然后画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象(可见教材第49页图).
根据函数图象,可以观察到当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.也就是说,当小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45m.
一般地,当a>0(a<0),抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=-
.
教师引导学生参照问题1的解法,先找出两个变量,然后写出S关于l的函数解析式,最后求出使S最大的l值.具体步骤可见教材第50页.
1.已知一个矩形的周长是100cm,设它的一边长为xcm,则它的另一边长为______cm,若设面积为scm2,则s与x的函数关系式是__________,自变量x的取值范围是________.当x等于_____cm时,s最大,为_______cm2.
2.已知:
正方形ABCD的边长为4,E是BC上任意一点,且AE=AF,若EC=x,请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式,并求出x为何值时y最大.
1.50-x,s=x(50-x),0<
x<
50,25,625
2.y=-
x2+4x,当x=4时,y有最大值8.
今天学习了什么,有什么收获?
教学过程
1.探究2:
教师引导学生阅读问题,理清自变量和变量,根据不同情况列出函数关系式.具体步骤见教材第50页.
2.巩固练习
重庆某区地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售,区政府对该花木产品每投资x万元,所获利润为P=-
(x-30)2+10万元,为了响应我国西部大开发的宏伟决策,区政府在制定经济发展的10年规划时,拟开发此花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元,若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路,且5年修通,公路修通后,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每投资x万元可获利润Q=-
(50-x)2+
(50-x)+308万元.
(1)若不进行开发,求10年所获利润最大值是多少?
(2)若按此规划开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(3)根据
(1)
(2)计算的结果,请你用一句话谈谈你的想法.
教师引导学生先自主分析,小组进行讨论.在学生分析、讨论过程中,对学生进行学法引导,引导学生先了解二次函数的基本性质,并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型,借助二次函数的性质来解决这类实际应用题.
(1)若不开发此产品,按原来的投资方式,由P=-
(x-30)2+10知道,只需从50万元专款中拿出30万元投资,每年即可获最大利润10万元,则10年的最大利润为
M1=10×
10=100万元.
(2)若对该产品开发,在前5年中,当x=25时,每年最大利润是:
P=-
(25-30)2+10=9.5(万元).
则前5年的最大利润为
M2=9.5×
5=47.5万元.
设后5年中x万元就是用于本地销售的投资,则由Q=-
(50-x)+
(50-x)+308知,将余下的(50-x)万元全部用于外地销售的投资.才有可能获得最大利润.
则后5年的利润是
M3=[-
(x-30)2+10]×
5+(-
x2+
x+308)×
5
=-5(x-20)2+3500.
故当x=20时,M3取得最大值为3500万元.
∴10年的最大利润为M=M2+M3=3547.5万元.
(3)因为3547.5>100,所以该项目有极大的开发价值.
三、课堂小结
四、布置作业
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点(2,-2),可得这条抛物线表示的二次函数为y=-
当水面下降1m时,水面宽度就增加2
-4m.
一个涵洞成抛物线形,它的截面如右图所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?
是否会超过1m?
分析:
根据已知条件,要求ED的宽,只要求出FD的长度.在如右图的直角坐标系中,即只要求出D点的横坐标.因为点D在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D的纵坐标,所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标.
2.让学生完成解答,教师巡视指导.
3.教师分析存在的问题,书写解答过程.
以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系.
这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为
y=ax2(a<0)①
因为AB与y轴相交于C点,所以CB=
=0.8(m),又OC=2.4m,所以点B的坐标是(0.8,-2.4).
因为点B在抛物线上,将它的坐标代人①,得-2.4=a×
0.82所以
a=-
因此,函数关系式是
y=-
x2②
∵OC=2.4m,FC=1.5m,∴OF=2.4―1.5=0.9(m).
将y=-0.9代入②式得
-0.9=-
x2
解得x1=
,x2=―
涵洞宽ED=2
≈0.98<1.
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