人教版高数必修三第6讲分层抽样教师版Word文件下载.docx
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(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等.
(2)每次抽出个体后不再将它放回,即不放回抽样.
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少.
系统抽样
将总体均分成几部分,按预先确定的规则分别在各部分抽取.
在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.
总体中的个体数较多.
将总体分成几层,在各层中按同一抽样比抽样.
在各层抽样时,采用简单随机抽样或系统抽样.
总体由差异明显的几部分组成.
类型一分层抽样的概念
例1:
(1)如果采用分层抽样,从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本,那么每个个体被抽到的可能性为( )
A.
B.
C.
D.
(2)下列问题中,最适合用分层抽样抽取样本的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125个,中等收入的家庭280个,低收入的家庭95个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
[解析]
(1)根据每个个体都等可能入样,所以其可能性为样本容量与总体容量比,即为
.
(2)A中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样;
C和D中总体个体无明显差异且个数较多,适合用系统抽样;
B中总体个体差异明显,适合用分层抽样.
[答案]
(1)C
(2)B
练习1:
某校高三年级有男生500人,女生400人.为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查,这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法
[答案] D
练习2:
对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2、p3,则( )
A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3
[答案] D
练习3:
某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( )
A.抽签法B.随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法
类型二分层抽样各层中样本容量的计算
例2:
一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A.12,24,15,9B.9,12,12,7C.8,15,12,5D.8,16,10,6
[解析] 由题意,各种职称的人数比为160320200120=4853,所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×
=8,40×
=16,40×
=10,40×
=6.
某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )
A.100B.150C.200D.250
[答案] A
甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测,若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.
[答案]1800
有一批产品,其中一等品10件,二等品25件,次品5件,用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析,则抽样比为________.
[答案] 2:
5:
1
类型三分层抽样的操作步骤
例3:
一个单位有职工160人,其中有业务人员112人,管理人员16人,后勤服务人员32人,为了了解职工的某种情况,要从中抽取一个容量为20的样本,写出用分层抽样的方法抽取样本的过程.
[解析] 分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配,确定各层抽取的个体数之后,可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体.
[答案] 三部分所含个体数之比为112:
16:
32=7:
1:
2,设三部分各抽个体数为7x,x,2x,则由7x+x+2x=20得x=2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4.
对112名业务人员按系统抽样分成14个部分,其中每个部分包括8个个体,对每个部分利用简单随机抽样抽取个体.若将160名人员依次编号为1,2,3,…,160.那么在1~112名业务人员中第一部分的个体编号为1~8.从中随机取一个号码,如它是4号,那么可以从第4号起,每隔8个抽取1个号码,这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.
再用签法可抽出管理人员和服务人员的号码.
将以上各层抽出的个体合并起来,就得到容量为20的样本.
某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:
6,则应从一年级本科生中抽取________名学生.
[答案] 60
某政府机关有在编人员100人,其中科级以上干部10人,科员70人,办事员20人.上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,并写出具体的抽样过程.
[答案] 因为个体差异较大,而且机构改革关系到各人的不同利益,故采用分层抽样法抽取.
抽样过程如下:
第一步,确定抽样比:
=
第二步,确定各层抽取的人数:
从科级以上干部中抽取10×
=2(人);
从科员中抽取70×
=14(人);
从办事员中抽取20×
=4(人).
第三步,在各层中分别用简单随机抽样抽取,抽取科级以上干部2人,科员14人,办事员4人.
第四步,将所抽取的个体组合在一起构成样本.
类型四三种抽样方法的比较
例4:
(2013·
新课标全国Ⅰ)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样
[解析] 由于该地区的中小学生人数比较多,不能采用简单随机抽样,所以排除选项A;
由于该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,可采取按照学段进行分层抽样,而男女生视力情况差异不大,不能按照性别进行分层抽样,所以排除B和D.
[答案] C
在一批电视机中,有甲厂生产的56台,乙厂生产的42台,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本.
[答案]
(1)确定各厂被抽取电视机的台数.
抽样比为
故从甲厂抽取56×
=8(台),
从乙厂抽取42×
=6(台).
(2)用简单随机抽样抽取各厂作为样本的电视机.
(3)合成每层抽样,组成样本.
某社区有700户家庭,其中高收入家庭225户,中等收入家庭400户,低收入家庭75户.为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100户的样本,记作①;
某中学高二年级有12名篮球运动员,要从中选出3人调查投篮命中率情况,记作②;
从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能,记作③.为完成上述三项抽样,则应采取的抽样方法是( )
A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B.①分层抽样,②简单随机抽样,③系统抽样
C.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样
[答案] B
某单位有老、中、青年人各32人,50人,20人,现用分层抽样从三个群体中共抽取20人进行某项调查,问:
老、中、青每组应各抽取多少人?
每人被抽中的机会是否相等?
[答案] 先从老年人中随机剔除2人,余下的三个群体人数比为352,从三组中各抽取人数分别为6人,10人,4人.每人被抽中的机会相等.
1.某市为了了解职工家庭生活状况,先把职工按所从事的行业分为8类(每类家庭数不完全相同),再对每个行业抽取的职工家庭进行调查,这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.不属于以上几类抽样
2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6B.8C.10D.12
3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( )
A.9B.10C.12D.13
4.从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如下表所示.
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )
A.60B.100C.1500D.2000
[答案] A
5.一个单位有职工160人,其中业务人员120人,管理人员16人,后勤服务人员24人.为了了解职工的家庭收入情况,要从中抽取一个容量为20的样本,请确定抽样方法,并简述抽样过程.
[答案] 用分层抽样抽取样本,步骤是:
(1)分层,分成三层:
业务人员120人,管理人员16人,后勤服务人员24人.
(2)确定各层抽取的样本个数,抽样比为
则从业务人员中抽取120×
=15(人).
从管理人员中抽取16×
=2(人).
从后勤服务人员中抽取24×
=3(人).
(3)在各层中分别用简单随机抽样或系统抽样抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
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基础巩固
一、选择题
1.分层抽样适合的总体是( )
A.总体容量较多B.样本容量较多
C.总体中个体有差异D.任何总体
2.某学院有四个饲养房,分别养有18、54、24、48只白鼠供试验用,某项试验需抽取24只白鼠,你认为最合适的抽样方法为( )
A.在每个饲养房中各抽取6只
B.把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽样的方法确定24只
C.在四个饲养房分别随手抽取3、9、4、8只
D.先确定在这四个饲养房应分别抽取3、9、4、8只,再由各饲养房自己加号码颈圈,用简单随机抽样法确定各自要抽取的对象
[解析] 依据公平性原则,根据实际情况确定适当的取样方法是本题的灵魂.A中对四个饲养房平均摊派,但由于各饲养房所养数量不一,反而造成了各个个体被入选几率的不均衡,是错误的方法;
B中保证了各个个体被入选几率的相等,但由于没有注意到在四个不同环境中会产生不同差异,不如采取分层抽样可靠性高,且统一编号统一选择加大了工作量;
C中总体采用了分层抽样,但在每个层次中没有考虑到个体的差异(如健壮程度,灵活程度),貌似随机,实则各个个体被抽取到的几率不等,故选D.
3.某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人,则样本容量为( )
A.7B.15
C.25D.35
[解析] 由题意知,青年职工人数中年职工人数老年职工人数=350:
250:
150=7:
3.由样本中的青年职工为7人,得样本容量为15.
4.(2015·
北京师大附中月考)某橘子园有平地和山地共120亩,现在要估计平均亩产量,按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查,如果所抽山地的亩数是平地亩数的2倍多1,则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为( )
A.45,75B.40,80
C.36,84D.30,90
[解析] 本题考查分层抽样方法.根据条件知所抽山地的亩数为7,所抽平地的亩数为3,则橘子园中山地的亩数为84,平地的亩数为36,故选C.
5.问题:
①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内,其中红色箱子内有500个,蓝色箱子内有200个,黄色箱子内有300个,现从中抽取一个容量为100的样本;
②从20名学生中选出3名参加座谈会.
方法:
Ⅰ.简单随机抽样;
Ⅱ.系统抽样;
Ⅲ.分层抽样.其中问题与方法能配对的是( )
A.①Ⅰ,②ⅡB.①Ⅲ,②Ⅰ
C.①Ⅱ,②ⅢD.①Ⅲ,②Ⅱ
[解析] 对于①,由于箱子颜色差异较为明显,可采用分层抽样法抽取样本;
对于②,由于总体容量、样本容量都较小,宜采用简单随机抽样.
6.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.4B.5
C.6D.7
[解析] 四类食品的比例为4:
3:
2,则抽取的植物油类的数量为20×
=2,抽取的果蔬类的数量为20×
=4,二者之和为6,故选C.
二、填空题
7.防疫站对学生进行身体健康调查.红星中学共有学生1600名,采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是________.
[答案] 760
[解析] 设该校的女生人数是x,则男生人数是1600-x,抽样比是
,则
x=
(1600-x)-10,解得x=760.
8.某地有居民100000户,其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收入家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________.
[答案] 5.7%
[解析] 该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有99000×
+1000×
=5700户,所以所占比例的合理估计是5700÷
100000=5.7%.
三、解答题
9.一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3:
2:
3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?
并写出具体过程.
[探究] 采用分层抽样的方法.
[解析] 因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而应采用分层抽样的方法.具体过程如下:
(1)将3万人分成5层,一个乡镇为一层.
(2)按照各乡镇的人口比例随机抽取各乡镇的样本:
300×
=60(人),300×
=40(人),
=100(人),300×
=60(人).
各乡镇分别用分层抽样抽取的人数分别为60,40,100,40,60.
(3)将抽取的这300人组到一起,即得到一个样本.
10.为了对某课题进行讨论研究,用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:
人)
高校
相关人数
抽取人数
A
x
B
36
y
C
54
3
(1)求x,y;
(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言,应采用什么抽样法,请写出合理的抽样过程.
[解析]
(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的,所以有:
⇒x=18,
⇒y=2,故x=18,y=2.
(2)总体容量和样本容量较小,所以应采用抽签法,过程如下:
第一步,将36人随机的编号,号码为1,2,3,…,36;
第二步,将号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签;
第三步,将号签放入一个不透明的容器中,充分搅匀,依次抽取2个号码,并记录上面的编号;
第四步,把与号码相对应的人抽出,即可得到所要的样本.
能力提升
1.(2015·
石家庄高一检测)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;
在丙地区有10个特大型销售点,要从中抽取7个销售点调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为②,则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次为( )
A.分层抽样法,系统抽样法
B.分层抽样法,简单随机抽样法
C.系统抽样法,分层抽样法
D.简单随机抽样法,分层抽样法
[解析] 由调查①可知个体差异明显,故宜用分层抽样;
调查②中个体较少,故宜用简单随机抽样.
2.某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表所示:
一年级
二年级
三年级
女生
373
380
男生
377
370
z
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( )
A.24B.18
C.16D.12
[解析] 一年级的学生人数为373+377=750,二年级的学生人数为380+270=750,于是三年级的学生人数为2000-750-750=500,那么三年级应抽取的人数为500×
=16.
3.(2015·
河北衡水中学高一调研)某初级中学有270人,其中七年级108人,八、九年级各81人.现在要抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,将学生按年级从低到高的顺序依次统一编号为1,2,…,270.如果抽得的号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
则下列结论正确的是( )
A.②③都不可能为系统抽样
B.②④都不可能为分层抽样
C.①④都可能为系统抽样
D.①③都能为分层抽样
[解析] 因为一、二、三年级的人数之比为108:
81:
81=4:
3,又因为共抽取10人,根据系统抽样和分层抽样的特点可知,①②③都可能为分层抽样,②④不可能为系统抽样,①③可能为系统抽样,故选D.
4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本.
①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,…,99,抽签取出20个;
②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;
③采用分层抽样法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个.从三级品中随机抽取10个,对于上述抽样方式,下面说法正确的是( )
A.不论哪一种抽样方法,这100个零件中每一个个体被抽到的概率都是
B.①②两种抽样方法中,这100个零件每一个个体被抽到的概率为
.③并非如此
C.①③两种抽样方法中,这100个零件中每一个个体被抽到的概率为
,②并非如此
D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每一个个体被抽到的概率是不同的
[解析] 虽然三抽样方式、方法不同,但最终每个个体被抽取的机会是均等的,这正说明了三种抽样方法的科学性和可行性.
5.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1~200编号,并按编号顺序平均分为40组(1~5号,6~10号…,196~200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是________.若用分层抽样方法,则40岁以下年龄段应抽取________人.
[答案] 37 20
[解析] 由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,所以第8组抽出的号码为22+(8-5)×
5=37.
40岁以下年龄段的职工数为200×
0.5=100,则应抽取的人数为
×
100=2
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