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能从图象上认识二次函数的性质;
会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴;
会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能解决简单的实际问题;
能解决与其他函数结合的实际问题
二、学习的章节
第17章函数及其图象,第26章二次函数
三、复习的依据
以《课程标准》为纲,华东师范大学教材、海淀区中考说明为本,海淀教师进修复习指导为依据,抓好三基(基础知识、基本技能、基本能力)、重点内容的落实.
注意《课程标准》与《教学大纲》的相同要求与不同点
降低要求之处:
1.对《距离》只要求点到坐标轴的距离及同一坐标轴上两点间的距离公式(不能转化为一元二次方程根系关系),不在同一数轴上两点间的距离公式不要求,(可用勾股定理转化为几何问题).
2.二次函数交点式不要求.
3.用待定系数法求函数解析式时,回避三元一次方程组,二元二次方程组,回避一元二次方程根与系数的关系.
提高要求之处:
1.移动.例9,例10,例18,例42,例43,例44
【图形的移动转化为点的移动】
例10★★
(1)请在如图所示的方格纸中,将△ABC向上平移3格,再向右平移6格,得△
,再将△
绕点
按顺时针方向旋转
,得△
,最后将△
以点
为位似中心放大到2倍,得△
;
(2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个小正方形的边长为1个单位长度),在你所建立的直角坐标系中,点C、
、
的坐标分别为:
点C(_____)、点
(_____)、
点
(_____).
2.估算利用函数图象交点求近似值,预测.例17,例32
(2)
例17新课程标准P36例11
填表并观察下列两个函数的变化情况:
X
1
2
3
4
5
…
Y1=50+2x
Y2=5x
(1)在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象,比较它们有什么不同;
(2)当x从1开始增大时,预测哪一个函数的值先到达100.
3.直角坐标系坐标轴的选取,图形变换.例10
4.应用.多道例题
5.直线与几何的结合(比例、勾股、面积等等).
例25,例31,例44,例47,例49,例50,例51,例52等等
6.解题方法成为重点多道例题
四、教材教法分析
(一)对直角坐标系的理解【数形结合】
【知识要点】
1.特殊位置的点的坐标特点
各象限内的点,坐标轴上的点例1,例2,例3,例4
【点所在区域决定点坐标的正、负、零,点到轴的距离决定点坐标的绝对值】
公式:
点到x轴的距离=|y|
点到y轴的距离=|x|
(垂线段的长)=(点坐标的绝对值)
几何(线段)函数(坐标)
【转化为线段长用几何知识;
转化为点的坐标用函数知识】例25
象限角平分线上的点【利用坐标间的数量关系构造方程】例5,例7
(2)
第1、3象限角平分线上的点(x、y)x=y
第2、4象限角平分线上的点(x、y)x=-y
2.两个具有特殊位置的点的坐标间的数量关系例6
(1)对称性
(2)平行
【利用坐标间的数量关系构造方程】
【基本题型,基本方法】
1.已知点的坐标★会求点到坐标轴的距离,
会求同一坐标轴上两点间的距离.
会求两坐标轴上两点间的距离,会求点到原点的距离,会求仅有一点在坐标轴上的两点间的距离(用勾股定理)
★由已知点的坐标求有关对称点的坐标例6
★求图形变换后点的坐标,会用点的坐标刻化点的移动.例10
2.画点的坐标:
(略)
3.求点的坐标:
(1)定域定量法:
例7
(1)
(2)构造方程法:
例5,例7
(2)
(3)图象交点法:
(4)观察图象法(含估算)
1)观察点的坐标:
例16,例28
(2),例38等等
2)观察已知点有关对称点的坐标:
例6
3)观察函数图象与坐标轴交点的坐标:
例16
(1),例38,例39
4)观察两个函数图象交点的坐标:
例32
(2)
5)观察点的坐标,求函数解析式:
例28
(2)
(二)对函数有关概念的理解
1.函数定义2.函数的图象
1.函数自变量取值范围
(1)解析式(使解析式有意义)例11,
(2)图象(图象端点向x轴引垂线,由垂足对应的数看x的取值范围)例16
(1)
★★(3)列表(表中自变量取值)
★★(4)应用(使实际问题有意义)
2.函数值(实质是求代数式的值):
例12
(1)
3.已知函数值,求自变量取值(实质是解方程):
例12
(2)
4.会画函数图象:
例17
会画直角坐标系(三要素:
方向、原点、单位长度)
会画函数图象:
一列表(不能取到的值加括号)二描点(注意实心点与空心点)
三连线(注意直线、射线、线段的区别;
曲线、曲线段的区别)
四标解析式(含自变量取值范围)
5.会求函数图象上的特殊点的坐标:
(并到三类函数)
(1)求与y轴的交点坐标,(0,c)(看出来的)
(2)求与x轴的交点坐标,(算出来的)
1)(x1,0),(x2,0)令y=0解方程解出来的,(Δ≥0)
2)已知(x1,0)及对称轴,由对称性得(x2,0)(推出来的)
(三)对三类函数的理解(数形结合)
函数
一次函数
反比例函数
二次函数
解析式
y=kx+b
(k≠o)
y=ax2+bx+c
(a≠0)
结构
结构
形状
直线
双曲线
抛物线
形状加条件结构
不平行于坐标轴的直线
加条件
结构
对称轴平行y轴
结构
系数
定向
k定向
k定位置
a符号开口方向
|a|开口大小
定轴
——
ab符号
对称轴位置
定点
(1)与y轴的交点(交点恰在
y轴上)
(2)抛物线
的顶点
b定点
(0,b)
常数项=与y轴交点纵坐标
(常数项1=常数项2)
c定点
(0,c)
(常数项1=常数项2)
a、b、c
定点
(-
,
)
定增减性
k>0,y随x
增大而增大
k<0,y随x
增大而减小
k<0,y随x
略
令y=0的根x
与x轴的交点
定点
(x,0)
令y=0的两根x1,x2
(x1,0),(x2,0)
1.一次函数的解析式与它图象上的点【用方程思想】
1)求函数解析式例15
(1)(3)(4)(6)
【将点的坐标代入解析式,是构造关于“系数”方程的主要方法】
【转化点的坐标是求函数解析式的重要方法】
求函数解析式的步骤:
一设(优选函数解析式,尽量用概念定系数,使待定的系数越少越好)
二构(将点的坐标代入解析式,构造待定系数的方程或方程组,)
(用已知等量关系或几何条件,构造待定系数的方程或方程组)
三解(解方程或方程组)
四回代(将解出来的系数代入所设的函数解析式)
例15(3)若一次函数图象过A(2,-1)和B两点,其中点B是另一条直线y=﹣
x+3与y轴的交点,求这个一次函数的解析式.(定b待k)
2)求点的坐标例15
(2)(4)(5)(6)(7)
例15(7)已知y=3x–2的图象经过点(a,b),且a+b=6,求a、b的值.
2.一次函数中的数形结合【用数形结合的思想】
(依形判数,由数思形)
看一次函数的图象
一看与y轴交点(0,b),定常数项b。
例16
(1)
二看图象的走向定k的符号:
左低右高k>0
左高右低k<0同步练习册八册下P17.3
三看图象的走向定函数的增减性:
例16
(2)
左低右高y随x增大而增大,
左高右低y随x增大而减小
四看图象所在象限定k,b符号:
(略)同步练习册八册下P17.1
(2)
画一次函数的图象
x
(3)在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象,比较它们有什么不同;
(4)当x从1开始增大时,预测哪一个函数的值先到达100.
3.图形的移动(翻转,平移,旋转)
例19如图甲,边长为2的正方形ABCD中,顶点A的坐标是(0,2).一次函数y=x+t的图像l随t的不同取值变化时,位于l的右下方由l和正方形的边围成的图像面积为S(阴影部分)
(1)当t取何值时,S=3
(2)在平面直角坐标系下(如图乙),画出S与t的图像。
4.与一次函数有关的实际问题例20——例24
例21甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示(实线为甲的路程与时间的关系图像,虚线为乙),小王根据图像得到如下四个信息,其中错误的是:
()
(A)这是一次1500米的赛跑
(B)甲、乙两人中先到达终点的是乙
(C)甲、乙同时起跑
(D)甲在这次赛跑中的速度为5m/s
1.反比例函数的解析式与它的图象上的点例26,例27
例27
(1)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米,则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式是.(优选y=
(2)已知y=(2-m)xm-4是反比例函数,则m=,此函数图象在
第象限.(优选y=kx-1)
(3)(北京市海淀区2007年)已知反比例函数
的图象经过
点(1,2),则函数y=-kx可确定为().(优选k=xy)
(A)y=-2x(B)y=
(C)
(D)y=2x
2.反比例函数中的数形结合(依形判数、由数思形)
看反比例函数图象:
例28——例30
一看图象的位置定k的符号:
一、三象限k>0
二、四象限k<0
二看图象的位置定函数的增减性:
一、三象限的每个象限内,y随x增大而减小
二、四象限的每个象限内,y随x增大而增大
例30
(2)若M(
,y1)、N(
,y2)、P(
,y3)三点都在函数y=
(k<
0)的图像上,则y1、y2、y3的大小关系为()
(A)y2>
y3>
y1(B)y2>
y1>
y3
(C)y3>
y2(D)y3>
y2>
y1
3.反比例函数的应用例31
4.相关的综合题例32
例32
(2)(贵阳市课改实验区)如图,一次函数y=ax+b的图像与反比例函数y=
的图象交于M、N两点
1)求反比例函数和一次函数的解析式;
2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。
1.二次函数解析式与它图象上的点【用方程思想】例33——例36
二次函数解析式的两种形式(注意隐含条件、优选解析式):
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x–h)2+k(a≠0)(已知对称轴、顶点)
例33(4)抛物线y=2x2+bx–5过点A(-2,yA),则yA=
(6)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-3,0),
对称轴x=-1,顶点C到x轴的距离为2,则设y=,
得方程为,解得,
此函数解析式为.(优选顶点式)
2.二次函数中的数形结合【用数形结合思想】
看二次函数的图象:
一看与y轴交点(0,c),定常数项c.例38
二看图象的开口方向定a的符号:
例37
(1)
(2)
开口向上a>0
开口向下a<0
三看抛物线与x轴的相对位置:
例37(4)例41
抛物线与x轴有两个交点,⊿>0;
抛物线与x轴有一个交点,⊿=0;
抛物线与x轴无交点,⊿<0.
四看抛物线对称轴与y轴的相对位置:
例40
(1)
对称轴在y轴的左侧,a、b同号:
对称轴在y轴的右侧,a、b异号.
五看图象的走向定函数的增减性:
(以对称轴为界)
左高右低y随x增大而减小
六看部分图象对应的取值范围:
例37(3)
(图象端点向x轴引垂线,由垂足对应的数看x的取值范围)
(图象端点向y轴引垂线,由垂足对应的数看y的取值范围)
例38如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点.
(1)观察图象写出A、B、C三点的坐标,并求出此二次函数的解析式;
(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。
画二次函数图象(略)
3.图形的移动(翻转,平移,旋转)例42——例44
例42
(1)(山东省潍坊课改实验区)抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则它关
于y轴对称的抛物线的解析式为。
4.二次函数的应用例45,例46
例45如图,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据:
指距d(cm)
20
21
22
23
身高h(cm)
160
169
178
187
(1)求出h与d之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围):
(2)某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少?
5.相关的综合题例47——例52
例51下列图中阴影部分的面积与算式|
|+(
)2+2-1的结果相同的是()
(四)对“点的坐标代入函数解析式”的认识
1.将已知点的坐标代入函数解析式,构造有关系数的方程;
例33
(1)
(2)
2.已知函数解析式及其图象上一点的某坐标,求这点的坐标例33(3)
【将点的坐标代入函数解析式,构造这点另一坐标的方程】
3.已知函数解析式及图象上一点(a,b),但a,b未知,求点坐标例15(7)
【将点的坐标代入函数解析式,构造关于a,b的方程】
【还须一个条件,构造关于a,b的另一个方程】
4.函数解析式中有待定系数k,点的某坐标a不知道,求函数解析式及点的坐标
【将点的坐标代入函数解析式,构造关于a,k的方程】例33(4)
5.用函数解析式中待定系数a、b表示点的坐标,将点的坐标代入另一函数解析式,构造关于a,b的方程
6.求两个已知函数图象的交点坐标.
【解这两个函数解析式联立的二元一次方程组】
(五)构造函数解析式中待定系数的方程的方法:
1.利用函数的定义(隐含它们最高项的系数≠0)
—一次函数x的最高指数=1
函数定义——二次函数x的最高指数=2
—反比例函数x的指数=-1
2.函数图象上一点坐标满足函数解析式(注意转化点的坐标)
【待定系数法构造关于“系数”方程的主要方法】
3.利用题目的条件直接构造方程
【用含有待定系数的代数式表示点的坐标】
如,二次函数图象的顶点在x轴上(令y=0,Δ≥0)例35
4.利用几何中公式、定理做为等量关系构造方程例49
【用含有待定系数的代数式表示线段长】
如,面积公式、勾股定理、相似三角形对应边成比例等
5.利用图形中的等量关系构造方程如,线段和差等例25
(六)学会分析方法:
如,函数中的待定系数
已知
转化点文字——符号
的坐标几何条件
点的坐标已知的等量关系
代入函数用系数的代数
解析式式表示…
构造关于系数(如,a、b)的方程
(如,定c待a、b)待定的系数越少越好
定系数(如,a、b、c)的值
求函数解析式(如,y=ax2+bx+c(a≠0))
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