第12讲五年级数学代换法消去法解题 廖梅桂 教案Word文档格式.docx
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得出椅子的价钱,再将椅子价钱乘以3即可得桌子价钱。
396÷
(5×
3+18)=12(元)------椅子价钱
12×
3=36(元)-------桌子价钱
例4、买一套《趣味数学》共用了8.31元,已知上册比中册贵0.43元,中册比下册便宜0.26元,问上、中、下册各多少元?
如果三册书的价钱一样,那么只要把总价三等分,就能求出每册书的价钱。
根据题目中所给的条件,三本书给的价钱并不一样,所以我要根据题目中所给的差价,进行适当的调整和代换。
如果以中册的单价为标准,把上册换成中册应从总价中减少0.43元,把下册换成中册换成中册又要减少0.26元,这样的三本中册的钱就是(8.31-0.43-0.26)元。
求出中册的单价,其上、下册的单价就迎刃而解了。
(8.31-0.43-0.26)÷
3=2.54(元)------中册单价
2.54+0.43=2.97(元)------上册单价
2.54+0.26=2.8(元)------下册单价
二、专题过关
1、已知20只鸡可以换2条狗,6条狗可以换2头猪,10头猪可以换2头牛,请问5头牛可以换多少只鸡?
2、小明去文具店买了2支钢笔和6本练习本,共用去11元钱。
已知2支钢笔的价钱与16本练习本的价钱相同,每只钢笔多少钱?
3、客车和货车同时从甲、乙两地相向开出,4小时后相遇,相遇后两车继续行驶,货车又行5小时到甲地,客车又行多少小时到乙地?
4、甲、乙两人共储蓄4600元,乙、丙储蓄7000元,甲、丙共储蓄5400元,请问丙储蓄了多少元?
5、商店运来12袋白糖和20袋红糖共重100千克,已知2袋白糖和5袋红糖重量相等,那么白糖和红糖各重多少千克?
6、更新设备后,制造每台机器比原来节省0.15吨钢材,原来制造240台机器的钢材,现在可多造15台,原来每制造一台机器需要多少吨钢材?
答案:
1、(5÷
2)×
10÷
2×
6÷
20=750(只)
2、1钢笔=8本练习本。
8×
2+6=22本练习本共11元,每本练习本0.5元,钢笔0.5×
8=4(元)
3、客车到乙地用了:
4÷
5×
4=3.2(小时)
4、(7000-800)÷
2+800=3900(元)
5、红糖重40千克,白糖重60千克。
6、240×
0.15÷
15=2.4(吨),2.4+0.15=2.55(吨)
答:
原来每制造一台需2.55吨钢材。
三、学法提炼
1、专题特点:
“代换法”是解应用题常用的一种思维方式。
要求两个或两个以上的未知量。
2、解题方法:
解答时,可以先分析这些未知量之间的相等关系,根据它们之间的相等关系,用一种未知量来代换其他的未知量,从中找到问题的答案。
3、注意事项:
学会用“代换”的策略寻找解决问题的方法,并能根据问题的特点确定合理的解题步骤。
1、专题精讲
例1、学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯,共用去134元;
第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯,共用去118元。
水瓶和茶杯的单价各是多少元?
题目告诉我们两个等量关系式:
3个水瓶的价钱+20个茶杯的价钱=134元
3个水瓶的价钱+16个茶杯的价钱=118元
这道题用消去法消去其中的一个未知数比较麻烦,我们可以把两组条件进行对比,可以发现第一次比第二次多付134-118=16元,是第一次比第二次多买了4个同样的茶杯,可列下面的竖式来表示:
3个水瓶的价钱+20个茶杯的价钱=134元
-)3个水瓶的价钱+16个茶杯的价钱=118元
4个茶杯的价钱=16元
解:
(134-118)÷
(20-16)=4(元)
(118-4×
16)÷
3=18(元)
每个水瓶18元,每个茶杯4元。
小结:
从上面的竖式可以发现,等号左边、右边同时相减,从中消去了一个未知量水瓶的价钱,得:
4个荼杯的价钱=16元,用这样的方法消元,我们通称为“加减消元”中的减法消元。
例2、小华第一次买3个篮球和5个足球共用去480元,第二次买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。
篮球和足球的单价各是多少元?
用数量关系来比较对应的未知量:
3个篮球的价钱+5个足球的价钱=480元
6个篮球的价钱+3个足球的价钱=519元
经过对比发现:
这道题和例1有区别,两次购买的篮球和足球对应的数量都不相同,解答本题的关键就在于创造条件设法使两次购买的篮球或足球数相同。
在两次购买中,第一次买3个篮球,第二次买6个篮球,第二次买的篮球数是第一次的2倍,若把第一次买的篮球和足球数及钱数都扩大2倍,就可以用“减法”消去其中的一个未知量。
(3×
2)个篮球的价钱+(5×
2)个足球的价钱=(480×
2)元
6个篮球的价钱+3个足球的价钱=519元
7个足球的价钱=441元
(480×
2-519)÷
2-3)=63(元)
(480-63×
5)÷
3=55(元)
篮球每只55元,足球每只63元。
例3、甲买了8盒糖和5盒蛋糕共用去171元;
乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。
每盒糖和每盒蛋糕各多少元?
这道题的条件中两次出现糖和蛋糕的数量都不相同,我们还是用前面两道例题的方法来比较对应的未知量。
从两个等式中可以看出,8盒糖与5盒糖、5盒蛋糕与2盒蛋糕这两组数值中,既无相同的数量也无简单的倍数关系,因此解题的关键就在于设法使两次买的糖或蛋糕的数量相同。
8盒糖的价钱+5盒蛋糕的价钱=171元
5盒糖的价钱+2盒蛋糕的价钱=90元
这里若把甲买的糖和蛋糕的数量及钱数都扩大5倍,乙买的糖和蛋糕数量及钱数都扩大8倍,这样用前面的例题的方法就可以消去其中的一个未知数,从而得到下面的竖式:
(8×
5)盒糖的价钱+(5×
5)盒蛋糕的价钱=(171×
5)元
8)盒糖的价钱+(2×
8)盒蛋糕的价钱=(90×
8)元
9盒蛋糕的价钱=135元
(171×
5-90×
8)÷
5-2×
8)=15(元)
(90-15×
2)÷
5=12(元)
每盒蛋糕15元,每盒糖12元。
例4、买18张桌子和6把椅子共要1560元,10张桌子的价钱比6把椅子的价钱多680元。
问每张桌子多少元?
每把椅子多少元?
与前面的例题一样,首先把题中的数量关系式写出来,并设法消去其中的一个未知量,然后进行解答。
18张桌子的价钱+6把椅子的价钱=1560元
10张桌子的价钱-6把椅子的价钱=680元
只要把两个关系式合并起来,(即相加),就能消去一个未知量,得到18+10=28张桌子的价钱正好是1560+680=2240元。
解答时还可以列成竖式:
+)10张桌子的价钱-6把椅子的价钱=680元
28张桌子的价钱=2240元
(1560+680)÷
(18+10)=80(元)
(1560-80×
18)÷
6=20(元)
每张桌子80元,每把椅子20元。
1、小明在商店里买了4块橡皮和3把小刀,共付0.59元,小红买了同样的2块橡皮和3把小刀,共付0.43元,问一块橡皮和一把小刀的价钱各是多少?
2、3筐苹果和5筐鸭梨共重138千克,9筐同样的苹果和4筐同样的鸭梨共重216千克,每筐苹果和每筐鸭梨各重多少千克?
3、某食堂第一次运进大米5袋,面粉7袋,共重1350千克,第二次运进大米3袋,面粉5袋共重850千克,一袋大米和一袋面粉各重多少千克?
4、5头牛、6匹马每天吃草139千克,6头牛、5匹马每天吃草125千克,1头牛、1匹马每天各吃草多少千克?
5、甲有5盒糖,乙有4盒糕共值22元,如果甲乙两人对换一盒,则每人所有物品的价值相等,求一盒糖、一盒糕分别值多少元?
1、橡皮:
(0.59-0.43)÷
(4-2)=0.08(元)
小刀:
(0.43-0.08×
3=0.09(元)
2、鸭梨:
(138×
3-216)÷
3-4)=18(千克)
苹果:
(138-18×
3=16(千克)
3、面粉:
(850×
5-1350×
3)÷
5-7×
3)=50(千克)
大米:
(1350-50×
7)÷
5=200(千克)
4、马:
(139+125)÷
(5+6)=24(千克)139-24×
5=19(千克)
牛:
125-24×
5=5(千克)
5、糖:
(22÷
3-22÷
〔(5-1)×
3-1〕=2元
糕:
(22-2×
4=3(元)
有些应用题里,给出了两个或两个以上未知数量间的关系,要求这些未知数量,可以根据题中数据特点,通过分析比较,把题目中的条件按对应关系一一排列,分析对应的未知量的变化情况。
去同存异,设法抵消掉其中的一个或两个未知数,只剩下的一个未知数。
先梳理好题目给出的条件,列出相应的等量关系式,在每个等量关系式中按相同的顺序排列不同的未知项,便于分析、比较、转化条件、抵消未知项、求解。
分析消去问题时,可以先整理条件,比较出两个未知量的联系和区别,再解答。
(1)把两个未知量中其中一个未知量转化成相等的量。
(2)用消元的方法消去一个量。
(3)先求出保留的未知量,再求出消去的未知量。
应用消去法解答较复杂的应用题,需要运用到等式的基本性质;
在等式的两边同时乘以或除以一个数(0除外),等式仍然成立。
根据这个性质可以将题目中所给的条件适当转化,设法使题中某一项在前后不同的等量关系中,具有相等的数量,从而可以抵消掉这一项。
一、能力培养
综合题1:
张师傅带了2个徒弟小李和小王,已知张师傅1小时的工作量小李要做2小时,而小李4小时的工作量小王要做5小时,现在张师傅做了8小时,小李做了12小时,小王做了10小时,师徒三人一共加工了1080个零件,求他们每小时的工作量各是多少?
根据张师傅1小时的工作量小李要做2小时,而小李4小时的工作量小王要做5小时可知:
张师傅2小时做的=小李4小时做的=小王5小时做的。
那么张师傅8小时做的,小王要做5×
(8÷
2)=20(小时),小李12小时做的,小王要做5×
(12÷
4)=15(小时),如果1080个零件由小王1人加工,需要单独做20+15+10=45(小时),则小王每小时的工作量是1080÷
45=24(个),小王每小时的工作量知道了,张师傅和小李每小时的工作量也可求得了。
1080÷
〔10+5×
2)+5×
4)〕=24(个)
24×
5÷
4=30(个)-------小李每小时的工作量
2=60(个)-------张师傅每小时的工作量
张师傅每小时加工60个,小李每小时加工30个,小王每小时加工24个。
综合题2:
有红、黄、蓝三色笔共20支,已知红色笔比黄色笔的2倍少2支,黄色笔比蓝色笔的2倍少2支,求三色笔各多少支?
把蓝色笔的支数看作一份数,则把黄笔、红笔都以蓝笔的支数为标准进行代换的话,总数应为(20+2+2×
2+2)支,即相当于蓝笔支数的(1+2+2×
2)倍。
可先求得蓝笔的支数。
(20+2+2×
2+2)÷
(1+2+2×
2)=4(支)-------蓝笔的支数
4×
2-2=6(支)-------黄笔的支数
6×
2-2=10(支)-------红笔的支数
红色笔10支,黄色笔6支,蓝色笔4支。
二、能力点评
利用“代换法”解答数学题时,也可以画线段图帮助理解分析题意。
学法升华
一、知识收获
1、“代换法”的由来:
在古代,没有发明衡器及货币,人们需要什么东西,不是去市场上买,是以物换物。
如果甲有一只兔,乙有两只鸡,经过协商后,两人自愿交换,过了一会,甲又用这两只鸡换回了40个鸡蛋,这样就产生了一只兔相当于两只鸡或40个鸡蛋的数量关系。
这就是“代换法”的由来及早期的应用。
2、用消元法解答的应用题,一般都包含两个或两个以上的未知量,我们可根据题目的条件,通过运算进行转化,设法使其中的一个数量相同,然后用“加减消元法”消去未知量。
3、应用消去法解答较复杂的应用题,需要运用到等式的基本性质;
2、方法总结
代换法:
消去法:
三、技巧提炼
代换法、消去法可以画线段的方法进行解答。
课后作业
1、2只红球与4只黑球的重量相等,3只黑球的重量等于只红球加1只蓝球,那么几只蓝球的重量等于3只红球加4只黑球?
2、一号楼三家住户一次性存款2700元,李家比王家少存250元,王家比张家多存80元,三家各存多少元?
3、3米花布的价钱与4米白布的价钱相等,李红的妈妈买了2米花布和5米白布,共付款10.35元,两种布每米各多少元?
4、甲、乙、丙三人,甲的年龄比乙的2倍还大3岁,乙的年龄比丙的2倍小2岁,三个人的年龄之和是109岁,问三个人各几岁?
5、一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖,每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的2倍,每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的2倍,如果评一、二、三等奖各两人,那么每个一等奖奖金是308元,如果评一个一等奖,两个二等奖,三个三等奖,那么一等奖的奖金是多少元?
6、学校第一次买6张课桌,6张椅子共付120元,第二次买6张课桌、4张椅子共付110元,课桌和椅子的单价各是多少元?
7、2台手扶拖拉机和5台脱粒机总价5500元,4台手扶拖拉机和9台脱粒机总价10500元,1台手扶拖拉机和1台脱粒机的价格是多少元?
8、学校食堂第一次买回猪油9千克、香肠4千克,共付人民币22.3元,第二次买回同样的猪油7千克、香肠5千克,共付人民币21.5元。
问猪油和香肠每千克各多少元?
9、8千克青豆、9千克菠菜共值16.8元,9千克青豆、8千克菠菜共值17.2元,求青豆和菠菜的单价。
10、5本语文书、2本数学书、1本自然书共值8.01元,2本语文书、1本数学书、3本自然书共值5.36元,4本语文书、3本数学书、2本自然书共值8.58元,求每本书的单价。
【思考问题】
1、什么是方程?
2、等式的性质是什么?
3、列方程解应用题的基本步骤是什么?
1、3只黑球=1只红球+1只蓝球
=2只黑球+1只蓝球
1只黑球的重量等于1只蓝球,那么,3只红球加4只黑球的重量也就是6只黑球加4只黑球。
一共是10只黑球的重量,即10只蓝球的重量。
2、(2700+250+80)÷
3=1010(元)王家
1010-250=760(元)李家
1010-80=930(元)张家
3、花布:
10.35÷
(2+3÷
5)=1.8(元)白布:
1.8×
(3÷
4)=1.35(元)
4、丙:
(109+2+2×
2-3)÷
2)=16(岁)乙:
16×
2-2=30(岁)甲:
30×
2+3=63(岁)
5、根据原来的评决,一等奖308元,则二等奖是(308÷
2)元,三等奖(308÷
2÷
2)元,这笔奖金一共是(308+308÷
2+308÷
2=1078(元)
再根据后来的要求,即要把1078分成三个三等奖,两个二等奖相当于2×
2个三等奖,一个一等奖,相当于1×
2个三等奖,这样一共相当于(3+2×
2+1×
2)个二等奖,每个三等奖奖金是1078÷
(3+2×
2)=98(元)则一等奖奖金是98×
2=392(元)
6、椅子:
(120-110)÷
(6-4)=5(元)
课桌:
(110-5×
4)÷
6=15(元)
7、脱粒机:
(5500×
2-10500)÷
2-9)=500(元)
拖拉机:
(5500-500×
2=1500(元)
8、香肠:
(21.5×
9-22.3×
9-4×
7)=2.2(元)
猪油:
(22.3-2.2×
9=1.5(元)
9、菠菜:
(16.8×
9-17.2×
(9×
9-8×
8)=0.8(元)
青豆:
(16.8-0.8×
9)÷
8=1.2(元)
10、6本语文1本数学:
8.01×
2-8.58=7.44(元)
13本语文5本数学:
3-5.36=18.67(元)
17本语文:
7.44×
5-18.67=18.53(元)
语文:
18.53÷
〔(5×
2-4)×
5-(5×
3-2)〕=1.09(元)
数学:
7.44-1.09×
6=0.9(元)
自然:
8.01-1.09×
5-0.9×
2=0.76(元)
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