浙江高考数学复习分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师用书Word下载.docx
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完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×
n种不同的方法.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )
(4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有( )
A.30 B.20
C.10 D.6
D [从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:
①取出的两数都是偶数,共有3种方法;
②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.]
3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( )
A.30个B.42个
C.36个D.35个
C [∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,
由分步乘法计数原理知可以组成6×
6=36个虚数.]
4.如图911,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
图911
A.24B.18
C.12D.9
B [分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;
第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×
3=18条可以选择的最短路程.]
5.现有4种不同的颜色要对如图912所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.
图912
48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色,共4×
3×
2×
2=48种不同的着色方法.]
分类加法计数原理
(1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( )
A.4种 B.6种
C.10种 D.16种
(2)(2017·
杭州二中月考)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( )
A.14B.13
C.12D.10
(1)B
(2)B [
(1)分两类:
甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理,共有3+3=6种传递方法.
(2)①当a=0时,有x=-
,b=-1,0,1,2,有4种可能;
②当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1,
(ⅰ)当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能;
(ⅱ)当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能;
(ⅲ)当a=2时,b=-1,0,有2种可能.
∴有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.]
[规律方法] 1.第
(2)题常见的错误:
(1)想当然认为a≠0;
(2)误认为a≠b.
2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复.
[变式训练1] 从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
D [以1为首项的等比数列为1,2,4;
1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.
以4为首项的等比数列为4,6,9.
把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列,
∴所求的数列共有2(2+1+1)=8个.]
分步乘法计数原理
(1)(2017·
浙江舟山模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )【导学号:
51062322】
A.C
·
45种 B.A
54种
C.C
A
种D.C
(2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.
(1)D
(2)120 [
(1)有两个年级选择甲博物馆共有C
种情况,其余四个年级每个年级各有5种选择情况,
故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C
×
54种.
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×
5×
4=120种.]
[规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意:
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.
(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事.
2.在第
(1)题中,除仅有两个年级选择甲博物馆外,其余4个年级易错误认为有45种选择方法.导致错选A项.
[变式训练2]
(1)设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数为________.
(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为________.(用数字作答)
(1)10
(2)8 [
(1)易知A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},
∴x有2种取法,y有5种取法,
由分步乘法计数原理,A*B的元素有2×
5=10个.
(2)第1步把甲、乙分到不同班级有A
=2种分法.
第2步分丙、丁:
①丙、丁分到同一班级有2种分法,②丙、丁分到两个不同的班级有A
由计数原理,不同的分法为2×
(2+2)=8种.]
两个计数原理的综合应用
杭州调研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x<
y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有________个.
(2)如图913,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有________种不同的涂色方法.
图913
(1)17
(2)260 [
(1)当A={1}时,B有23-1种情况;
当A={2}时,B有22-1种情况;
当A={3}时,B有1种情况;
当A={1,2}时,B有22-1种情况;
当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,
所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).
(2)区域A有5种涂色方法;
区域B有4种涂色方法;
区域C的涂色方法可分2类:
若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;
若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法,
所以共有5×
4×
4+5×
3=260种涂色方法.]
[规律方法] 1.
(1)注意在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.
(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题,可恰当地画出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.
2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成,第
(2)题中,由于共边的区域不同色,从而是按区域A与区域C是否同色分类处理的.
[变式训练3] (2017·
金华联考)用a代表红球,b代表蓝球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:
“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )【导学号:
51062323】
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)
B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)
D.(1+a5)(1+b5)
A [分两步:
第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有1+a+a2+a3+a4+a5种不同的取法.
第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有1+b5种不同取法.
由分步乘法计数原理,共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)种取法.]
[思想与方法]
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事的不同方法的种数.区别在于:
分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;
分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.
2.涉及加法与乘法原理的混合问题一般是先分类再分步.
3.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
[易错与防范]
1.切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.
2.分类的关键在于要做到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.
3.确定题目中是否有特殊条件限制.
课时分层训练(五十二)
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A组 基础达标
(建议用时:
30分钟)
一、选择题
1.某电话局的电话号码为139×
,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为( )
A.20B.25
C.32 D.60
C [依据题意知,后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为25=32.]
2.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是
( )
A.9B.14
C.15D.21
B [当x=2时,x≠y,点的个数为1×
7=7个.
当x≠2时,由P⊆Q,∴x=y,
∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法,
因此满足条件的点共有7+7=14个.]
3.甲、乙两人从4门课程中选修2门,则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有( )【导学号:
51062324】
A.6种B.12种
C.24种D.30种
C [分步完成,第一步,甲、乙选修同一门课程有4种方法.第二步,甲从剩余的3门课程中选一门有3种方法.第三步,乙从剩余的2门课程中选一门有2种方法.∴甲、乙恰有1门相同课程的选法有4×
2=24种.]
4.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有( )
A.4种B.10种
C.18种D.20种
B [赠送1本画册,3本集邮册.需从4人中选取1人赠送画册,其余赠送集邮册,有C
种方法.
赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人赠送画册,其余2人赠送集邮册,有C
由分类加法计数原理,不同的赠送方法有C
+C
=10种.]
5.(2017·
绍兴模拟)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A.243B.252
C.261D.279
B [0,1,2,…,9共能组成9×
10×
10=900个三位数,其中无重复数字的三位数有9×
9×
8=648个,∴有重复数字的三位数有900-648=252个.]
6.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A.9B.10
C.18D.20
C [由于lga-lgb=lg
(a>
0,b>
0),从1,3,5,7,9中任取两个作为
有A
=20种,又
与
相同,
∴lga-lgb的不同值的个数为A
-2=18.]
二、填空题
7.(2016·
杭州模拟)在三位正整数中,若十位数字小于个位和百位数字,则称该数为“驼峰数”.比如“102”,“546”为“驼峰数”,由数字1,2,3,4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个.【导学号:
51062325】
8 [十位上的数为1时,有213,214,312,314,412,413,共6个,十位上的数为2时,有324,423,共2个,所以共有6+2=8(个).]
8.从8名女生,4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为________种.【导学号:
51062326】
112 [从男生中抽1人有4种方法,从女生中抽2人有C
=28种方法,
由分步乘法计数原理,共有28×
4=112种方法.]
9.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有________种.
75 [由题意知,选2名男医生、1名女医生的方法有C
C
=75种.]
10.如图914所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为________个.
图914
420 [先染顶点S,有5种染法,再染顶点A,有4种染法,染顶点B,有3种染法,顶点C的染法有两类:
若C与A同色,则顶点D有3种染法;
若C与A不同色,则C有2种染法,D有2种染法,所以共有5×
3+5×
2=420(种)染色方法.]
B组 能力提升
15分钟)
1.有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则有几种不同的选择方式
A.24B.14
C.10D.9
B [第一类:
一件衬衣,一件裙子搭配一套服装有4×
3=12种方式,
第二类:
选2套连衣裙中的一套服装有2种选法,
由分类加法计数原理,共有12+2=14(种)选择方式.]
2.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有( )
A.32个B.34个
C.36个D.38个
A [将和等于11的放在一组:
1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C
=2种,共有2×
2=32个.]
3.如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.
12 [当相同的数字不是1时,有C
个;
当相同的数字是1时,共有C
个,
由分类加法计数原理知共有“好数”C
=12个.]
4.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:
11,22,33,…,99;
3位回文数有90个:
101,111,121,…,191,202,…999.则
(1)4位回文数有________个;
(2)2n+1(n∈N*)位回文数有________个.【导学号:
51062327】
(1)90
(2)9×
10n [
(1)4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法;
中间两位一样,有10种填法,共计9×
10=90种填法,即4位回文数有90个.
(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格,由分步计数原理,共有9×
10n种填法.]
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