最新高一数学必修一各章知识点总结 优秀名师资料Word格式文档下载.docx
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{x|x=,5,
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)AA,B
与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记
,,,作AB或BA
2(“相等”关系:
A=B(5?
5,且5?
5,则5=5)2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集
第1页共15页
合相等”
即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A?
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
如果A,B,B,C,那么A,C
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
nn-1,有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集三、集合的运算
运算交集并集补集类型
定设S是一个集合,A由所有属于A且由所有属于集合A
义是S的一个子集,由属于B的元素所或属于集合B的元S中所有不属于A的组成的集合,叫素所组成的集合,元素组成的集合,叫
做A,B的交集(记叫做A,B的并做S中子集A的补集
(或余集)作AB(读作‘AB(读集(记作:
A:
:
,即记作CAS作‘A并B’),即交B’),即AB=:
SCA={x|x,S,且x,A}SAB={x|xA,或,:
A,x|xA,且,
xB,(xB})(,,
韦SAABB恩A图
图2图1示
第2页共15页
性AA=AA=AA)(CB)A(C:
uu
AΦ=ΦAΦ=A=C(AB):
u
质AB=BAAB=BA(CA)(CB):
uu
ABAAB,=C(AB),,:
u
ABBABBA(CA)=U,,:
A(CA)=Φ(:
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自
身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0},则M与N的关系是.,
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是,axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.22227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若
B?
C?
Φ,A?
C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确
定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集
合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A
B为从集合A到集合B的一个函数(记作:
y=f(x),x
A(其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定
第3页共15页
义域;
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x?
A}叫做函数的值域(注意:
(定义域:
能使函数式有意义的实数的集合称为函数1x
的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意
义.
相同函数的判断方法:
表达式相同(与表示自变量
和函数值的字母无关);
定义域一致(两点必须同时
具备)
(见课本21页相关例2)
2(值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x?
A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x?
A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4(区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
第4页共15页
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示(
5(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对,
应关系):
A(原象)B(象)”,
对于映射f:
A?
B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象
是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同
一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u?
M),u=g(x)(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x)(x
A)称为f、g的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x,当x<
x时,都有1212f(x)<
f(x),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D12
称为y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,当x<
x1212时,都有f(x),f(x),那么就说f(x)在这个区间上是减12
函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
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(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法:
1任取x,x?
D,且x<
x;
1212?
2作差f(x),f(x);
12?
3变形(通常是因式分解和配方);
?
4定号(即判断差f(x),f(x)的正负);
5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)(?
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”注意:
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8(函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数(
(2)(奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数((3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称(
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对?
称;
2确定f(,x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:
若f(,x)=f(x)或f(,x),f(x)?
=0,则f(x)是偶函数;
若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数(
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)?
f(x)=0或f(x),f(-x)=?
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
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(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
消参法4)
10(函数最大(小)值(定义见课本p36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)?
值
2利用图象求函数的最大(小)值?
利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
3?
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
例题:
1.求下列函数的定义域:
2x,12xx,,215?
y,,1()y,x,1x,,33
22.设函数的定义域为,则函数的定义域为__fx()[]01,fx()3.若函数的定义域为,则函数的定义域是fx
(1),fx(21),[],23,
xx,,,2
(1),,4.函数,若,则=x2fx()3,fxxx()(12),,,,,,2
(2)xx,,
5.求下列函数的值域:
22?
yxx,,,23x,[1,2]yxx,,,23()xR,
2(3)(4)yxx,,,12yxx,,,,45
26.已知函数,求函数,的解析式fx()fx(21),fxxx
(1)4,,,
7.已知函数满足,则=。
fx()fx()2()()34fxfxx,,,,
38.设是R上的奇函数,且当时,,则当时fxxx()
(1),,x,,,(,0)fx()x,,,[0,)
fx()=
在R上的解析式为fx()
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9.求下列函数的单调区间:
222?
yxx,,,61yxx,,,23yxx,,,,23
310.判断函数的单调性并证明你的结论(y,,x,1
21,x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:
(f(x),f(),,f(x)21,xx
第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
n1(根式的概念:
一般地,如果,那么叫做的xanx,a*N次方根,其中>
1,且?
(nn
负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0,记作
n。
0,0
nna,a当是奇数时,,当是偶数时,nn
a(a,0),nna,|a|,,,a(a,0),
2(分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
mnm*n,a,a(a,0,m,n,N,n,1)
m,11*na,,(a,0,m,n,N,n,1)mnmana
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3(实数指数幂的运算性质
rrr,saa,a
(1)?
;
(a,0,r,s,R)
rsrs(a),a
(2);
rrs(ab),aa(3)((a,0,r,s,R)
(二)指数函数及其性质
xy,a(a,0,且a,1)1、指数函数的概念:
一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R(注意:
指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1(
2、指数函数的图象和性质
a>
10<
a<
1
第8页共15页
66
55
44
33221111
-4-2246-4-224600-1-1
定义域R定义域R值域y,0值域y,0在R上单调递在R上单调递增减非奇非偶函数非奇非偶函数
函数图象都过函数图象都过定点(0,1)定点(0,1)
利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
x
(1)在[a,b]上,f(x),a(a,0且a,1)值域是[f(a),f(b)]或;
[f(b),f(a)]
x,0
(2)若,则;
取遍所有正数当且仅当f(x),1f(x)
x,R;
x(3)对于指数函数f(x),a(a,0且a,1),总有;
f
(1),a二、对数函数
(一)对数
x1(对数的概念:
一般地,如果,那么(a,0,a,1)a,N
Nx,logN数叫做以为底的对数,记作:
(—底xaaa(((
NlogN数,—真数,—对数式)a
a,0a,1说明:
1注意底数的限制,且;
xa,N,logN,x2;
a
logN3注意对数的书写格式(?
两个重要对数:
1常用对数:
以10为底的对数;
lgN?
e,2.71828?
2自然对数:
以无理数为底的对数的对数?
lnN(
指数式与对数式的互化
第9页共15页
幂值真数
b,N,blogN,aa
底数
指数对数
(二)对数的运算性质
a,0a,1M,0N,0如果,且,,,那么:
1?
,logN;
log(MlogMN),aaa
M2log,?
logN;
logMaaaN
n3logM?
logM((n,R),naa
换底公式
logbclogb,a,0a,1c,0c,1(,且;
,且;
alogac
b,0)(
利用换底公式推导下面的结论
1nn
(1);
(2)(logb,logb,logbmaaamlogab
(二)对数函数
y,logx(a,01、对数函数的概念:
函数,且叫做a,1)a
对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+?
)(x
1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定?
x义,注意辨别。
如:
,都不是对数y,2logxlog2y,55函数,而只能称其为对数型函数(2对数函数对底数的限制:
,且((a,0a,1)?
2、对数函数的性质:
1332.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5
定义域x,0定义域x,0
值域为R值域为R
第10页共15页
在R上递增在R上递减函数图象都函数图象都过定过定点(1,点(1,0)0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:
一般地,形如的函数称为y,x(a,R)幂函数,其中为常数(,
2、幂函数性质归纳(
(1)所有的幂函数在(0,+?
)都有定义并且图象都过点(1,1);
,0
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,,,)
,1上是增函数(特别地,当时,幂函数的图象下凸;
0,,,1当时,幂函数的图象上凸;
,0(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数(在(0,,,)
y第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无x
y限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方,,xx无限地逼近轴正半轴(x
x1.已知a>
0,a0,函数y=a与y=log(-x)的图象只能是a
4,log3log2232.计算:
=;
2,log6427
1log27,2log2553=;
25
1417,,03,0.75?
=3320.064,(,),[(,2)],16,0.018
23.函数y=log(2x-3x+1)的递减区间为1
2
第11页共15页
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=[a,2a]f(x),logx(0,a,1)a
1,x5.已知,
(1)求的定义域
(2)求使的的取xfx()fx()0,fxaa()log(01),,,且a1,x
值范围
第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:
对于函数,把使y,f(x)(x,D)
成立的实数叫做函数的零点。
f(x),0y,f(x)(x,D)x
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程y,f(x)
实数根,亦即函数的图象与轴交点的f(x),0y,f(x)x横坐标。
方程有实数根函数的图象与轴,f(x),0y,f(x)x
1、第一单元“加与减
(一)”。
是学习20以内的退位减法,降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。
退位减法是一个难点,学生掌握比较慢,但同时也是今后竖式减法的重点所在。
所以在介绍的:
数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器……这些方法中,孩子们喜欢用什么方法不统一要求,自己怎么快怎么算,但是要介绍这些方法。
有交点函数有零点(,y,f(x)
③弓形:
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
3、函数零点的求法:
1(代数法)求方程的实数根;
f(x),0?
描述性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆;
固定的端点O叫做圆心;
线段OA叫做半径;
以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与?
二.特殊角的三角函数值函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零y,f(x)
5.圆周角和圆心角的关系:
点(
4、二次函数的零点:
(一)教学重点2二次函数y,ax,bx,c(a,0)(
53.26—4.1生活中的数3P24-292
(1)?
,,方程有两不等实根,二次函ax,bx,c,0数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点(x
2
(2)?
,,方程有两相等实根,二次函ax,bx,c,0数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或x
二阶零点(
125.14—5.20加与减(三)4P68-742(3)?
,,方程无实根,二次函数的图ax,bx,c,0象与轴无交点,二次函数无零点(x
5.函数的模型
收集数据
156.4—6.10总复习4P84-90画散点图
不选择函数模型符合
实第12页共15页际
求函数模型
检验
1.圆的定义:
第13页共15页
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