小初高学习北师大版高中数学必修二学案第一章 62 垂直关系的性质Word文件下载.docx
- 文档编号:19700776
- 上传时间:2023-01-08
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:211.63KB
小初高学习北师大版高中数学必修二学案第一章 62 垂直关系的性质Word文件下载.docx
《小初高学习北师大版高中数学必修二学案第一章 62 垂直关系的性质Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小初高学习北师大版高中数学必修二学案第一章 62 垂直关系的性质Word文件下载.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
反思与感悟 证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义:
证共面且无公共点.
(2)利用三线平行公理:
证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练1 如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A、B,aα,a⊥AB.求证:
a∥l.
类型二 面面垂直的性质及应用
例2 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
求证:
BC⊥AB.
反思与感悟 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
(1)两个平面垂直;
(2)直线必须在其中一个平面内;
(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练2 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,ABCD是∠DAB=60°
且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD边的中点.
(1)BG⊥平面PAD;
(2)AD⊥PB.
类型三 垂直关系的综合应用
例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟
(1)证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.
(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:
①两个平面垂直;
②直线必须在其中一个平面内;
③直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练3 如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,AB⊥AC,DC⊥BC.求证:
平面ABD⊥平面ACD.
例4 已知在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°
,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°
,E,F分别是AC,AD上的动点,且
=
=λ(0<λ<1).
(1)求证:
不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
反思与感悟 解决开放性问题一般先从结论入手,分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件,此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.
跟踪训练4 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.
AE⊥DA1;
(2)在线段AA1上是否存在一点G,使得AE⊥平面DFG?
并说明理由.
1.在空间中,下列命题正确的是( )
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.平面α⊥平面β,直线a∥α,则( )
A.a⊥βB.a∥β
C.a与β相交D.以上都有可能
3.已知直线l⊥平面α,直线m平面β.有下面四个命题:
①α∥β⇒l⊥m;
②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β;
④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①②B.③④C.①③D.②④
4.如图,在三棱锥P-ABC中,侧面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°
,PA=1,AB=2,则PB=________.
5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:
平面SCD⊥平面SBC.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的转化与化归思想,其转化关系如下:
答案精析
问题导学
知识点一
思考 平行.
梳理 平行
知识点二
思考 容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直,因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直.
梳理 一个平面内 交线 垂直 aα
a⊥l
题型探究
例1 证明 如图,连接AB1,B1C,BD,B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,∴AC⊥平面BDD1B1,
∴AC⊥BD1.
同理,BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,
∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C,
∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.
跟踪训练1 证明 ∵PA⊥α,lα,
∴PA⊥l.
同理PB⊥l.∵PA∩PB=P,
∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α,aα,∴PA⊥a.
∵a⊥AB,PA∩AB=A,
∴a⊥平面PAB.∴a∥l.
例2 证明 如图,在平面PAB内,
作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC平面PBC,
∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC平面ABC,
∴PA⊥BC,又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB平面PAB,
∴BC⊥AB.
跟踪训练2 证明
(1)平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°
,
∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.
(2)由
(1)可知BG⊥AD,由题意知△PAD为正三角形,G是AD的中点,
∴PG⊥AD.又BG∩PG=G,
∴AD⊥平面PBG,又PB平面PBG,
∴AD⊥PB.
例3 证明
(1)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD.
又AD平面PAD,BE
平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中,由AB⊥AD,可得ABED为矩形,故有BE⊥CD.①
由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD,
∴CD⊥EF.②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF.
由于CD平面PCD,
∴平面BEF⊥平面PCD.
跟踪训练3 证明 ∵平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,在平面ABC内,作AE⊥BC于点E,
如图,则AE⊥平面BCD.
又CD平面BCD,
∴AE⊥CD.又BC⊥CD,
AE∩BC=E,
AE,BC平面ABC,
∴CD⊥平面ABC,
又AB平面ABC,∴AB⊥CD.
又AB⊥AC,AC∩CD=C,
AC、CD平面ACD.
∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD,
∴平面ABD⊥平面ACD.
例4
(1)证明 ∵∠BCD=90°
∴BC⊥CD.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
∵
,∴EF∥CD,
∴EF⊥平面ABC.
又∵EF平面BEF,
∴平面BEF⊥平面ABC.
故不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解 由
(1),得EF⊥平面ABC,BE平面ABC,
∴EF⊥BE.
要使平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC.
∵∠BCD=90°
,BC=CD=1,∴BD=
.
又∵AB⊥平面BCD,∠ADB=60°
∴AB=
,AC=
∴BE=
,∴AE=
∴λ=
故当λ=
时,平面BEF⊥平面ACD.
跟踪训练4
(1)证明 连接AD1,BC1,
由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1,
∴DA1⊥AE.
(2)解 如图所示A1点即为G点,证明如下:
连接A1F由
(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH,由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可证DF⊥平面AHE,
∵AE平面AHE,∴DF⊥AE.
又DF∩A1D=D,
∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.
当堂训练
1.D 2.D 3.C 4.
5.证明 因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC平面ABCD,
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC平面SBC,
所以平面SCD⊥平面SBC.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 小初高学习北师大版高中数学必修二学案第一章 62 垂直关系的性质 小初高 学习 北师大 高中数学 必修 二学案 第一章 垂直 关系 性质