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(7)如果自然数n不是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是偶数;
如果自然数n是完全平方数,那么它的所有正因数的个数是奇数;
(8)偶数的平方一定能被4整除;
奇数的平方被8除余1,且十位数字必是偶数.
例题求解
【例1】n是正整数,3n+1是完全平方数,证明:
n+l是3个完全平方数之和.
思路点拨设3n+1=m2,显然3卜m,因此,m=3k+1或m=3k+2(k是正整数).
若rn=3k+1,则.
∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2.
若m=3k+2,则
∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2.
故n+1是3个完全平方数之和.
【例2】一个正整数,如果加上100是一个平方数,如果加上168,则是另一个平方数,求这个正整数.
思路点拨引入参数,利用奇偶分析求解.
设所求正整数为x,则
x+100=m2----①
x+168==n2-----②
其中m,n都是正整数,②—①得n2—m2=68,即(n—m)(n+m)=22×
17.----③
因n—m,n+m具有相同的奇偶性,由③知n—m,n+m都是偶数.注意到0n—mn+m,由③可得.
解得n=18.代人②得x=156,即为所求.
【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,比如16=52—32,16就是一个“智慧数”.在正整数中从1开始数起,试问第1998个“智慧数”是哪个数?
并请你说明理由.
思路点拨1不能表为两个正整数的平方差,所以1不是“智慧数”.对于大于1的奇正整数2k+1,有2k+1=(k+1)2-k2(k=1,2,…).所以大于1的奇正整数都是“智慧数”.
对于被4整除的偶数4k,有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2,3,…).即大于4的被4整除的数都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数平方差,所以4不是“智慧数”.
对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,2,3,…),设4k+2=x2—y2=(x+y)(x-y),其中x,y为正整数,当x,y奇偶性相同时,(x+y)(x-y)被4整除,而4k+2不被4整除;
当x,y奇偶性相异时,(x+y)(x-y)为奇数,而4k+2为偶数,总得矛盾.所以不存在自然数x,y使得x2—y2=4k+2.即形如4k+2的数均不为“智慧数”.
因此,在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”,此后,每连续四个数中有三个“智慧数”.
因为1998=(1+3×
665)+2,4×
(665+1)=2664,所以2664是第1996个“智慧数”,2665是第1997个“智慧数”,注意到2666不是“智慧数”,因此2667是第1998个“智慧数”,即第1998个“智慧数”是2667.
【例4】
(太原市竞赛题)已知:
五位数满足下列条件:
(1)它的各位数字均不为零;
(2)它是一个完全平方数;
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数,干位和百位上的数字顺次构成的两位数以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数也都是完全平方数.
试求出满足上述条件的所有五位数.
思路点拨设,且(一位数),(两位数),(两位数),则①
由式①知②
比较式①、式②得n2=2mt.
因为n2是2的倍数,故n也是2的倍数,所以,n2是4的倍数,且是完全平方数.
故n2=16或36或64.
当n2=16时,得,则m=l,2,4,8,t=8,4,2,1,后二解不合条件,舍去;
故或41616.
当n2=36时,得.则m=2,3,1,t=9,6,18.最后一解不合条件,舍去.
故或93636.
当n2=64时,得.则m=1,2,4,8,t=32,16,8,4都不合条件,舍去.
因此,满足条件的五位数只有4个:
11664,41616,43681,93636.
【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?
若能够,请举出一例;
若不能够;
请说明理由.
思路点拨不能找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.
理由如下:
偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,也就是正整数的平方被4除余0或1.若存在正整数满足;
=1,2,3,4,rn是正整数;
因为2002被4除余2,所以被4除应余2或3.
(1)若正整数n1,n2,n3,n4中有两个是偶数,不妨设n1,n2是偶数,则被4除余2,与正整数的平方被4除余0或1不符,所以正整数n1,n2,n3,n4中至多有—个是偶数,至少有三个是奇数.
(2)在这三个奇数中,被4除的余数可分为余1或3两类,根据抽屉原则,必有两个奇数属于同一类,则它们的乘积被4除余1,与被4除余2或3的结论矛盾.
综上所述,不能找到这样的四个正整数,使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.
【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
思路点拨若(n2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间,则它的取值便固定了.
∵n2一19n+91=(n-9)2+(10一n)
当n10时,(n-10)2n2-19n+19(n-9)2
∴当n10时(n2—19n+19)不会成为完全平方数
∴当n≤10时,(n2—19n+91)才是完全平方数
经试算,n=9和n=10时,n2—19n+91是完全平方数.
所以满足题意的值有2个.
【例7】(“我爱数学”夏令营)已知的值都是1或—1,设m是这2002个数的两两乘积之和.
(1)求m的最大值和最小值,并指出能达到最大值、最小值的条件;
(2)求m的最小正值,并指出能达到最小正值的条件.
思路点拨
(1),.
当或时,m取最大值2003001.
当中恰有1001个1,1001个时,m取最小值—1001.
(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025,且必为偶数,所以,当或;
即中恰有1024个1,978个或恰有1024个,978个1时,m取最小值.
【例8】(全国竞赛题)如果对一切x的整数值,x的二次三项式都是平方数(即整数的平方),证明:
(1)2a、2b都是整数;
(2)a、b、c都是整数,并且c是平方数.
反过来,如果
(2)成立,是否对一切x的整数值,的值都是平方数?
思路点拨
(1)令x=0,得c=平方数=;
令x=±
1,得,,其中m、n都是整数.所以,,都是整数.
(2)如果2b是奇数2k+l(k是整数),令x=4得,其中h是整数.
由于2a是整数,所以16a被4整除,有除以4余2.
而,在h、l的奇偶性不同时,是奇数;
在h、l的奇偶性相同时,能被4整除.
因此,,从而2b是偶数,b是整数,^也是整数.
在
(2)成立时,不一定对x的整数值都是平方数.例如,a=2,b=2,c=4,x=1时,=8不是平方数.
另解
(2):
2,得4a+2b+c=h2,4a—2b+c=k2,其中h、k为整数.两式相减得
4b=h2—k2=(h+k)(h—k).
由于4b=2(2b)是偶数,所以h、k的奇偶性相同,(h+k)(h—k)能被4整除.
因此,b是整数,也是整数.
学力训练
(A级)
1.(山东省竞赛题)如果是整数,那么a满足()
A.a0,且a是完全平方数B.a0,且-a是完全平方数
C.a≥0,且a是完全平方数D.a≤0,且—a是完全平方数
2.设n是自然数,如果n2的十位数字是7,那么n2的末位数字是()
A.1B.4C.5D.6
3.(五羊杯,初二)设自然数N是完全平方数,N至少是3位数,它的末2位数字不是00,且去掉此2位数字后,剩下的数还是完全平方数,则N的最大值是.
4.使得n2—19n+95为完全平方数的自然数n的值是.
5.自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方,则n=.
6.两个两位数,它们的差是56,它们的平方数的末两位数字相同,则这两个数分别是
.
7.是否存在一个三位数(a,b,c取从1到9的自然数),使得为完全平方数?
8.求证:
四个连续自然数的积加l,其和必为完全平方数.
(B级)
1.若x是自然数,设,则()
A.y一定是完全平方数B.存在有限个,使y是完全平方数
C.y一定不是完全平方数D.存在无限多个,使y是完全平方数
2.已知a和b是两个完全平方数,b的个位数字为l,十位数字为x;
b的个位数为6,十位数字为y,则()
A.x,y都是奇数B.x,y都是偶数
C.x是奇数,y是偶数D.x为偶数,y为奇数
3.若四位数是一个完全平方数,则这个四位数是.
4.设m是一个完全平方数,则比m大的最小完全平方数是.
5.(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和,则y的最小值是.
6.(北京市竞赛,初二)p是负整数,且2001+p是—个完全平方数,则p的最大值为.
7.有若干名战士,恰好组成一个八列长方形队列.若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后,都能组成一个正方形队列.问原长方形队列共有多少名战士?
8.证明:
是一个完全平方数.
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- 完全 平方
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