乘除法数字谜.docx
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乘除法数字谜
第一讲乘除法数字谜〔一〕
专题简析:
解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点:
1.认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的局部作出局部判断;
2.利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字;
3.试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,到达快速而准确的目的;
4.算式谜解出后,要验算一遍。
例1.在下面的方框中填上适宜的数字。
分析:
由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8。
题中别的数字就容易填了。
练习一
第二讲乘除法数字谜〔二〕
例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?
分析:
因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1;d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0〔1已经用过〕;再由b=0,可推知c=8。
练习二
第三讲图形的个数
例1.下面图形中有多少个正方形?
分析:
图中的正方形的个数可以分类数,如由一个小正方形组成的有6×3=18个,2×2的正方形有5×2=10个,3×3的正方形有4×1=4个。
因此图中共有18+10+4=32个正方形。
例2.下列图中共有多少个三角形?
分析:
为了保证不漏数又不重复,我们可以分类来数三角形,然后再把数出的各类三角形的个数相加。
〔1〕图中共有6个小三角形;
〔2〕由两个小三角形组合的三角形有3个;
〔3〕由三个小三角形组合的三角形有4个;
〔4〕由六个小三角形组合的三角形有1个。
所以共有6+3+4+1=14个三角形。
练习三
1.下列图中共有多少个正方形?
2.下列图中共有多少个正方形?
3.下列图中共有多少个正方形,多少个三角形?
4.下面图中共有多少个三角形?
第四讲找出数字的排列规律〔一〕
找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法,在解数学题时人们也常常使用它,下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。
〔一〕思路指导
例1.在下面数列的〔 〕中填上适当的数。
1,2,5,10,17,〔 〕,〔 〕,50
分析与解:
这个数列从第二项起,每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1,3,5,7,9……,这样我们就可以由第五项算出括号内的数了,即:
第一个括号里应填;第2个括号里应填。
例2.自1开场,每隔两个整数写出一个整数,这样得到一个数列:
1,4,7,10……问:
第100个数是多少?
分析与解:
第1项是1,第二项比第一项多3,第三项比第一项多2个3,第四项比第一项多3个3,……依次类推,第100项就比第一项多99个3,所以第100个数是。
由此我们可以得出这样的规律:
等差数列的任一项都等于:
第一项+〔这项的项数-1〕×公差
我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。
利用通项公式可以求出等差数列的任一项。
练习四
1.找规律填数:
〔1〕1,3,7,15,______;
〔2〕l,4,13,40,121,____,____。
2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数:
〔1〕2,6,18,54,□,486,1458;
〔2〕l,4,9,16,□,36,49
3.看规律填数:
〔l〕0,3,7,12,______,25,33;
〔2〕l,2,5,10,17,____,______,50。
4.按规律填数:
〔l〕2,4,7,11,16,
〔2〕3,5,9,17,33,65,
5.按每组数的排列规律,填写最后一个数:
〔1〕2,4,16,256,______;
〔2〕12,19,33,61,117,______。
6.数列5,8,11,14,17,…的第25项是______,第100项是____。
第五讲找出数的排列规律〔二〕
例3.一列数:
2,5,8,11,14,……,44,……,问:
44是这列数中的第几个数?
分析与解:
显然这是一个等差数列,首项〔第一项〕是2,公差是3。
我们观察数列中每一个数的项数与首项2,公差3之间有什么关系?
以首项2为标准,第二项比2多1个3,第三项比首项多2个3,第四项比首项多3个3,……,44比首项2多42,多14个3,所以44应排在这个数列中的第15个数。
由此可得,在等差数列中,每一项的项数都等于:
〔这一项-首项〕÷公差+1
这个公式叫做等差数列的项数公式,利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。
试试看:
数列7,11,15,……195,共有多少个数?
练习五
1.按规律填数:
〔1〕3,5,9,17,______,65。
〔2〕1,2,4,7,______,16。
2.数列2,9,16,23,30,…,135,…中的135是这列数的第____个数。
3.数列2,4,8,…的第10项是______。
4.数列7,11,15,19,23,…,119,共有______个数。
5.下面一组数是按某种规律排列的,请你仔细观察,找出规律并在横线上填写适当的数:
2,97,1,4,98,3,6,99,5,____,____,7,10,101,____,12,102,11,…。
第六讲数列求和〔一〕
专题简析:
假设干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开场,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
通项公式:
第n项=首项+〔项数-1〕×公差
项数公式:
项数=〔末项-首项〕÷公差+1
例1.有一个数列:
4,10,16,22,…,52,这个数列共有多少项?
分析与解答:
容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进展计算。
项数=〔52-4〕÷6+1=9,即这个数列共有9项。
例2.有一等差数列:
3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少?
分析与解答:
这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100。
要求第100项,可根据“末项=首项+公差×〔项数-1〕〞进展计算。
第100项=3+4×〔100-1〕=399
练习六
1.等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项?
2.有一个等差数列:
2,5,8,11,…,101,这个等差数列共有多少项?
3.等差数列11,16,21,26,…,1001,这个等差数列共有多少项?
4.一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少?
5.求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
第七讲数列求和〔二〕
例3.有这样一个数列:
1,2,3,4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答:
如果我们把1,2,3,4,…,99,100与列100,99,…,3,2,1相加,那么得到〔1+100〕+〔2+99〕+〔3+98〕+…+〔99+2〕+〔100+1〕,其中每个小括号内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=〔1+100〕×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=〔首项+末项〕×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
例4.求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
分析与解答:
这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
项数=〔末项-首项〕÷公差+1=〔50-2〕÷2+1=25
首项=2,末项=50,项数=25
等差数列的和=〔2+50〕×25÷2=650
练习七
计算下面各题。
1.1+2+3+…+49+50
2.6+7+8+…+74+75
3.100+99+98+…+61+60
4.2+6+10+14+18+22
5.5+10+15+20+…+195+200
6.9+18+27+36+…+261+270
第八讲数列求和〔三〕
例5.计算〔2+4+6+…+100〕-〔1+3+5+…+99〕
分析与解答:
容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。
进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。
因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
〔2+4+6+…+100〕-〔1+3+5+…+99〕
=〔2-1〕+〔4-3〕+〔6-5〕+…+〔100-99〕
=1+1+1+…+1
=50
练习八
计算下面各题
1.〔2001+1999+1997+1995〕-〔2000+1998+1996+1994〕
2.〔2+4+6+…+2000〕-〔1+3+5+…+1999〕
3.〔2+4+6+…+1998〕-〔1+3+5+…+1997〕
4.〔1+3+5+…+999〕-〔2+4+6+…+998〕
5.〔1+3+5+…+1999〕-〔2+4+6+…+1998〕
第九讲数阵图〔一〕
专题简析:
填“幻方〞是同学们比拟熟悉的一种数学游戏,由幻方演变出来的数阵问题,也是一类比拟常见的填数问题。
这里,和同学们讨论一些数阵的填法。
解答数阵问题通常用两种方法:
一是待定数法,二是试验法。
待定数法就是先用字母〔或符号〕表示满足条件的数,通过分析、计算来确定这些字母〔或符号〕应具备的条件,为解答数阵问题提供方向。
试验法就是根据题中所给条件选准突破口,确定填数的可能范围。
把分析推理和试验法结合起来,再由填数的可能情况,确定应填的数。
例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下列图的五个方格里,如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。
先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示,根据题意可知:
A+B+C+D+E=35,A+E+B+C+E+D=21×2=42。
把两式相比拟可知,E=42-35=7,即中间填7。
然后再根据5+9=6+8便可把五个数填进方格,如图b。
练习九
1.把1~10各数填入“六一〞的10个空格里,使在同一直线上的各数的和都是12。
2.把1~9各数填入“七一〞的9个空格里,使在同一直线上的各数的和都是13。
3.将1~7七个自然数分别填入图中的圆圈里,使每条线上三个数的和相等。
第十讲数阵图〔二〕
例2.将1~10这十个数填入下列图小圆中,使每个大圆上六个数的和是30。
分析:
设中间两个圆中的数为a、b,那么两个大圆的总和是1+2+3+……+10+a+b=30×2,即55+a+b=60,a+b=5。
在1~10这十个数中1+4=5,2+3=5。
当a和b是1和4时,每个大圆上另外四个数分别是〔2,6,8,9〕和〔3,5,7,10〕;当a和b是2和3时,每个大圆上另外四个数分别为〔1,5,9,10〕和〔4,6,7,8〕。
例3.将1~6这六个数分别填入下列图的圆中,使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
分析:
设中间三个圆内的数是a、b、c。
因为计算三条线上的和时,a、b、c都被计算了两次,根据题意可知:
1+2+3+4+5+6+〔a+b+c〕除以3没有余数。
1+2+3+4+5+6=21,21÷3=7没有余数,那么a+b+c的和除以3也应该没有余数。
在1~6六个数中,只有4+5+6的和最大,且除
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