高考数学第二轮复习 集合教学案.docx
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高考数学第二轮复习集合教学案
2019-2020年高考数学第二轮复习集合教学案
考纲指要:
考查重点是集合与集合之间的关系,特别是对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考点扫描:
1.集合的定义及表示法。
2.集合的包含关系。
3.集合的运算:
(1)全集与补集;
(2)交集与并集。
考题先知:
例1.设集合,,求实数m的取值范围.
分析:
关键是准确理解的具体意义,即方程至少有一个负根。
解法一:
的取值范围是UM={m|m<-2}.
解法三:
设这是开口向上的抛物线,,则二次函数性质知命题又等价于
点评:
一元二次方程至少有一个负根,有几种情形:
(1)有两个负根;
(2)有一个负根和一个正根;
(3)有一个负根和一个零根;考虑这三种情形未免显得繁琐,解法一从反面考虑,即“没有负根”,再求其补集,不失为妙法。
在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。
例2.已知集合若中的元素恰好是一个正八边形的八个顶点,则正数的值为_______
解析:
经分类讨论得,集合A表示以为顶点的正方形,集合B表示与这两支双曲线.
欲使中的元素恰好是一个正八边形的八个顶点,则由对称性知,只要满足与
在第一象限内有两个不同的交点,且即可。
设在第一象限内,由消去得,则,
所以(其中)。
又,所以,
则由,解得。
复习智略:
例3.对于集合,及它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:
按照递减的次序重新排列该子集元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数,例如:
集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6,集合的“交替和”是5,当集合N中的n=2时,的所有非空子集为,,
,则它的“交替和”的总和,请你尝试对于n=3,4的情况,计算它们的S3,S4,根据结果猜测的每一个非空子集的“交替和”的总和的表达式,并证之。
分析:
认真阅读题目,理解“交替和”的定义,正确猜想后,常用方法是数学归纳法,但也可联想组合数的有关思想证之。
解析:
当n=3时,所有非空子集为,,,,,,
,同理可得S4=32。
猜测:
证法一:
设,考察N的所有非空子集的“交替和”的总和中含有的个数及其符号:
集合N中比大的数共有个,N所有含的子集的个数即为集合
所有子集的个数,共有个,这个子集中不比大的元素的子集共有个(即所有子集的个数),此时在“交替和”的总和中符号为正;只含一个比大的集合共有个,此时在“交替和”的总和中符号为负;只含两个比大的集合共有个,此时在“交替和”的总和中符号为正;------,所以在总和中的取“一”的项数共有:
++
=,因为含的N的所有非空子集共有,所以N的所有非空子集的“交替和”的总和中符号为正的项数也有个,所以,总和中的项的和为0,因为n最大,总和中含n的项的符号都为正,所以。
证法二(数学归纳法):
当n=1时,结论成立;
假设当n=k时,结论成立。
即当的每一个非空子集的“交替和”的总和;
则当n=k+1时,此时N的子集可分为两类:
一类不含k+1,这类集合的“交替和”的总和就是;另一类含k+1,这类子集共有个,包括,这个子集可以有如下方法构成:
在的每一个子集(包括)中添加元素k+1,设的一个子集为其中,下面考察的“交替和”T(A)与的“交替和”T(B)之间的关系,不妨设,则T(A)=,
T(B)==k+1-T(A),所以,即
,所以含有k+1的N的所有的个这样子集的“交替和”的总和为
(k+1)-,故当n=k+1时,=(k+1),
综上所述:
。
推广:
当时,其中,记,则其“交替和”的总和为
。
检测评估:
1.设集合,若,则下列关系正确的是()
A.B.C.D.
2.如图,I为全集,M、P、S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()
A.B.
C.D.
3.设集合,其中,且,把满足上述条件的一对整数对作为一个点的坐标,可以得到的不同点的个数是()
A.7B。
8C。
9D。
10
4.设集合P={m|-1<m≤0,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,则下列关系中成立的是()
A.PQB.QPC.P=QD.P∩Q=Q
5.设函数,区间M=[a,b](a
A.0个B.1个C.2个D.无数多个
6.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。
则对A、B都赞成的学生有人,都不赞成的学生有人。
7.M是实数集R的任一子集,函数在R上定义如下:
,则对任何以实数元素的集合A、B,与的大小关系是
8.设数集,,且、都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合的长度的最小值是.
9.对于两个集合、我们把一切有序对所组成的集合(其中),叫做和的笛卡尔积,记作.如果,,则的真子集的个数为个.
10.集合A=,B=,若AB中有且仅有一个
元素,则r=。
11.对于函数,若,则称x为的“不动点”,若,则称x为的“稳定点”,函数的“不动点”与“稳定点”的集合分别记为A和B,即,。
(1)证:
;
(2)若,且,求实数a的取值范围;
(3)若是R上的单调递增函数,是函数的“稳定点”,问是函数的“不动点”
吗?
若是,请证明你的结论;若不是,请说明理由。
12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2-y2=1,x,y∈R}。
试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明:
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠。
点拨与全解:
1.解:
由于中只能取到所有的奇数,而中18为偶数。
则。
选项为D;
2.解:
从图可知,阴影部分的元素且但,故选C。
3.解:
显然,若则;若则,故选B。
4.解:
Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立=,对m分类:
①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0。
综上所述:
答案为A。
5.解:
易证是奇函数,当,此时单调递减,从而可证在上单调递减,所以要使M=N,则,得,从而,解之得:
a=b=0,矛盾,故选A。
6.解:
赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B。
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x。
依题意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。
所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人。
7.答:
=。
分类讨论即知。
8.根据定义得:
“长度”=,显然,所以取时长度有最小值。
9.根据题意知:
中共有6个元素,所以真子集有个。
10.解:
集合A表示以原点为圆心,2长为半径的圆组成的点集,集合B表示以(3,4)为圆心,r长为半径的圆组成的点集,考虑两圆内切得r=5+2=7,两圆外切得r=5-2=3,综上所述,r=7或2。
11.
(1)证:
设,则必有,从而,所以;
(2)由得,由
(1)知必有因式,所以当时,方程可化为,
即,即,
因,所以方程有解,且方程无解;或方程的解也是方程之解,从而①,且;
②当,即时,方程的解为,符合题意;
③当时,由得矛盾;综上所述,且。
(3)利用反证法:
假设不是函数的“不动点”,则,因是R上的单调递增函数,若,则;若,则,即,说明也不是函数的“稳定点”,与题设矛盾,从而假设不成立,得必是函数的“不动点”。
12.解:
(1)正确;在等差数列{an}中,Sn=,则(a1+an),这表明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上。
(2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组消去y得:
2a1x+a12=-4(*),
当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B=;
当a1≠0时,方程(*)只有一个解x=,此时,方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解。
∴A∩B至多有一个元素。
(3)不正确;取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0,>0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0如果A∩B≠,那么据
(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,这样的(x0,y0)A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B=,所以a1≠0时,一定有A∩B≠是不正确的。
2019-2020年高考数学第二轮复习教案空间角与距离的计算
考点核心整合
一.空间角
计算空间角,其一般方法是根据定义通过作辅助线或辅助面构造出要求的角并作出含有角的三角形,从而通过解三角形得角的值.
1.求异面直线所成角的常用方法
(1)平移法(定义法):
即根据定义找出或作出有关角的图形并证明它符合定义,进而求出角的大小.
(2)补形法:
有时在原几何体上补一个类似的几何体.
2.求直线与平面所成角的常用方法
(1)定义法:
关键是作出斜线在平面内的射影,即关键是判断射影在平面内的位置.
(2)公式法:
cos=cos1cos2(其中1为所求线面角,为斜线与平面内任一直线所成的角,2为射影与该直线所成的角).
3.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(1)二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系,它是转化成平面内两条相交直线所成的角(二面角的平面角)度量的,与顶点在棱上的位置无关.
(2)求二面角大小的三个步骤:
①找出或作出二面角的平面角(本着先找后作的原则);②证明符合定义;③指出某角即为二面角的平面角并计算(往往把该平面角放置到一个三角形中去求).简单地表述为:
一作,二证,三计算.
二面角的大小,课本中给出了具体范围,即为[0,π].
(3)求作二面角的平面角的方法:
①定义法:
在棱上找一点O,在二面角的两个面内分别作棱的垂线AO、BO,则∠AOB即为二面角的平面角.
②用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角:
从二面角的一个面内选一个特殊点A,由A向另一个平面作垂线,垂足为B,再由B向棱作垂线交于点C,则∠ACB即为二面角的平面角.
③作棱的垂面:
作垂直于二面角的棱或二面角两个半平面的垂面,则该垂面与两个半平面交线所成的角就是二面角的平面角.
④面积法:
如果一个多边形在一个平面内的射影是一个多边形,且这两个多边形所在平面所成的二面角为,则cos=.
⑤对于未给棱的二面角的求法,一般情况下首先作棱或在有利条件下利用射影公式求更方便.
二、空间的距离
立体几何中涉及到的距离有八种:
两点间距离、点到直线距离、点到平面距离、两平行线间距离、异面直线间距离、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离以及求球面上两点间距离.这八种距离都归结到求点到点、点到直线、点到面这三种距离.求距离问题的解题步骤是找到表示该距离的线段,证明该线段合题意,得到该线段所在三角形,解这个三角形,求出距离.
1.求异面直线间距离大体有如下的解法:
(1)作出两条
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