第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx

第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx

《第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章 三角形与四边形 第3讲 四边形与多边形文档格式.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

12．（2012年江苏泰州）如图X4－3－9，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.求证：

四边形ABCD是平行四边形．

图X4－3－9

B级　中等题

13．（2011年重庆潼南）如图X4－3－10，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：

①AO＝BO；

②OE＝OF;

③△EAM∽△EBN；

④△EAO≌△CNO，其中正确的是（　　）

图X4－3－10

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

14．（2012年辽宁沈阳）如图X4－3－11，在□ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.

（1）求证：

△AEM≌△CFN；

（2）求证：

四边形BMDN是平行四边形．

图X4－3－11

C级　拔尖题

15．（2012年山东威海）

（1）如图X4－3－12

（1），□ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.

求证：

（2）如图X4－3－12

（2），将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.

EI＝FG.

（1）

（2）

图X4－3－12

选做题

16．如图X4－3－13，已知四边形ABCD是平行四边形．

△MEF∽△MBA；

（2）若AF，BE分别为∠DAB，∠CBA的平分线，求证：

DF＝EC.

图X4－3－13

1．B　2.A　3.C　4.C　5.300°

　6.3　7.4　8.6　9.5

10．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD.∴∠PAE＝∠PCF.

∵点P是□ABCD的对角线AC的中点，

∴PA＝PC.

在△PAE和△PCE中，

∴△PAE≌△PCE（ASA）．∴AE＝CF.

11．解：

添加的条件是BE＝DF.证明如下：

∴AD∥BC，AD＝BC.

∵BE＝DF，∴AF＝CE，

即AF＝CE，AF∥CE.

∴四边形AECF是平行四边形．

12．证明：

∵AE⊥AD，CF⊥BC，

∴∠EAD＝∠FCB＝90°

.

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠FBC，

在Rt△AED和Rt△CFB中，

∵

∴Rt△AED≌Rt△CFB.∴AD＝BC.

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

13．B

14．证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB＝∠BCD.∴∠EAM＝∠FCN.

又∵AD∥BC，∴∠E＝∠F.

在△AEM与△CFN中，

∴△AEM≌△CFN.

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD.

又由

（1），得AM＝CN，

∴BM∥DN，BM＝DN.

∴四边形BMDN是平行四边形．

15．证明：

∴AD∥BC，OA＝OC.∴∠1＝∠2.

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE＝CF.

∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.

由

（1），得AE＝CF，

由折叠的性质，得AE＝A1E，∠A1＝∠A，∠B1＝∠B，

∴A1E＝CF，∠A1＝∠A＝∠C，∠B1＝∠B＝∠D，

又∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4.

∵∠5＝∠3，∠4＝∠6，∴∠5＝∠6.

在△A1IE与△CGF中，

∴△A1IE≌△CGF（AAS）．∴EI＝FG.

16．证明：

（1）在□ABCD中，CD∥AB，

∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB.

∴△MEF∽△MBA.

（2）∵在□ABCD中，CD∥AB，

∴∠DFA＝∠FAB.

又∵AF是∠DAB的平分线，

∴∠DAF＝∠FAB.∴∠DAF＝∠DFA.∴AD＝DF.

同理，得EC＝BC.

∵在□ABCD中，AD＝BC，∴DF＝EC.

第2课时　特殊的平行四边形

1．B　2.D　3.A　4.C　5.D　6.B　7.3　8.

9．证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°

又∵BE⊥AG，DF⊥AG，

∴∠1＋∠3＝90°

，∠2＋∠4＝90°

∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.

又∵AD＝AB，∴△ADF≌△BAE.

由平移变换的性质，得

CF＝AD＝10cm，DF＝AC，

∵∠B＝90°

，AB＝6cm，BC＝8cm，

∴AC2＝AB2＋CB2，即AC＝10cm.

∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm.

∴四边形ACFD是菱形．

11．证明：

∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，

∴DE∥AC，DF∥AB.

∴四边形AEDF是平行四边形．

又∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC.∴AE＝AF.

∴平行四边形AEDF是菱形．

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.

∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴CD∥AE，CD＝AE.

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°

∴平行四边形ADCE是矩形．

13．24　14.

－1

15．

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM.

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.

又∵点E是AD边的中点，

∴DE＝AE.∴△NDE≌△MAE.∴ND＝MA.

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：

①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵AM＝1＝

AD，∴∠ADM＝30°

∵∠DAM＝60°

，∴∠AMD＝90°

∴四边形AMDN是矩形．

②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM＝2，∴AM＝AD＝2.

∴△AMD是等边三角形．∴AM＝DM.

∴四边形AMDN是菱形．

（1）如图D51

（1），连接AC，

图D51

∵菱形ABCD中，∠B＝60°

，

∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°

－∠B＝120°

∴△ABC是等边三角形．

∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.

∵∠AEF＝60°

，∴∠FEC＝90°

－∠AEF＝30°

∴∠CFE＝180°

－∠FEC－∠C＝180°

－30°

－120°

＝30°

∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.

（2）如图D51

（2），连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°

∴AB＝BC，∠D＝∠B＝60°

，∠ACB＝∠ACF.

∴AB＝AC，∠ACB＝60°

.∴∠B＝∠ACF＝60°

∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝60°

＋∠FAD，∠AFC＝∠D＋∠FAD＝60°

＋∠FAD.

∴∠AEB＝∠AFC.

在△ABE和△AFC中，

∴△ABE≌△ACF（AAS）．∴AE＝AF.

∵∠EAF＝60°

，∴△AEF是等边三角形．

17．解：

（1）关系：

∠AFC＝∠ACB－∠DAC.

证明：

∵四边形ADEF为正方形，

∴AD＝AF，∠FAD＝90°

∵∠BAC＝90°

，∠FAD＝90°

∴∠BAC＋∠CAD＝∠FAD＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，

在△ABD和△ACF中，

∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠AFC＝∠ADB.

∵∠ACB是△ACD的一个外角，

∴∠ACB＝∠ADB＋∠DAC.

∴∠ADB＝∠ACB－∠DAC.

∵∠ADB＝∠AFC，∴∠AFC＝∠ACB－∠DAC.

（2）关系：

∠AFC＋∠DAC＋∠ACB＝180°

∴∠DAF＝90°

，AD＝AF.

又∠BAC＝90°

，∴∠DAF＝∠BAC.

∴∠DAF－∠BAF＝∠BAC－∠BAF，即∠DAB＝∠FAC.

∴△ABD≌△ACF（SAS）．∴∠ADB＝∠AFC.

在△ADC中，∠ADB＋∠ACB＋∠DAC＝180°

则∠AFC＋∠ACB＋∠DAC＝180°

第3课时　梯形

1．C　2.C　3.C　4.B　5.A　6.B

7．2　8.9　9.4

∴∠DEC＝∠EDA，∠BEA＝∠EAD.

又∵EA＝ED，

∴∠EAD＝∠EDA.∴∠DEC＝∠AEB.

又∵EB＝EC，

∴△DEC≌△AEB.∴AB＝CD.

∴梯形ABCD是等腰梯形．

11．

（1）证明：

∵∠BDC＝90°

，∠BDE＝∠DBC，

∴∠EDC＝∠BDC－∠BDE＝90°

－∠BDE，∠C＝90°

－∠DBC，

∴∠EDC＝∠C.∴DE＝EC.

（2）若AD＝

BC，则四边形ABED是菱形．

∵∠BDE＝∠DBC.∴BE＝DE.

∵DE＝EC，∴BE＝EC＝

BC.∴AD＝BE.

∴四边形ABED是平行四边形．

∴□ABED是菱形．

12．

（1）证明：

在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，

∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA.

∴∠ABE＝∠CDA.

在△ABE和△CDA中，

∴△ABE≌△CDA.

由

（1），得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，

∴∠AEB＝∠ACE.

∵∠DAC＝40°

，∴∠AEB＝∠ACE＝40°

∴∠EAC＝180°

－40°

＝100°

13．28　14.D

15．解：

（1）设AB＝10xkm，则AD＝5xkm，CD＝2xkm，

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴BC＝AD＝5xkm.∴AD＋CD＋CB＝12xkm.

∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x∶10x＝6∶5.

（2）由

（1），知市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意，得

＝

＋

解方程，得x＝1.

∴10x＝10.

答：

市区公路的长为10km.

16．解：

（1）如图D52，过点D作DG⊥BC于点G.

由已知，得四边形ABGD为正方形.

∵DE⊥DC，

∴∠ADE＋∠EDG＝90°

＝∠GDC＋∠EDG.

∴∠ADE＝∠GDC.

又∵∠A＝∠DGC，且AD＝GD，

∴△ADE≌△GDC.∴DE＝DC，且AE＝GC.

在△EDF和△CDF中，

图D52

∴△EDF≌△CDF.

∴EF＝CF.

（2）∵tan∠ADE＝

∴AE＝GC＝2.

设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4.

由勾股定理，得x2＝（8－x）2＋42.

解得x＝5,即EF＝5.

结论为：

EF∥AD∥BC，EF＝

（AD＋BC）．理由如下：

图D53

如图D53，连接AF并延长交BC于点G.

∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠G，

在△ADF和△GCF中，

∴△ADF≌△GCF.∴AF＝FG，AD＝CG.

又∵AE＝EB，∴EF∥BG，EF＝

BG，

即EF∥AD∥BC，EF＝

（AD＋BC）．

1．（2012年湖北宜昌）如图X4－3－14，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°

，则△ABC的周长等于（　　）

图X4－3－14

A．20

B．15

C．10

D．5

2．（2011年四川绵阳）下列关于矩形的说法中正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．矩形的对角线互相垂直且平分

D．矩形的对角线相等且互相平分

3．（2011年江苏无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直B．对角线相等

C．对角线互相平分D．对角互补

4．（2012年湖南张家界）顺次连接矩形四边的中点所得的四边形一定是（　　）

A．正方形B．矩形

C．菱形D．等腰梯形

5．（2012年天津）如图X4－3－15，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　）

图X4－3－15

A.

B．3－

C.

＋1

D.

－1

6．（2011年湖南益阳）如图X4－3－16，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：

分别以A和B为圆心，大于

AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形B．菱形

C．正方形D．等腰梯形

图X4－3－16

图X4－3－17

图X4－3－18

7．（2012年吉林长春）如图X4－3－17，□ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为________．

8．（2012年黑龙江哈尔滨）如图X4－3－18，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，则AB的长为________．

9．（2011年陕西）如图X4－3－19，在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：

△ADF≌△BAE.

图X4－3－19

10．（2012年浙江温州）如图X4－3－20，在△ABC中，∠B＝90°

，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：

四边形ACFD是菱形．

图X4－3－20

11．（2012年湖北恩施）如图X4－3－21，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：

四边形AEDF是菱形．

图X4－3－21

12．如图X4－3－22，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：

四边形ADCE是矩形．

图X4－3－22

13．（2012年湖南衡阳）如图X4－3－23，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD＝

，则菱形ABCD的面积为________cm2.

图X4－3－23

图X4－3－24

14．（2012年四川宜宾）如图X4－3－24，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝____________.

15．（2012年河南）如图X4－3－25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°

，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.

四边形AMDN是平行四边形；

（2）填空：

①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；

②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．

图X4－3－25

16．（2012年江苏南通）在菱形ABCD中，∠B＝60°

，点E在边BC上，点F在边CD上．

（1）如图X4－3－26

（1），若E是BC的中点，∠AEF＝60°

，求证：

BE＝DF；

（2）如图X4－3－26

（2），若∠EAF＝60°

△AEF是等边三角形．

图X4－3－26

17．（2012年黑龙江）在△ABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图X4－3－27

（1），易证：

∠AFC＝∠ACB＋∠DAC；

（1）若点D在BC的延长线上，其他条件不变，写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系，并结合图X4－3－27

（2）给出证明；

（2）如图X4－3－27（3），若点D在CB的延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC，∠ACB，∠DAC的关系式．

图X4－3－27

1．（2012年四川乐山）下列命题是假命题的是（　　）

A．平行四边形的对边相等

B．四条边都相等的四边形是菱形

C．矩形的两条对角线互相垂直

D．等腰梯形的两条对角线相等

2．（2011年山东滨州）如图X4－3－28，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°

，∠B＝60°

，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：

①邻边不等的矩形；

②等腰梯形；

③有一个角为锐角的菱形；

④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（　　）

A．1　　B．2　C．3　D．4

图X4－3－28

图X4－3－29

3．（2012年福建漳州）如图X4－3－29所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝80°

，则∠D的度数是（　　）

B．110°

C．100°

D．80°

4．（2011年广西来宾）在直角梯形ABCD中（如图X4－3－30所示），已知AB∥DC，∠A＝90°

，∠B＝60°

，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB等于（　　）

A．3B．5C．6D．8

图X4－3－30

图X4－3－31

5．（2012年江苏无锡）如图X4－3－31，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝5，BC＝9，CD的垂直平分线交BC于点E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）

A．17B．18C．19D．20

6．（2012年山东烟台）如图X4－3－32，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且点B的坐标为（4,0），点D的坐标为（0,3），则AC长为（　　）

A．4B．5C．6D．不能确定

图X4－3－32

图X4－3－33

7．（2012年江苏南通）如图X4－3－33，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°

，AB＝7cm，BC＝3cm，AD＝4cm，则CD＝______cm.

8．（2012年四川内江）如图X4－3－34，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________.

图X4－3－34

图X4－3－35

9．（2012年湖南长沙）如图X4－3－35，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°

，则BC的长为________．

10．（2012年湖北襄阳）如图X4－3－36，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED，AC与ED相交于点F.求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

图X4－3－36

11．（2012年江苏盐城）如图X4－3－37所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°

，E为BC上一点，∠BDE＝∠DBC.

DE＝EC；

BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

图X4－3－37

12．（2012年江苏苏州）如图X4－3－38，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到点E，使得BE＝AD，连接AE，AC.

△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC＝40°

，求∠EAC的度数．

图X4－3－38

13．（2012年湖北咸宁）如图X4－3－39，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°

，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为________．

图X4－3－39

图X4－3－40

14．（2012年四川达州）如图X4－3－40，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，则下列结论：

①EF∥AD；

②S△ABO＝S△DCO；

③△OGH是等腰三角形；

④BG＝DG；

⑤EG＝HF.

其中正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

15．（2012年河北）如图X4－3－41，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD－DC－CB，这两条公路围