初二期中复习最短路径+角平分线+全等三角形综合Word文件下载.docx

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图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

三、一点在两相交直线内部

例1：

如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

例2：

如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？

（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

D

例3：

某班举行晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

F

例4：

如图：

C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

4、综合应用

如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：

DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，问如何恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短？

（二）角平分线性质判定

1、角平分线的性质定理：

注意两点：

（1）角平分线上的点到角两边的距离相等

（2）一对全等三角形

经典例题透析

类型一：

角平分线性质的应用

1、如图，△ABC中，∠C=90°

，AD平分∠BAC，点D在BC上，且BC=24，CD:

DB=3:

5

　　　　　　求：

D到AB的距离。

　　思路点拨:

点到直线的距离是经过该点作直线的垂线，该点与垂足之间线段的长度。

举一反三：

　　【变式】如图，∠ACB=90°

BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F.

　　　　　　求证：

AE=CF

类型二：

角平分线的判定

2、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：

AF为∠BAC的平分线。

　　思路点拨：

由已知条件与待求证的结论，应想到角平分线的判定定理。

总结升华：

应用角平分线定理及逆定理时不要遗漏了“垂直”的条件。

如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性。

　　举一反三：

　　【变式】如图，已知AB=AC,AD=AE,DB与CE相交于O

（1）若DB⊥AC,CE⊥AB,D,E为垂足，试判断点O的位置及OE与OD的大小关系，并证明你的结论。

（2）若D，E不是垂足，是否有同样的结论？

并证明你的结论。

类型三、角平分线的综合应用

一、已知角平分线，构造三角形

例题:

如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。

∠BAP＋∠BCP=180°

。

三、作垂线段

当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种：

1、把已知角平分两个相等的小角；

2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。

例1如图，已知：

∠A=90º

，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：

CP平分∠DCB。

分析：

因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD，垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分∠DCB。

证明：

作PE⊥CD，垂足为E，

作图综合：

如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。

请你画出灯柱的位置P。

线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。

2、直角三角形的全等问题：

直角三角形的研究是整个中学几何图形部分里的重点！

直角三角形有关的全等问题中，除了特用的HL定理之外，在条件的寻找上首先就有了一组直角相等；

而多个直角，多个垂直的图形组合在一块时，就很容易利用“同（等）角的余角相等”来得到其他的角相等。

图1，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，问CD=AB吗？

[变形1]：

请说明△BCE是直角三角形。

[变形2]：

两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，

在同一条直线上，连结CD．（彩图为提示）

（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

CD⊥BE

[变形3]、如图2，在△ABC中，高AD与BE相交于点H，且AD=BD，

问△BHD≌△ACD，为什么？

[变形4]：

如图3，已知ED⊥AB，EF⊥BC，BD=EF，问BM=ME吗？

说明理由。

[变形5]：

如图4，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，于是他认定DB的高度也为2米，你觉得对吗?

请说明理由。

例二：

如图1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°

，问BD=AB+ED吗?

[分析]：

（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°

角，得到一组等量关系；

（2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；

（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：

如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到AC=BD。

如图7，如果△ABC≌△CDE，请说明AC与CE的关系。

[注意]：

两条线段的关系包括：

大小关系（相等，一半，两倍之类）；

位置关系（垂直，平行之类）

如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F，

求证：

DE=BF

[分析]：

注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。

[变形3]：

如图8，在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，

如果CE=3，BD=7，请你求出DE的长度。

说明相等的边所在的三角形全等，

题中“AB=AC”，发现：

AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，

所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等（如图9）

于是：

已经存在了两组等量关系：

AB=AC，直角=直角，

再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。

在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图9的位置时，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。

你能说出其中的道理吗？

（2）当直线MN绕点C旋转到图10的位置时，DE=AD-BE。

说说你的理由。

（3）当直线MN绕点C旋转到图11的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系。

（三）等腰三角形、等边三角形的全等

[必备知识]：

如右图，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；

反之，也成立。

例三：

已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，请问BD=CE吗？

[分析]这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，

分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边，

关键还是在于：

说明“相等的边（角）所在的三角形全等”

过点A分别作两个大小不一样的等边三角形，连接BD，CE，请说明它们相等。

如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接BD，CE，请说明它们相等