最新高考数学专题复习精品一轮资料第9章 第41课 直线平面垂直的判定及其性质.docx
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最新高考数学专题复习精品一轮资料第9章第41课直线平面垂直的判定及其性质
第41课直线、平面垂直的判定及其性质
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
直线与平面垂直的判定及性质
√
两平面垂直的判定及性质
√
1.直线与平面垂直
图形
条件
结论
判
定
a⊥b,b⊂α(b为α内的任意一条直线)
a⊥α
a⊥m,a⊥n,m,n⊂α,m∩n=O
a⊥α
a∥b,a⊥α
b⊥α
性
质
a⊥α,b⊂α
a⊥b
a⊥α,b⊥α
a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质
定理
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行.( )
(4)若两个平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
[答案]
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(2017·南京模拟)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:
(1)若l⊥α,m⊂α,则l⊥m;
(2)若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
(3)若l∥α,m⊂α,则l∥m;
(4)若l∥α,m∥α,则l∥m,
则其中正确的命题是____________.(填序号)
(1)
(2) [∵l⊥α,m⊂a,∴l⊥m,故
(1)正确;
若l⊥α,l∥m,由线面垂直的第二判定定理,我们可得m⊥α,故
(2)正确;
若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行也可能垂直,故(3)错误;
若l∥α,m∥α,则l与m可能平行也可能垂直也可能异面,故(4)错误.]
3.如图411,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
图411
4 [∵PA⊥平面ABC,
∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
则△PAB,△PAC为直角三角形.
由BC⊥AC,且AC∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC.
∴△ABC,△PBC也是直角三角形.]
4.(教材改编)在三棱锥PABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的____________心.
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的____________心.
(1)外心
(2)垂心 [∵PO⊥平面ABC,且PA=PB=PC,
∴OA=OB=OC,∴O是△ABC的外心.
(2)∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,∴PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC,
又PO⊥BC
∴BC⊥平面PAO
∴AO⊥BC,
同理BO⊥AC,CO⊥AB,
∴O是△ABC的垂心.]
5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则折叠后AC的长为________.
a [如图所示,取BD的中点O,连结A′O,CO,则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角.
即∠A′OC=90°,又A′O=CO=a,
∴A′C==a,即折叠后AC的长(A′C)为a.]
线面垂直的判定与性质
如图412所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.
图412
求证:
PA⊥CD.【导学号:
62172224】
[证明] 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,在Rt△ABC中,由AC=BC,得∠ABC=30°.
设AD=1,由3AD=DB,得DB=3,BC=2,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3,
所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO.
因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,
所以PD⊥CD,由PD∩AO=D,得CD⊥平面PAB,又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.
[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有:
(1)判定定理;
(2)垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);
(3)面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)面面垂直的性质.
2.证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
[变式训练1] 如图413,在三棱锥ABCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
图413
(1)求证:
CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥AMBC的体积.
[解]
(1)证明:
因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,
所以AB⊥CD.
又因为CD⊥BD,AB∩BD=B,
AB⊂平面ABD,BD⊂平面ABD,
所以CD⊥平面ABD.
(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD.
又AB=BD=1,所以S△ABD=×12=.
因为M是AD的中点,所以S△ABM=S△ABD=.
根据
(1)知,CD⊥平面ABD,
则三棱锥CABM的高h=CD=1,
故三棱锥VAMBC=VCABM=S△ABM·h=.
面面垂直的判定与性质
如图414,三棱台DEFABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
图414
(1)求证:
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:
平面BCD⊥平面EGH.
[证明]
(1)如图所示,连结DG,CD,设CD∩GF=M,
连结MH.
在三棱台DEFABC中,
AB=2DE,G为AC的中点,
可得DF∥GC,DF=GC,
所以四边形DFCG为平行四边形.
则M为CD的中点,
又H为BC的中点,
所以HM∥BD,
由于HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
故BD∥平面FGH.
(2)连结HE.
因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.
由AB⊥BC,得GH⊥BC.
又H为BC的中点,
所以EF∥HC,EF=HC,
因此四边形EFCH是平行四边形,
所以CF∥HE.
由于CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H.
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路:
(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;
(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.
2.垂直问题的转化关系:
线线垂直线面垂直面面判定性质垂直
[变式训练2] 如图415,在三棱锥PABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,M,N分别为AB,PA的中点.
图415
(1)求证:
PB∥平面MNC;
(2)若AC=BC,求证:
PA⊥平面MNC.【导学号:
62172225】
[证明]
(1)因为M,N分别为AB,PA的中点,所以MN∥PB,
又因为MN⊂平面MNC,PB⊄平面MNC,
所以PB∥平面MNC.
(2)因为PA⊥PB,MN∥PB,所以PA⊥MN.
因为AC=BC,AM=BM,所以CM⊥AB.
因为平面PAB⊥平面ABC,
CM⊂平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB.
所以CM⊥平面PAB.
因为PA⊂平面PAB,所以CM⊥PA.
又MN∩CM=M,所以PA⊥平面MNC.
平行与垂直的综合问题
角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
(2016·江苏高考)如图416,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
图416
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明]
(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
[规律方法] 1.三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行结合问题,求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
角度2 平行垂直中探索开放问题
如图①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图②所示.
① ②
图417
(1)求证:
A1F⊥BE;
(2)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?
并说明理由.
[证明]
(1)由已知,得AC⊥BC,且DE∥BC.
所以DE⊥AC,则DE⊥DC,DE⊥DA1,
因为DC∩DA1=D,
所以DE⊥平面A1DC.
由于A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD,CD∩DE=D,
所以A1F⊥平面BCDE,
又BE⊂平面BCDE,
所以A1F⊥BE.
(2)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.
理由如下:
如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,连结PQ,则PQ∥BC.
又因为DE∥BC,则DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.
由
(1)知,DE⊥平面A1DC,
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,
所以A1C⊥DP.
又DP∩DE=D,
所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.
[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径:
(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.
2.平行(垂直)中点的位置探索性问题:
一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.
[思想与方法]
1.证明线面垂直的方法:
(1)线面垂直的定义:
a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α;
(2)判定定理1:
⇒l⊥α;
(3)判定定理2:
a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
(4)面面垂直的性质:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
2.证明面面垂直的方法.
(1)利用定义:
两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理:
a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
3.转化思想:
垂直关系的转化
线线垂直面面判定性质垂直
[易错
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