线性方程组的直接法Word格式文档下载.docx

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　　显然,求解n阶对角方程的运算量为

　　下三角方程组

　　　　　（2。

4）

　　按照方程组的顺序，从第一个方程至第

个方程，逐个解出

　　由方程

，得

将

的值代入到第二个方程

　　得　　　　　　　　　

　　将

的值代入到第

个方程

　　得　　　　　　

　　计算

需要

次乘法或除法运算,

因此,求解过程中的运算量为

　　上三角方程组

（2。

5）

　　与计算下三角方程组的次序相反，从第

个方程至第一个方程,逐个解出

　　由第

　　得解的通式

次乘法或除法运算

因此求解过程中的运算量为

　　消元法的基本思想就是通过对方程组做初等变换，把一般形式的方程组化为等价的具有上述形式的易解方程组.

　　二、高斯消元法与列主元消元法

　　高斯消元法

　　高斯消元法是我们熟悉的古老、简单而有效的解方程组的方法。

下面是中学阶段解二元方程组（高斯消元法）的步骤：

（2.6）

（2.7）

　　方程（2。

6）乘以－3加到第（2。

7）个方程中得

代入（2。

6）得

　　其方法相当于对方程组的增广矩阵做行的初等变换:

已是上三角矩阵,而

　　为原方程组的等价方程组，已化成易解的方程组形式.再用回代方法求解,得到：

　　这就是高斯消元法解方程组的消元和回代过程.

　　一般地，可对线性方程组（2。

1）施行以下一系列变换；

（1）对换某两个方程的次序；

（2）对其中某个方程的两边同乘一个不为零的数；

　　（3）把某一个方程两边同乘一个常数后加到另一个方程的两边。

　　记变换后的方程组为：

　　（2。

8）

　　显然方程组（2。

1）与（2。

8）是等价方程组，或者说它们有相同的解.分别记方程组（2.1）与（2。

8）的增广矩阵为：

　　可以看出,

实际上是由

按一系列初等换后得到的

（1）对换

某两行元素；

（2）

中的某行乘一个不为零的数；

　　（3）把

的某一行乘一个常数后加到另一行。

　　高斯消元法就是通过以上（3）的变换，把

化为等价的上三角形式。

　　下面我们以

为例演示消元过程。

　　设方程组：

　　　　　（2.9）

　　其增广矩阵为：

（1）若

，则将第一行乘以

加到第二行上；

将第一乘以

　　加到第三行上；

将第一行乘以

加到第四行上得到

　　　　　　　　　（2.10）

　　即 

　　其中：

（2）若

则将第二行乘以

加到第三行上；

将第二行乘以

加到第四行上，得到

　　　　　　　　　（2.11）

　　（3）若

则将第三行乘以

　　　　　（2。

12）

　　其中:

已是上三角矩阵,于是得到了与原方程等价的易解形式的方程组：

（2.13）

　　再对方程组（2。

13）依次回代解出

　　从式（2.12）可以得到系数矩阵

的行列式的值为

的对角元素的乘积。

即

　　这也正是在计算机上计算方阵

的行列式的常规方法。

　　要将上述解方程步骤推广到

阶方程组，只需将对控制量“4”的操作改成对控制量

的操作即可。

元方程组高斯消元法的步骤如下：

　　对于

约定

有

（2.14）

　　经过以上消元，我们已得到与

等价的方程组

其中

已是一个上三角矩阵.为简单起见，仍记

的元素为

　　　　　　（2.15）

　　即已得到原方程组的解。

　　高斯消元法算法

　　在算法中略去了变量，矩阵和向量的定义部分.在消元过程中，将

仍放在

元素的位置上。

　　1．输入：

方程组阶数n，方程组系数矩阵A和常数向量b。

　　2．FOR 

k:

=1TOn—1 

//消元过程

｛ 

FOR 

i：

=k+1TOn

{ 

// 

假定

FOR 

j：

} 

ENDFORJ

｝ 

// 

ENDFORI

} 

ENDFORK

　　3．FORi:

=nTO1 

//回代求解

s:

=bi

FOR 

j:

=i+1 

TO 

n 

DO

　　｝

　　4．输出方程组的解

　　高斯消元法的运算量

　　整个消元过程即式（2.14）的乘法和除法的运算量为

　　回代过程即式（2.15）的乘除运算量为

　　故高斯消元法的运算量为

　　　　　　　　　（2.16）

　　高斯消元法的可行性

　　在上面的消元法中，未知量是按照在方程组中的自然顺序消去的，也叫顺序消元法。

　　在消元过程中假定对然元素

，消元步骤才能顺利进行,由于顺序消元不改变

的主子式值，故高斯消元法可行的充分必要条件为

的各阶主子式不为零。

但是，实际上只要

方程组

就有解。

故高斯消元法本身具有局限性。

　　另一方面，即使高斯消元法可行，如果

很小,在运算中用它作为除法的分母

会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。

这是高斯消元法的另一缺陷。

　　例2。

1方程组

（2。

17）

18）

的精确解为：

在高斯消元法计算中取5位有效数字。

　　解:

方程（2。

17）×

（－1）/0.0003+方程（2。

18）得：

，代入方程（2.17）得

由此得到的解完全失真，如果交换两个方程的顺序，得到等价方程组

　　经高斯消元后有

　　由此可看到，在有些情况下，调换方程组的次序对方程组的解是有影响的，对消元法中抑制舍入误差的增长是有效的。

　　如果不调换方程组的次序，取6位有效数字计算方程组的解，得到

　　取9位有效数字计算方程组的解，得到

　　由此可见有效数字在数值计算中的作用.

　　列主元消元法

　　如果在一列中选取按模最大的元素，将其调到主干方程位置再做消元，则称为列主元消元法.调换方程组的次序是为了使运算中做分母量的绝对值尽量地大，减少舍入误差的影响.

　　用列主元方法可以克服高斯消元法的额外限制，只要方程组有解,列主元消元法就能畅通无阻地顺利求解，同时又提高了解的精确度。

　　更具体地，第一步在第一列元素中选出绝对值最大的元素

，交换第一行和第

行的所有元素,再做化简

为零的操作。

　　对于每个

在做消元前，选出

中绝对值最大的元素

，对

行和

行交换后，再做消元操作,这就是列主元消元法的操作步骤.由于

，可证

中至少有一个元素不为零，从理论上保证了列主元消元法的可行性.列主元消元法与高斯消元法相比，只增加了选列主元和交换两个方程组（即两行元素）的过程。

　　列主元消元法算法

方程组阶数

，方程组系数矩阵

和常数向量项

　　2．

//选主元的消元过程

｛//选择

交换第

行和第

行

｝ 

=nTO1 

回代求解

　　4．输出方程组的解

.

　　如果对于第

步，从

行至

行和从

列至

列中选取按模最大的

，对第

行交换，对第

列和第v列交换，这就是全主元消元法.在k列和第v列交换时，还要记录下v的序号,以便恢复未知量xk和xv的位置.

　　3.1。

3高斯－若尔当（Gauss－Jordan）消元法

　　高斯消元法将系数矩阵化为上三角矩阵,再进行回代求解；

高斯－若尔当消元法是将系数矩阵化为对角矩阵，再进行求解,即对高斯消元法或列主元消元法得到的等价增广矩阵:

　　用第4行乘

加到第3行上，用第4行乘

加到第2行上，用第4行乘

加到第1行上，得到

　　用第3行乘

加到第2行上,用第3行乘

加到第1行上，再用第2行乘

（2.19）

　　为方便起见,仍记式（2。

19）系数矩阵元素为

，常数项元素为

.那么

　　用初等变换化系数矩阵为对角矩阵的方法称为高斯－若尔当消元法。

从形式上看对角矩阵（2。

15）比上三角矩阵（2.11）更为简单，易于计算

，但是将上三角矩阵（2。

11）化为对角矩阵（2。

15）的工作量略大于上三角矩阵回代的工作量.

　　高斯—若尔当消元法求逆矩阵

为非奇异矩阵，方程组

的增广矩阵为

如果对

应用高斯-若尔当消元法化为

，则

2用高斯—若尔当消元法求

的逆矩阵

　　解：

　　解得:

2 

直接三角分解法

　　仍以

为例,在高斯消元法中,从对方程组进行初等变换的角度观察方程组系数矩阵的演变过程.第一次消元步骤将方程组（2.9）化为方程组（2.10）,相当于用了三个初等矩阵左乘

和

.记

，容易验证，

　　由

得到

其中

　　将方程组（2.10）化为方程组（2。

11），相当于用了两个初等矩阵左乘

　　记

　　·

　　同理，将方程组（2.11）化为方程组（2。

12），相当于用一个初等矩阵左乘

有

　　完成了消元过程,有

　　亦有所有消元步骤表示为：

左乘一系列下三角初等矩阵。

容易验证,这些下三角矩阵的乘积

仍为下三角矩阵，并有

　　于是有

　　或

　　这里

仍为下三角矩阵,其对角元素为1，称为单位下三角矩阵,而

已是上三角矩阵。

，则有

　　结果表明若消元过程可行，可以将

分解为单位下三角矩阵

与上三角矩阵

的乘积。

由此派生出解方程组的直接分解法。

　　由高斯消元法得到启发，对

消元的过程相当于将

分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的过程。

如果直接分解

这时方程

化为

，令

由

解出

；

再由

，解出

这就是直接分解法.

　　将方阵

分解为

，当

是单位下三角矩阵，

是上三角矩阵时,称为多利特尔（Doclittle）分解；

当

是下三角矩阵，

是单位上三角矩阵时,称为库朗（Courant）分解。

分解的条件是若方阵

的各阶主子式不为零,则多利特尔分解或库朗分解是可行和惟一的。

　　一、多利特尔分解

　　多利特尔分解步骤

　　若

的各阶主子式不为零,

可分解为

，其中

为单位下三角矩阵，

为上三角矩阵,即

（2.20）

　　矩阵

共有

个未知元素,按照

的行元素

的列元素的顺序，对每个

列出式（2.16）两边对应的元素关系式，一个关系式解出一个

或

的元素。

下面是计算

的元素的步骤:

（1）计算

的第一行元素

　　要计算

则列出式（2。

20）等号两边的第1行第1列元素的关系式:

　　故

一般地，由

的第一行元素的关系式

　　得到

（2）计算

的第一列元素

，则列出式（2.20）等号两边的第2行第1列元素的关系式：

.一般地，由

的第1列元素的关系式

　　（3）计算

的第2行元素

　　（4）计算

的第2列元素

　　……

　　若已算出

的前

行,

列的元素，则

　　（5）计算

行元素

行元素的关系式：

是上三角矩阵，

列标

行标

　　　　　（2.21）

　　（6）计算

列元素

列元素的关系式:

　　∵

是下三角矩阵，∴行标标

（2.22）

　　一直做到

列,

行为止。

　　用

直接分解方法求解方程组所需要的计算量仍为

，和用高斯消元法的计算量基本相同。

　　可以看到在分解中

的每个元素只在式（2.21）或（2。

22）中做而且仅做一次贡献，如果需要节省空间，可将

以及

的元素直接放在矩阵

相应元素的位置上。

　　用直接分解法解方程

，首先作出分解

令

，解方程组

.由于

是单位下三角矩阵，容易得到

23）

　　再解方程组

（2.24）

　　对

进行

分解时，并不涉及常数项

因此，若需要解具有相同系数的一系列线性方程组时,使用直接分解法可以达到事半功倍的效果。

　　多利特尔直接分解算法

　　1。

输入:

系数矩阵

和常数项

　　2。

计算

//计算

　　　　　　｝ 

完成

分解

　　3。

解方程组

　　4.

　　5.输出方程组的解

　　例3.2用多利特尔分解求解方程组：

，有

　　解

即

解

，即

　　二、追赶法

　　很多科学计算问题中，常常所要求解的方程组为三对角方程组

　　　　　　　　　　　　（3。

25）

　　其中

　　　　（2.26）

　　并且满足条件：

　　称

为对角占优的三对角线矩阵。

其特征是非零元素仅分布在对角线及对角线两侧的位置.在样条插值函数的

关系式中就出现过这类矩阵。

事实上，许多连续问题经离散化后得到的线性方程组，其系数矩阵就是三对角或五对角形式的对角矩阵。

　　利用矩阵直接分解法,求解具有三对角线系数矩阵的线性方程组十分简单而有效。

现将

分解为下三角矩阵

及单位上三角矩阵

　　（3。

27）

　　利用矩阵乘法公式,比较

两边元素,可得到

（3.28）

　　由些可见将

及

，只需计算

及

两组数，然后解

，计算公式为：

　　　（3.29）

　　再解

则得

（3。

30）

　　整个求解过程是先由（3。

28）及（3.29）求

，

，这时

是“追”的过程，再由（3。

24）求出

这时

是往回赶，故求解方程组（3.25）的整个过程称为追赶法。

　　三、平方根法

　　对称正定矩阵也是很多物理问题产生的一类矩阵，正定矩阵的各阶主子式大于零.可以证明，若

正定，则存在下三角矩阵

，使

，直接分解

的分解方法，称为平方根法。

由于在平方根法中含有计算平方根的步骤，因此很少采用平方根法的分解形式.对于对称矩阵，常用的是

分解。

作多利特尔分解

（提出

矩阵的对角元素）

对称正定,可得

的对称性和分解的惟一性可证

　　即

（3。

31）

是对角元素为1的单位下三角矩阵。

　　对矩阵

作多利特尔或库朗分解,共计算

个矩阵元素；

对称矩阵的

分解，只需计算

个元素,减少了近一半的工作量。

借助于多利特尔或库朗分解计算公式，容易得到

分解计算公式。

有多利特尔分解形式：

　　在分解可套用多利特尔分解公式，只要计算下三角矩阵

的对角元素

计算中只需保存

的元素,

的

行

列的元素用

表示。

由于对称正定矩阵的各阶主子式大于零，直接调用多利特尔或库朗分解公式可完

分解计算，而不必借助于列主元的分解算法。

　　　　　　　　　　　　（2。

32）

33）

解方程组

可分三步完成：

（1）解方程组

34）

（2）解方程组

（3.35）

　　（3）解方程

36）

　　对称矩阵的

分解算法

方程组阶数

，系数矩阵

　　3．略去解方程组步骤

　　从矩阵分解角度看,直接分解法与消元法本质上没有多大区别，但实际计算时它们各有所长。

一般来说,如果仅用单字长进行计算,列主元消元法具有运算量较少、精度高的优点，故是常用的方法。

但是,为了提高精度往往采取单字长数双倍内积的办法（即作向量内积计算时，采用双倍加法，最终结果再舍入成单字长数），这时直接分解法能获得较高的精度.

　　例3.4用

分解求解方程组:

小结

本章介绍了适合解系数矩阵稠密、低阶的线性方程组的直接方法：

Gauss消去法及三角分解法,这两种方法本质上是一样的。

直接法的优点是：

计算量小、精度高，是一种精确地求线性方程组的方法（如果每步计算没有舍入误差）；

缺点是:

程序较复杂，占用内存大，所以它适用于解中小型（

）线性方程组。

在实际应用中Gauss列主元消去法是一种稳定的算法。

当方程组的系数矩阵是三对角阵时，特别是严格对角占优，追赶法是一种既稳定、有快速的方法.