高考数学一轮复习 第三章 第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例课时作业 理 新人教版.docx
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第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例
考纲索引
1.仰角和俯角的概念.
2.方位角、方向角、坡度的应用.
课标要求
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
知识梳理
1.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).
2.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α,(如图②).
3.方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.
③南偏西等其他方向角类似.
4.坡度
①定义:
坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).
②坡比:
坡面的垂直高度与水平长度之比(如图④,i为坡比).
基础自测
1.(教材改编)如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( ).
(第1题)
2.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为( ).
A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°
3.(教材改编)一船向正北航行,看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( ).
A.5海里 B.
海里 C.10海里 D.
海里
4.(课本精选题)如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处,又测得山顶的仰角为60°,则山的高度BC为 m.
(第4题)
5.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10海里,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是 海里.
指点迷津
◆四个步骤
(1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型.
(3)选择正弦定理或余弦定理求解.
(4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.
◆五角区别
要注意区别仰角、俯角、方向角、方位角、坡角(度)的区别,并准确地找出这些角.
考点透析
考向一 测量距离问题
例1 (2013·宝鸡联考)如图,为了计算渭河岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两个测量点,现测得AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点B与C之间的距离(假设A,B,C,D在同一平面内,测量结果保留整数;参考数据:
).
【审题视点】 在△ABD中,用余弦定理求BD,在△BDC中,用正弦定理求BC.
【方法总结】
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
变式训练
1.如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.
(第1题)
考向二 测量高度问题
例2 (2013·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,求电视塔的高度.
【审题视点】 构造立体图形,分别在Rt△ADB和△BDC中,求AB.
变式训练
2.(2013·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:
A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比B地晚
秒.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
(第2题)
考向三 测量角度方向问题
例3 (2013·河北省质监)已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?
(参考数据:
).
【审题视点】 根据方向角构造三角形,求解∠ABC的大小来确定方向.
【方法总结】 1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的含义.
2.求角的大小,在三角形中先求出其函数值或者证明某些线段的位置关系(平行、垂直)也可确定角度.
变式训练
3.(2013·苏北四市联考)如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值.
(第3题)
经典考题
典例 (2013·郑州市二次质检)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.
(1)求AB的长度;
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由),最低造价为多少?
(
)
【解题指南】
(1)在△ABD和△ABC中,分别用余弦定理表示cosD和cosC,求AB.
(2)比较S△ABD与S△ABC的大小.
真题体验
1.(2014·四川)如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度BC等于( ).
(第1题)
2.(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
.
(1)求实验室这一天上午8时的温度;
(2)求实验室这一天的最大温差.
参考答案与解析
基础自测
1.A 2.B 3.C 4.
考点透析
变式训练
经典考题
真题体验
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