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（2）本课程教材的体系特点及要求

本课程教材为同济大学应用数学系编《高等数学》第六版（上、下册，高等教育出版社，2007年4月）。

基本内容包括：

函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、定积分的应用、微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数等十二章，以及二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表和习题答案与提示四个附录。

其特点在于：

与中学数学相联接，引用数学记号和逻辑符号，注重数学知识的应用，结构严谨、逻辑清晰、叙述详细、通俗易懂、例题较多、适于自学，适应面广、伸缩性强、便于教师根据实际处理教学内容。

教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“会”、“了解”等词表述。

5、教学时数及课时分配

章

主要内容

学时安排

1

函数与极限

18

2

导数与微分

10

3

微分中值定理与导数的应用

14

4

不定积分

5

定积分

8

6

定积分的应用

7

微分方程

空间解析几何与向量代数

9

多元函数微分法及其应用

重积分

11

曲线积分与曲面积分

12

无穷级数

13

其它（用于上述章节机动学时）

合计学时

二教材及主要参考书

教材：

同济大学应用数学系《高等数学》第六版，上、下册，高等教育出版社，2007年4月。

主要参考书：

陈克东主编《高等数学复习指导》，科学出版社，1999年。

同济大学应用数学系《高等数学习题集》，高等教育出版社1998年6月第三版。

盛祥耀，葛严麟，胡金德，张元德《高等数学辅导（上，下）》清华大学出版社，2004年2月第3版。

三教学方法和教学手段说明

本课程主要通过课堂教学、辅导答疑、批改作业等教学环节加以实施。

由于具有理论性强、思想性强、方法性强、与相关基础课及专业课联系较多等特点，教学中应把握以下几点：

1、注重启发引导学生掌握重要概念的背景，理解重要概念的思想本质，避免死记硬背。

2、要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性。

3、注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导、参考资料查阅等）的有机联系,特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。

4、教学中要有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，使学生理解高等数学是获取进一步学习机会的关键学科。

5、根据学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣和学习积极性。

四成绩考核办法

考核方法：

笔试，闭卷。

成绩计算：

学期考试不低于60%，半期考试及平时成绩不超过40%。

五教学内容

第一章 

函数与极限（18学时）

一、教学目的

通过本章教学，使学生获得映射、函数、复合函数、反函数、极限、连续、无穷小、无穷大以及无穷小阶等概念；

掌握基本初等函数的性质及其图形、极限的四则运算法则；

了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性、两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则）、初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大、最小值定理）；

会用等价无穷小求极限，会判别间断点的类型；

会用两个重要极限求极限，会建立简单实际问题中的函数关系式。

二、教学重点

函数概念，极限概念，极限的四则运算法则，函数的连续性。

三、教学难点

建立实际问题中的函数关系式，极限的定义，复合函数。

四、讲授要求

本章的重点要求理解函数概念、极限概念，熟练掌握求极限的一些基本方法。

教学中对极限的

-

，

定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出

求

或

不作过高要求，同时注意函数尤其是连续函数是高等数学研究的主要对象，因此应注意培养学生建立实际问题的函数关系式的能力。

五、讲授要点

1、函数：

函数的定义（函数的表示，显函数与反函数，基本初等函数）及其图形，复合函数，初等函数，分段函数，双曲函数与反双曲函数，函数的特性.

2、极限：

数列极限的“

”定义，数列收敛的条件（必要、充分、重要），函数极限的“

–

”定义，函数的左右极限，无穷小与无穷大的定义，无穷小的性质，无穷小与极限的关系，极限的四则运算存在两准则和两个重要极限，无穷小比较，无穷小在极限运算中的代换.

3、函数的连续性：

连续的定义，间断点及其分类，连续运算性，连续函数的反函数连续性，连续函数的复合函数连续性，基本初等函数和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理。

六、实验及实践要求

完成各节所配习题。

第二章 

导数与微分（10学时）

通过本章教学，使学生获得导数和微分的有关知识和技能。

掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法；

理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系；

会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数，会用导数描述一些物理量；

了解高阶导数概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

导数、微分概念，导数的几何意义，导数求法（一阶及二阶）

复合函数、隐函数、参数方程求导，最大值、最小值应用。

本章的重点要求理解导数与微分的概念，熟练掌握函数的求导法。

教学中要通过一定量的例题和习题的训练，培养学生的计算能力。

1、导数：

导数的定义（导数作为变化率、几何、物理意义，可导性与连续之间关系），函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，反函数的导数，基本初等函数的导数公式，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，对数求导法，由参数方程给出的函数的导数极坐标下曲线与极径的夹角。

2、微分：

微分的定义（微分与增量关系，微分几何意义），微分的运算法则，微分形式不变性，微分在近似计算及误差估计中的应用.

第三章 

微分中值定理与导数的应用（14学时）

通过本章教学，使学生获得罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理及其应用的有关知识。

掌握用洛必塔（L’Hospital）法则求不定式的极限；

理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描述函数的图形（包括水平和铅直渐近线），会求简单的最大和最小值的应用问题。

了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Talyor）定理；

了解曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径；

了解求方程近似解的二分法和切线法。

罗尔定理，拉格朗日定理，洛必塔法则，用导数判断函数的单调性及极值。

拉格朗日定理，泰勒定理，描述函数的图形。

本章的重点是要求理解拉格朗日定理及罗尔定理，学会用导数判别函数的单调性及极值。

教学中要注意：

本章理论性强，教学难度较大，注意放慢教学速度。

1、中值定理：

罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理，柯西（Cauchy）定理，罗必塔（L’Hospital）法则，带有拉格朗日余项的泰勒（Taylor）公式。

2、导数应用：

函数的增减性及其判定法，函数极值及其求法，最大最小值问题，函数图形的凸凹及其判定法，拐点及其求法，水平、垂直斜渐近线，函数图形的描述，弧微分，曲率定义及其计算公式，函数的渐伸线，方程的近似解的二分法和切线法.

第四章 

不定积分（10学时）

通过本章教学，使学生获得不定积分的概念、性质等知识；

熟练掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元法与分部积分法；

会求简单有理函数的积分。

原函数与不定积分概念，基本积分公式，积分换元法，分部积分法。

不定积分概念，换元法、不定积分的基本公式记忆和使用

本章的重点要求理解原函数与不定积分的概念。

要注意通过足够量的例题和习题，使学生熟练掌握求积分的方法，尤其是第一换元法。

1、不定积分：

原函数与不定积分的定义，不定积分性质，基本积分公式。

2、积分学：

换元积分法，分部积分法。

3、几类可积函数：

有理函数，三角函数的有理式，简单无理函数，积分表的使用。

第五章 

定积分（8学时）

通过本章教学，使学生获得定积分的概念及性质等知识；

掌握定积分的换元法与分部积分法；

掌握牛顿（Newton）–莱布尼茨（Leibniz）公式；

理解变上限积分作为其上限的函数及其求导定理；

了解广义积分的概念。

定积分概念，定积分换元法、分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿–莱布尼茨公式。

定积分概念，变上限函数及其导函数。

本章的重点是要求理解定积分的概念以及牛顿–莱不尼茨公式，教学中讲解定积分的换元法与分部积分法时，要特别强调积分限的变化与确定。

1、定积分概念：

定积分定义，存在定理叙述，定积分性质。

2、定积分作为变上限的函数及其导数定理，牛顿（Newton）–莱不尼茨（Leibniz）公式。

3、积分法：

换元法，分部积分法，近似积分法。

4、广义积分概念。

第六章 

定积分的应用（4学时）

通过本章教学，使学生掌握微元法的思想，掌握用定积分表达面积、体积、弧长、功、引力等几何量与物理量的方法；

了解定积分的梯形法和抛物线法等近似计算方法。

微元法。

本章的重点要求掌握定积分的微元法或元素法及在几何学上的应用。

讲授时要特别强调“微”与“积”的过程。

　　五、讲授要点

1、定积分的元素法。

2、定积分在几何学上的应用:

平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长。

3、定积分在物理学上的应用:

变力作功，水压力，引力。

第七章 

微分方程（8学时）

通过本章教学，使学生掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；

会解齐次方程和伯努利（Bernoulli）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想；

会解全微分方程；

会用降阶法解下列方程：

和

；

理解二阶线性微分方程解的结构；

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；

了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；

会求自由项形如：

的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解；

会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

1、可分离变量及一阶线性微分方程解法。

2、理解二阶线性微分方程解的结构。

3、二阶常系数齐次微分方程解法。

建立微分方程，确定初始条件.

本章的重点要求掌握各类微分方程的解法。

教学中要注意培养学生解决实际问题的能力。

1、微分方程的基本概念。

2、可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、全微分方程。

3、可降阶的高阶微分方程，高阶线性微分方程。

4、常系数齐次线性微分方程，常系数非齐次线性微分方程。

5、微分方程的幂级数解法。

第八章 

空间解析几何与向量代数（14学时）

通过本章教学，使学生理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；

掌握向量的运算（线性运算，点乘法，叉乘法）；

掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；

掌握平面的方程及其求法，会利用平面直线的相互关系解决有关问题；

理解曲面方程概念；

了解两向量垂直、平行的条件；

了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；

了解空间曲线的参数方程和一般方程；

了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

向量代数，空间直线方程，平面的方程，曲面方程概念。

向量和空间曲线的投影。

本章的重点是向量代数、空间直线、平面方程及简单二次曲面。

教学中要特别强调向量代数对于解析几何的工具作用。

1、空间直角坐标系，两点间距离，定比分点.

2、向量的概念：

向量的定义，向径，方向余弦与方向数，向量的线性运算，数量积，向量积，混合积，向量分解与向量坐标，两向量夹角、垂直、平行的条件。

3、平面方程（点法式、一般式、截距式），两平面的关系，点到平面的距离，空间直线方程（对称式、参数式、一般式），两直线关系，直线与平面夹角，点到直线距离。

4、曲面方程概念：

球面方程，母线平行于坐标轴的柱面方程，空间曲线作为两曲面的交线，空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影。

5、二次曲面：

椭球面、双曲面、抛物面，锥面，旋转曲面。

第九章 

多元函数微分法及其应用（14学时）

通过本章教学，使学生理解多元函数的概念；

理解偏导数和全微分的概念；

掌握复合函数的一、二阶偏导数的求法；

理解多元函数极值和条件极值的概念，会求多元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值应用问题。

了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质；

了解全微分存在的必要条件和充分条件；

了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；

会求隐函数（包括方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数；

了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。

多元函数概念，偏导数与全微分的概念，偏导数的计算，多元函数的极值和条件极值（拉格朗日乘数法）。

复合函数、隐函数的一、二阶偏导数求解。

本章的重点要求在理解多元函数的基础上，进一步理解偏导数与全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，教学中要注意复合函数、隐函数求偏导数这个教学难点，同时还要注意拉格朗日乘数法所包含的优化思想。

1、多元函数概念：

多元函数定义、二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，闭域上连续函数的性质。

2、偏导数：

偏导数的定义，二元函数偏导数的几何意义，高阶偏导数，全增量与全微分的定义、存在条件，全微分在近似计算及误差估计中的应用。

3、多元复合函数求导法、全微分形式不变性、全导数、隐函数求导公式。

4、方向导数与梯度。

5、多元函数极值，最大值与最小值，条件极值，拉格朗日乘数法。

6、空间曲面的切平面与法线，空间曲线的切线与法平面。

第十章 

重积分（10学时）

通过本章教学，使学生理解二重积分、三重积分的概念；

掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）；

了解重积分的性质；

了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

会用重积分，计算如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等几何量与物理量。

二、教学重点

二重积分的计算方法。

化重积分为逐次积分时上、下限的确定。

本章的重点要求熟练计算二重积分和三重积分，学会利用重积分计算面积、体积等几何量和重心、转动惯量等物理量。

教学中要强调积分区域的选择和逐次积分限的确定。

1、重积分概念：

二重积分定义，存在定理，二重积分的性质，三重积分概念。

2、重积分计算：

二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），三重积分的计算方法（直角坐标、极坐标，球面坐标）。

3、重积分应用：

平面面积，立体体积，曲面面积，质量，重心，转动惯量。

第十一章 

曲线积分与曲面积分（12学时）

通过本章教学，使学生理解两类曲线积分的概念，会计算两类曲线积分；

掌握格林（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系；

了解两类曲面积分的概念及高斯（Gauss）公式、斯托克斯（Stokes）公式，并会计算两类曲面积分；

了解散度、旋度的概念及梯度计算方法，会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

两类曲线积分的概念及计算，格林公式。

第二类曲线、曲面积分，高斯公式。

本章的重点要求理解解曲线积分与曲面积分的概念，掌握线面积分的计算方法，尤其是格林公式和高斯公式。

教学中要注意到：

本章教学难度较大，特别注意讲清第二类线面积分的概念以及计算。

1、两类曲线积分：

定义，包括曲线的方向、性质、关系，计算。

2、两类曲面积分：

定义，包括曲面的侧、性质、关系，计算。

3、格林公式，平面积分与路径无关的条件。

4、斯托克斯（Stotes）公式及高斯（Gauss）公式。

5、场的有关概念与散度、旋度的概念。

6、线面积分的应用。

第十二章 

无穷级数（12学时）

通过本章教学，使学生理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，掌握几何级数和P–级数的收敛性；

掌握正项级数的比值审敛法；

掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法。

了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；

了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；

了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件；

会利用

的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数；

了解幂级数在近似计算上的简单应用；

了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在（

）和（

）上的函数展开为傅里叶级数，并会将在（

）上函数展开为正弦或余弦级数。

无穷级数收敛、发散的概念，正项级数的比值判别法，幂级数的收敛区间，泰勒级数，函数的幂级数展开式，函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦和余弦级数。

正项级数的比较审敛法，用间接法展函数为泰勒级数。

本章的重点要求理解级数收敛、发散概念，正项级数比值判别法，函数的傅里叶级数概念，会求幂级数的收敛区间及函数的幂级数展开式。

教学中要注意强调有限与无限、表达形式与数学收敛的辨证关系。

1、数项级数：

无穷级数的收敛与发散的定义，收敛的必要条件，收敛级数的主要性质，柯西收敛准则，几何级数和P–级数的收敛性，正项级数的比较法和比值审敛法，交错级数莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛。

2、函数项级数及其收敛域，函数项级数性质。

3、幂级数概念：

阿贝尔定理，幂级数的收敛区间与收敛半径，幂级数的四则运算性和连续性，逐项积分法与逐项微分法，泰勒级数，函数展开为幂级数，尤拉公式，幂级数在近似计算中的应用。

4、傅里叶（Fourier）级数：

三角函数系及其正交性，傅里叶系数公式，函数的傅里叶级数，函数展为傅里叶级数充分条件的叙述，偶函数与奇函数的傅里叶级数，函数的傅里叶正弦级数、余弦级数，任意区间上傅里叶级数。