条件概率与独立事件高中数学北师大版选修23教学案Word格式.docx
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(3)当P(A)>
0时,A发生时B发生的条件概率为P(B|A)=.
独立事件
有这样一项活动:
甲箱里装有3个白球,2个黑球,乙箱里装有2个白球,2个黑球,从这两个箱子里分别摸出1个球,记事件A={从甲箱里摸出白球},B={从乙箱里摸出白球}.
事件A发生会影响事件B发生的概率吗?
不影响.
试求P(A),P(B),P(AB).
P(A)=,P(B)=,P(AB)==.
P(AB)与P(A),P(B)有什么关系?
P(AB)=P(A)·
P(B)=×
=.
P(B|A)与P(B)相等吗?
相等,由P(B|A)==,可得P(B|A)=P(B).
(1)概念:
对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.
(2)推广:
若A与B相互独立,则A与,与B,与也相互独立.
(3)拓展:
若A1,A2,…,An相互独立,则有
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
1.由条件概率的定义知,P(B|A)与P(A|B)是不同的;
另外,在事件A发生的前提下,事件B发生的概率为P(B|A),其值不一定等于P(B).
2.事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率,事件B的发生不影响事件A发生的概率.
[例1] 盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品,不放回地从中取产品,每次取1个.
求:
(1)取两次,两次都取得一等品的概率,
(2)取两次,第二次取得一等品的概率;
(3)取两次,已知第二次取得一等品的条件下,第一次取得的是二等品的概率.
[思路点拨] 由于是不放回地从中取产品,所以第二次抽取受到第一次的影响,因而是条件概率,应用条件概率中的乘法公式求解.
[精解详析] 记Ai为第i次取到一等品,其中i=1,2.
P(A1A2)=P(A1)·
P(A2|A1)=×
(2)取两次,第二次取得一等品,则第一次有可能取到一等品,也可能取到二等品,
则P(A2)=P(A2)+P(A1A2)=×
+×
(3)取两次,已知第二次取得一等品,
则第一次取得二等品的概率为P(|A2)===.
[一点通] 求条件概率一般有两种方法:
一是对于古典概型类题目,可采用缩减基本事件总数的办法来计算,P(B|A)=,其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数,n(A)表示事件A包含的基本事件个数.
二是直接根据定义计算,P(B|A)=,特别要注意P(AB)的求法.
1.抛掷一枚质地均匀的骰子所出现的点数的所有可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6},记事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则P(A|B)=( )
A. B.
C.D.
解析:
P(B)=,P(A∩B)=,P(A|B)===.
答案:
C
2.已知P(A|B)=,P(B)=,则P(AB)=________.
∵P(A|B)=,
∴P(AB)=P(A|B)P(B)=×
3.甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问:
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少?
解:
设“甲地为雨天”为事件A,“乙地为雨天”为事件B,由题意,得P(A)=0.20,P(B)=0.18,P(AB)=0.12.
(1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P(A|B)==≈0.67.
(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P(B|A)===0.60.
独立事件的判断
[例2] 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女孩},对下述两种情形,讨论A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
[思路点拨] 先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形,需注意基本事件(男,女),(女,男)是不同的,然后分别求出A,B所含的基本事件数,由于生男生女具有等可能性,故可借助古典概型来求P(A),P(B)及P(AB)的概率,最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B).
[精解详析]
(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},
它有4个基本事件,由等可能性知每个基本事件的概率都为.
∵A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},
∴P(A)=,P(B)=,P(AB)=.
∴P(A)P(B)=≠P(AB).
∴事件A,B不相互独立.
(2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},由等可能性知这8个基本事件的概率均为,这时A中含有6个基本事件,B中含有4个基本事件,AB中含有3个基本事件.
于是P(A)==,P(B)==,P(AB)=,
显然有P(AB)==P(A)P(B)成立,
从而事件A与B是相互独立的.
[一点通]
(1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)·
P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立,这是用定量计算方法判断,因此我们必须熟练掌握.
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,也就是看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件;
有影响就不是相互独立事件.
4.若A与B相互独立,则下面不是相互独立事件的是( )
A.A与B.A与
C.与BD.与
当A,B相互独立时,A与,与B以及与都是相互独立的,而A与是对立事件,不相互独立.
A
5.从一副扑克牌(52张)中任抽一张,设A=“抽得老K”,B=“抽得红牌”,判断事件A与B是否相互独立.
抽到老K的概率为P(A)==,抽到红牌的概率P(B)==,故P(A)P(B)=×
=,事件AB即为“既抽得老K又抽得红牌”,亦即“抽得红桃老K或方块老K”,故P(AB)==,从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B互为独立事件.
独立事件的概率
[例3] (10分)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲,乙,丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测,则
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大?
[思路点拨] 若用A,B,C表示甲,乙,丙三人100米跑的成绩合格,则事件A,B,C相互独立.
[精解详析] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.(3分)
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率:
P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=×
×
=.(5分)
(2)三人都不合格的概率:
P0=P()=P()P()P()=×
=.(7分)
(3)恰有两人合格的概率:
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)
=×
恰有一人合格的概率:
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
结合
(1)
(2)可知P1最大.
所以出现恰有1人合格的概率最大.(10分)
[一点通]
(1)公式P(AB)=P(A)P(B)可以推广到一般情形:
如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
(2)求相互独立事件同时发生的概率的程序:
①首先确定各事件之间是相互独立的;
②确定这些事件可以同时发生;
③求出每个事件发生的概率,再求其积.
6.先后抛掷一枚骰子两次,则两次都出现奇数点的概率为________.
7.(北京高考改编)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
客场2
13
主场3
客场3
21
7
主场4
23
客场4
主场5
24
20
客场5
25
(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;
(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.
则C=A∪B,A,B独立.
根据投篮统计数据,P(A)=,P(B)=.
P(C)=(A)+P(B)
所以在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.
8.一个袋子中有3个白球,2个红球,每次从中任取2个球,取出后再放回,求:
(1)第一次取出的2个球都是白球,第二次取出的2个球都是红球的概率;
(2)第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球,第二次取出的2个球都是白球的概率.
记“第一次取出的2个球都是白球”事件为A,“第二次取出的2个球都是红球”为事件B,“第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球”为事件C,很明显,由于每次取出后再放回,A,B,C都是相互独立事件.
(1)P(AB)=P(A)P(B)=·
=·
故第一次取出的2个球都是白球,第二次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)=P(C)P(A)=·
故第一次取出的2个球1个是白球、1个是红球,第二次取出的2个球都是白球的概率是.
1.计算条件概率要明确:
(1)准确理解条件概率的概念:
条件概率中的两个事件是互相影响的,其结果受两个条件的概率的制约;
(2)要正确求出条件概率,必须首先弄清楚“事件A发生”“事件A发生并且事件B也发生”“事件B在事件A发生的条件下发生”的概率之间的关系.
2.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别与联系
名称
区别
联系
定义
事件个数
互斥事件
在一次试验中不能同时发生的事件
两个或两个以上
①两事件互斥,但不一定对立;
反之一定成立;
②两事件独立,则不一定互斥(或对立);
③两事件互斥(或对立),则不相互独立
对立事件
在一次试验中不能同时发生但必有一个发生的事件
两个
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
1.抛掷一颗骰子一次,A表示事件:
“出现偶数点”,B表示事件:
“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是( )
A.相互互斥事件
B.相互独立事件
C.既相互互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不独立事件
A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×
,所以A与B是相互独立事件.
B
2.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为( )
A. B.
由题意知:
P(AB)=,P(B|A)=,
∴P(A)===.
3.某农业科技站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,出芽后的幼苗成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机地取出一粒,则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )
A.0.02B.0.08
C.0.18D.0.72
设“这粒水稻种子发芽”为事件A,“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB,“这粒种子能成长为幼苗”为事件B|A,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,由条件概率公式,得
P(AB)=P(B|A)·
P(A)=0.9×
0.8=0.72.
D
4.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A.B.
设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为事件B,则P(A)=,P(B)=.又A,B相互独立,则,也相互独立,则P()=P()P()=×
=,故至少有一项合格的概率为P=1-P()=.
5.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,两人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为________,问题得到解决的概率为________.
甲、乙两人都未能解决为
=,
问题得到解决就是至少有1人能解决问题.
∴P=1-=.
6.从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,已知选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为________.
令事件A={选出的4个球中含4号球},
B={选出的4个球中最大号码为6},依题意可知
n(A)=C=84,n(AB)=C=6,
∴P(B|A)===.
7.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,问:
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?
(2)从2号箱取出红球的概率是多少?
“最后从2号箱中取出的是红球”为事件A,“从1号箱中取出的是红球”为事件B.
P(B)==,
P()=1-P(B)=,
(1)P(A|B)==,
(2)∵P(A|)==,
∴P(A)=P(A∩B)+P(A∩)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×
8.一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.求:
(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对密码的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数,不超过2次就按对密码的概率.
(1)设“第i次按对密码”为事件Ai(i=1,2),则事件A=A1+(1A2)表示不超过2次就按对密码.
因为事件A1与1A2互斥,由概率加法公式,得
P(A)=P(A1)+P(1A2)=+=.
(2)用B表示“最后一位数字是偶数”这个事件,
则A|B=A1|B+(1A2)|B.
∴P(A|B)=P(A1|B)+P((1A2)|B)
=+=.
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