潇洒走一回的初中数学组卷Word文件下载.docx
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2+(l+2)×
3
=1+0×
2+3+2×
=(1+2+3)+(0×
3)
12+22+32+42=(1+0)×
3+ _________
=(1+2+3+4)+( _________ )
…
(2)归纳结论:
12+22+32+…+n2=(1+0)×
2+(1+2)×
3+…[1+(n﹣l)]n
3+…+n+(n﹣1)×
=( _________ )+[ _________ ]
= _________ + _________
×
_________
(3)实践应用:
通过以上探究过程,我们就可以算出当n为100时,正方形网格中正方形的总个数是 _________ .
4.(2011•东莞)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.
(1)表中第8行的最后一个数是 _________ ,它是自然数 _________ 的平方,第8行共有 _________ 个数;
(2)用含n的代数式表示:
第n行的第一个数是 _________ ,最后一个数是 _________ ,第n行共有 _________ 个数;
(3)求第n行各数之和.
5.(2011•北京)已知a2+2ab+b2=0,求代数式a(a+4b)﹣(a+2b)(a﹣2b)的值.
6.(2010•漳州)计算:
(﹣2)0+(﹣1)2010﹣
7.(2007•娄底)计算:
(﹣2)3÷
(﹣1﹣3)﹣(
)﹣1+(3.14﹣π)0
8.(2007•荆州)先化简,再求值:
[(xy+2)(xy﹣2)﹣2(x2y2﹣2)]÷
(xy),其中x=10,y=﹣
9.(2006•肇庆)
(1)计算:
(a+b)(a2﹣ab+b2);
(2)若x+y=1,xy=﹣1,求x3+y3的值.
10.(2006•龙岩)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图),此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如:
(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1,系数和为2;
(a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1,系数和为4;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8;
根据以上规律,解答下列问题:
(1)(a+b)4展开式共有 _________ 项,系数分别为 _________ ;
(2)(a+b)n展开式共有 _________ 项,系数和为 _________ .
11.(2014•安徽)观察下列关于自然数的等式:
32﹣4×
12=5①
52﹣4×
22=9②
72﹣4×
32=13③
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第四个等式:
92﹣4×
_________ 2= _________ ;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
12.(2000•内蒙古)计算:
13.(2014•缙云县模拟)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,四边形EFGB也是正方形,以B为圆心,BA的长为半径画弧AC,连接AF,CF,求图中阴影部分的面积.
参考答案与试题解析
考点:
整式的混合运算—化简求值.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,最后一项利用单项式乘多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.
解答:
解:
原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x=x2+3,
当x=﹣
时,原式=2+3=5.
点评:
此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,涉及的知识有:
完全平方公式,平方差公式,单项式乘多项式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
所求式子第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,去括号合并得到最简结果,将已知方程变形后代入计算即可求出值.
原式=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2
=3x2﹣12x+9
=3(x2﹣4x+3),
∵x2﹣4x﹣1=0,即x2﹣4x=1,
∴原式=12.
完全平方公式,平方差公式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
3+ (1+3)×
4
3+ 4+3×
=(1+2+3+4)+( 0×
3+3×
4 )
=( 1+2+3+…+n )+[ 0×
3+…+(n﹣1)n ]
=
n(n+1) +
n(n+1)(n﹣1)
n(n+1)(2n+1)
通过以上探究过程,我们就可以算出当n为100时,正方形网格中正方形的总个数是 338350 .
整式的混合运算.菁优网版权所有
根据
(1)所得的结论,即可写出
(1)
(2)的结论;
(3)直接代入
(2)的结论,计算即可.
(1+3)×
4;
4+3×
0×
1+2+3+…+n;
3+…+(n﹣1)n;
n(n+1);
n(n+1)(n﹣1);
n(n+1)(2n+1);
(3)实践应用:
当n=100时,
100×
(100+1)(200+1)=338350.
本题主要考查了整数的计算,正确观察已知条件,得到结论是解题的关键.
(1)表中第8行的最后一个数是 64 ,它是自然数 8 的平方,第8行共有 15 个数;
第n行的第一个数是 n2﹣2n+2 ,最后一个数是 n2 ,第n行共有 2n﹣1 个数;
整式的混合运算;
规律型:
数字的变化类.菁优网版权所有
(1)数为自然数,每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,很容易得到所求之数;
(2)知第n行最后一数为n2,则第一个数为n2﹣2n+2,每行数由题意知每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,故个数为2n﹣1;
(3)通过以上两步列公式从而解得.
(1)每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,由题意最后一个数是该行数的平方即得64,
其他也随之解得:
8,15;
(2)由
(1)知第n行最后一数为n2,则第一个数为n2﹣2n+2,
每行数由题意知每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,
故个数为2n﹣1;
(3)第n行各数之和:
(2n﹣1)=(n2﹣n+1)(2n﹣1).
本题考查了整式的混合运算,
(1)看数的规律,自然数的排列,每排个数1,3,5,…从而求得;
(2)最后一数是行数的平方,则第一个数即求得;
(3)通过以上两步列公式从而解得.本题看规律为关键,横看,纵看.
本题需先要求的式子进行化简整理,再根据已知条件求出a+b的值,即可求出最后结果.
a(a+4b)﹣(a+2b)(a﹣2b)
=a2+4ab﹣(a2﹣4b2)
=4ab+4b2
∵a2+2ab+b2=0
∴a+b=0
∴原式=4b(a+b)
=0
本题主要考查了整式的混合运算,在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键.
负整数指数幂;
有理数的乘方;
零指数幂.菁优网版权所有
本题涉及零指数幂、乘方、负整数指数幂三个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.
原式=1+1﹣2
=0.
故答案为0.
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算.
有理数的混合运算;
按照有理数混合运算的顺序,先乘方后乘除最后算加减,有括号的先算括号里面的.
原式=﹣8÷
(﹣4)﹣2+1=2﹣2+1=1.
本题考查的是有理数的运算能力.
注意:
(1)要正确掌握运算顺序,即乘方运算(和以后学习的开方运算)叫做三级运算;
乘法和除法叫做二级运算;
加法和减法叫做一级运算.
(2)在混合运算中要特别注意运算顺序:
先三级,后二级,再一级;
有括号的先算括号里面的;
同级运算按从左到右的顺序.
根据平方差公式和单项式乘多项式的法则计算,再利用单项式的除法计算化简,然后代入数据求解即可.
(xy),
=[(xy)2﹣22﹣2x2y2+4]÷
=(x2y2﹣4﹣2x2y2+4)÷
=(﹣x2y2)÷
=﹣xy,
当x=10,y=﹣
时,原式=﹣10×
(﹣
)=
考查了整式的混合运算.主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点.注意运算顺序以及符号的处理.
平方差公式.菁优网版权所有
(1)用多项式的乘法法则将多项式展开,再合并同类项即解得结果;
(2)用立方和公式直接计算.
(1)(a+b)(a2﹣ab+b2),
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3,
=a3+b3;
(2)x3+y3=(x+y)(x2﹣xy+y2),
=(x+y)[(x+y)2﹣3xy],
∵x+y=1,xy=﹣1,
∴x3+y3=1×
[12﹣3×
(﹣1)]=4.
本题考查了平方差公式,在计算
(2)时,用整体思想比较简单,也可先将x+y=1,xy=﹣1组成方程组来解答.
(1)(a+b)4展开式共有 5 项,系数分别为 1,4,6,4,1 ;
(2)(a+b)n展开式共有 n+1 项,系数和为 2n .
完全平方公式.菁优网版权所有
规律型.
本题通过阅读理解寻找规律,观察可得(a+b)n(n为非负整数)展开式的各项系数的规律:
首尾两项系数都是1,中间各项系数等于(a+b)n﹣1相邻两项的系数和.因此可得(a+b)4的各项系数分别为1、(1+3)、(3+3)、(3+1)、1,即:
1、4、6、4、1.
(1)根据题意知,(a+b)4的展开后,共有5项,
各项系数分别为1、(1+3)、(3+3)、(3+1)、1,
即:
1、4、6、4、1;
(2)当a=b=1时,(a+b)n=2n.
故答案为:
(1)5,1,4,6,4,1;
(2)n+1,2n.
本题考查了完全平方公式,关键在于观察、分析已知数据,寻找它们之间的相互联系,探寻其规律.
4 2= 17 ;
数字的变化类;
由①②③三个等式可得,被减数是从3开始连续奇数的平方,减数是从1开始连续自然数的平方的4倍,计算的结果是被减数的底数的2倍减1,由此规律得出答案即可.
(1)32﹣4×
所以第四个等式:
42=17;
(2)第n个等式为:
(2n+1)2﹣4n2=2(2n+1)﹣1,
左边=(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1,
右边=2(2n+1)﹣1=4n+2﹣1=4n+1.
左边=右边
∴(2n+1)2﹣4n2=2(2n+1)﹣1.
此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
平方差公式;
有理数的混合运算.菁优网版权所有
分析直接计算繁,仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:
12345,12346,12347,然后利用平方差公式进行计算.
由题意可设字母n=12346,那么12345=n﹣1,12347=n+1,
于是分母变为n2﹣(n﹣1)(n+1).
应用平方差公式化简得
n2﹣(n2﹣12)=n2﹣n2+1=1,
即原式分母的值是1,
所以原式=24690.
此题主要考查平方差公式的性质及其应用,是一道好题,计算时要仔细.
设正方形BCFE的边长是a,根据题意得出阴影部分的面积是S=S△CEF+S正方形BCFE+S扇形BAC﹣S△ACF,代入求出即可.
设正方形BCFE的边长是a,
则阴影部分的面积是S=S△CEF+S正方形BCFE+S扇形BAC﹣S△ACF
a(4﹣a)+a2+
﹣
(4+a)a
=4π.
本题考查了扇形面积,三角形面积,正方形性质的应用,解此题的关键是能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积.
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- 潇洒走一回 初中 数学组
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