江苏省南京市届高三上学期学情调研考试数学.docx

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江苏省南京市届高三上学期学情调研考试数学

南京市2016届高三学情调研考试--数学

参考公式

1n__1n

样本数据X1,X2,...,xn的方差s2=-刀（Xi-X）2，其中X=-刀Xi.

ni=1ni=1

锥体的体积公式：

V=gsh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高.

3

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分•不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1.已知集合A={—1,0,1,2},B={x|x2-1>0}，贝VAHB=▲.

2.已知复数z满足：

z（1-i）=2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为▲.

3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：

9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为

▲.

4.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是▲

5.已知向量a=（1,2）,b=（m,4），且a//（2a+b），则实数m的值为▲

6•如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为▲

9.直三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均为2,E为棱CC1的中点，则三棱锥A1-B1C1E的体积

10.对于直线I,m，平面a,ma,则"I丄m”是"I丄a成立的▲条件.（在"充分不必要”

“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）

12.已知平行四边形ABCD中，AD=2,ZBAD=60。

.若E为DC中点，且AE•BD=1,则BD•BE

的值为▲.

13.已知等比数列｛an｝的公比q>1，其前n项和为Sn.若2S2+1,贝US的最小值为▲.

14.在平面直角坐标系xOy中，A,B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点0）为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+（y—2）2=1相外切，且/APB的大小恒为定值，则线段OP的长

为▲

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15.（本小题满分14分）

在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=bcosA.

（1）求。

的值;

a

1n

（2）若sinA=3求sin（C—?

的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形,

E为侧棱PA的中点.

（1）求证：

PC//平面BDE;

（2）若PC丄PA,PD=AD，求证：

平面

BDE丄平面PAB.

C

B

A

P

（第16题图）

17.（本小题满分14分）

某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段（注：

一个标段是指一定长度的机动车道）的基

础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.

（1）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；

（2）设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比•若新建的标段数是原有标段数

1

的20%，且k>3•问：

P能否大于三，说明理由.

20

18.（本小题满分16分）

已知椭圆a2+y2=1（a>b>0）的离心率en#,—条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AP,AQ与x轴交点的横坐标分别为m,n,求证：

mn为常数，并求出此常数.

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）=ex,g（x）=x—b,b€R.

（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；

（2）设T（x）=f（x）+ag（x）,a€R，求函数T（x）的单调增区间；

（3）设h（x）=|g（x）|•f（x）,bv1.若存在冷,血€[0,1],使|h（x”—h（x2）|>1成立，求b的取值范围.

20.（本小题满分16分）

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn,且2a5—a3=13,S4=16.

（1）求数列｛an｝的前n项和Sn；

n

（2）设Tn=E（—1）iai，若对一切正整数n,不等式XTnV[an+1+（—1）n+1an]•2n—1恒成立，求实

数入的取值范围；

（3）是否存在正整数m,n（n>m>2），使得S2,Sm—S2,Sn—Sm成等比数列？

若存在，求出所有的m,n;若不存在，说明理由.

南京市2016届高三学情调研考试

2015.09

数学附加题

注意事项：

1•附加题供选修物理的考生使用.

2.本试卷共40分，考试时间30分钟.

3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上.试题的答案写在答.题纸上对应题目的

答案空格内.考试结束后，交回答题纸.

21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸•指•定.区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4—1:

几何证明选讲

在圆O中，AB,CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A,且与CD的延长线交于点E,求证：

AD2=AB•ED.

C.选修4—4:

坐标系与参数方程

x=m+2cosa

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（a为参数，m为常数）.以原点0

y=2sina

为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线I的极坐标方程为pcos（B—》=•2.若直

线I与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围.

D.选修4—5:

不等式选讲

设实数x,y,z满足x+5y+z=9,求x2+y2+z2的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

假定某射手射击一次命中目标的概率为2.现有4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，

3

否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求：

（1）X的概率分布；

（2）数学期望E（X）.

23.（本小题满分10分）

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB=2,CE=1,CE丄平面ABCD.

（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值;

（2）求二面角A-DF—B的大小.

南京市2016届高三学情调研考试数学参考答案及评分标准2015.09

说明：

1•本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

3•解答右端所注分数，

表示考生正确做到这

步应得的累加分数.

4•只给整数分数，填空题不给中间分数.

一、填空题：

本大题共

14小题，每小题

5分，共70分.

1•{2}

2.10

3.2

7•丁

3.0.032

8.,5

4.

4

5

3

3

5.2

6.5

9.

10.必要不充分

3

11.（2,

4）

12.3

13.23+3

14.

.3

二、解答题：

本大题共

6小题，共90分.

15.解：

（1）由acosB=bcosA，得sinAcosB=sinBcosA,

3分

即sin（A—B）=0.

6分

8分

10分

12分

14分

因为A,B€（0,",所以A—B€（—n,n，所以A—B=0,

所以a=b,即a=1•

a

（2）因为sinA=，且A为锐角，所以cosA=^^2

4\/2所以sinC=sin（n—2A）=sin2A=2sinAcosA=g,

cosC=cos（n—2A）=—cos2A=—1+2sin2A=—g•nn■n8+7^2

所以sin（C—4）=sinCcos4—cosCsin〔=^8~'

16・证明：

（1）连结AC,交BD于O,连结OE・

因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC•-

方法二依题意x=0.2a.

14分

1

答：

p不可能大于20.

ca/2a2

解：

⑴因为a=w,c=2,

所以a=.2,c=1,所以b=,a2—^=1.

x2

故椭圆的方程为2+y2=1.

⑵解法一设P点坐标为（X1,y1）,则Q点坐标为（X1,-y1）.

因为kAP=必=9，所以直线ap的方程为y=yxTx+1-

解法二设直线AP的斜率为k（kz0），贝UAP的方程为y=kx+1,

1

令y=0，得m=—-.6

k

分

y=kx+1,

联立方程组|+y2=1,

所以-p=k*+1=1—蒼,

14分

令y=0，得n=—2k,

1

所以mn=（—匸）（—2k）=2.

16分

所以mn为常数，常数为2.

19.解：

（1）设切点为（t,et），因为函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切,

所以et=1，且et=t-b,

解得b=-1.

（2）T（x）=ex+a（x—b）,T'（x）=ex+a.

当a>0时，T'（x）>0恒成立.

当av0时，由T'（x）>0，得x>In（—a）.

当av0时，函数T（x）的单调增区间为（ln（—a），+^）.

20.解：

（1）设数列｛an｝的公差为

因为2a5—a3=13，9=16,

2（a1+4d）—（a1+2d）=13，AZH

所以4a1+6d=16.）解得a1=1,d=2，

所以an=2n—1,Sn=n2.

⑵①当n为偶数时，设n=2k,k€N*,

贝VT2k=（a2—a”+（a4—a3）+•••+（a2k—a2k—1）=2k.

设f（k）=贝Vf（k+1）—f（k）=

4k+14k=4k（3k—1）

2（k+1）—2k=2k（k+1）

因为k€N*，所以f（k+1）—f（k）>0,所以f（k）是递增的，所以f（k）min=2,

所以X<2.

②当n为奇数时，设n=2k—1,k€N*,

则T2k-1=T2k—（—1）2ka2k=2k—（4k—1）=1—2k.8分

代入不等式XTn<[an+1+（—1）n+1an]•2n—1，得X（1—2k）<（2k—1）4k,

从而X>—4k.

因为k€N*，所以一4k的最大值为一4，所