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3、有解决数学问题的能力;
4、学会数学交流;
5、掌握数学思想方法。
就教育目标来说,可分为:
数学知识、公民意识、社会需要、语言交流四个方面,这是着重从个人生活的实际需要出发而提出来的。
2如何培养数学能力
2.1面向全体,因材施教,重视数学意识的培养
有人说过:
素质教育的要义是面向全体,全面发展,主动发展。
面向全体,“为一切人的数学”是数学教改的主流,数学要面向全体,就是要对每一位学生负责,在对大多数学生进行教学的同时,兼顾学习有困难和学有余力的学生,使全体学生达到基本要求并且尽可能的提高,以人为本,把“学生主体”和“教师主导”有机结合,立足学生主体;
因材施教,也就是教师根据学生在知识、技能、能力、志趣、特长等方面的个性差异,从学生实际情况出发,有区别、有针对地进行教学,让不同程度的学生都能有所得,都能尽最大努力,既能“吃得了”,又能“吃得饱”,让每个学生都能和谐发展,最终实现“后进生”转化,中等生优化,优等生深化发展的目标。
教师应及时利用课堂不断地调动学生学习主动性,树立学生学习信心,向学生传授数学知识,数学思想方法,使它们形成科学的数学观。
2.2培养学生的逻辑思维能力
思维是按一定规则进行的,它是以概念为思维的材料,以语言为基,以抽象为其基本特征,逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理谁,其基本方法是分析与综合,比较和分析、归纳和演绎,概括和抽象,系统化和具体化,在整个科学知识体系中,数学是逻辑性最强的学科,通过数学的学习可以很好地培养学生的逻辑思维能力及逻辑推理能力。
2.3培养学生的运算能力
“全日制中学数学教学大纲”中,对于培养与数学能力的要求,以“运算能力”的培养要求最高。
它要求使学生具有“正确的,迅速的”运算能力。
2.3.1要使运算正确,必须讲清算理、法则
要使运算正确而又迅速,当然要多练习,常反复,形成熟练的技能技巧。
但是不能“死练”,在练习前一定要使学生懂得“怎样算”、“为什么要这样算”。
只有使学生“计有据”,才能做到“算有准”。
如果老师只是教给学生“怎样算”,而学生不明白“为什么要这样算”、“为什么这样算不正确,不这样算就不行“,那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性,也形成不了运算能力。
例如:
讲异分母分数的加减法时,如果只教给学生要先通分,使分母相同之后,再对分母进行加减运算的方法,而不讲清为什么要这样算,学生们对运算的方法也是记不牢的,时间长了,就会遗忘,算起题来就可能会出笑话,如:
之类的笑话。
因此老师必须在教学生学习通分算法之初,就教“算理”,让他们清楚的懂得:
如果分母不同,分数单位就不同,每份的大小也就不一样,它们是不能直接加减的,只有经过通分之后,它们的分母相同了,分数的单位也就相同了,每份的大小是一样的,从而可以直接进行加减运算。
2.3.2要使运算正确迅速,练好运算基本功
懂得运算所依据的道理,只能保证运算的正确性,要正确而又迅速,还需要多练。
“熟能生巧”特别是要练好运算的一些基本功。
在初中阶段作为运算的基本功如下:
1、熟悉掌握有理数的四则运算和有理指数、锐角三角形函数的运算,特别还要加强整式、分式与根式的运算训练。
2、要熟记一些重要数据,最好能达到“直呼”程度:
a.多位数与一位数相乘,直接得积;
b.1——20的平方数;
1——10的立方数;
c.将被开方数化为质因数乘积求方根;
d.特殊角的三角函数值;
e.乘法公式
在高中阶段基本功如下:
a.熟练掌握指数、对数式与三角函数式的恒等变换,初步掌握极限运算;
b.熟记基本公式,以提高计算速度
c.特殊角的三角函数值;
角度制与弧度制互换;
;
等差等比数列的求和公式等等。
为了使学生练习基本功,一要理解运算所依据的道理,二要记住常用公式、法则,三要通过练习才能落实到学生身上,因此安排一定量的练习题来加强对基本功的训练是非常重要的。
2.4培养学生空间想象能力
空间观念和空间想象能力,是学生理解数学知识,掌握计算公式,提高应用题解题能力不可忽视的素质。
在中学数学学习中,空间想象能力的培养就包含如下几方面内容:
1、对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状结构、性质、关系非常熟悉,能正确画图,能离开实物或图形在思维中识记、重现基本图形的形状和结构,并能分析图形的基本元素之间的位置关系和度量关系。
2、能借肋图形来反映并思考客观事物或用语言、式子来表示空间形状及位置关系。
3、能从较复杂的图形中区分出基本图形,并能分析其中基本图形与基本元素之间的相互关系。
4、能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件、性质的几何图形。
2.4.1贯彻直观性原则,使学生由模糊的、感性的认识上升到抽象的数学图形
1、利用模型实物,培养直观认识
教师不妨在教学前搜集生活中的一些规则的和不规则的物体,如乒乓球、易拉罐、玻璃杯,底面呈六边形或八边形的茶叶筒、魔方等等,在教学过程中,尽可能多地让学生多观察各种几何体和实物图,通过大量的模型、实物例子形成对各种几何体的直观认识。
教材中对一些空间图形的概念如圆柱、棱柱、圆锥、棱锥等,只要求能对具体图形进行识别和判断,而通过这些模型、实物,能带给学生一种很直观的感受和认识,在引导学生认识和理解数学概念时会起到意想不到的作用。
要求画水管的三叉接头的三视图,如果教师准备了实物教具,让学生从正面、上面和侧面仔细观察所看到的平面图形,学生就有了一个直观的认识,在实践中体会了物体的不同呈现方式。
这样,认知的难度就会降低,学生的空间想象力也得到了提高。
2、动手操作实践,牢固确立概念
学生发展空间观念,形成空间想象能力的途径是多样化的,鼓励、指导学生在课前、课后利用各种材料,如橡皮泥、硬纸片等,自己动手制作一些立体图形的模型让学生在制作的过程中,发现圆与棱、柱体与锥体、球体的异同点,从而形成正确的空间图形概念。
学生通过动手操作,对自己的想象加以验证。
以自己的经验为基础,逐步发展空间观念,这对提高学生的空间想象力能起到事半功倍的作用。
2.4.2结合思维训练,进一步发展学生的空间想象能力
数学思维能力是数学各种能力的核心,通过思维训练,完善学生的思维结构,教给学生一些思维方法,优化学生的思维品质,可以从根本上提高学生的空间想象能力。
1.借助思维的集中性、收敛性,培养学生的空间想象能力
可以先设计这样的系列问题:
正视图是长方形的立体图形有哪些?
正视图和左视图都是长方形的立体图形有哪些?
正视图和左视图都是长方形并且俯视图是长方形、圆或三角形的立体图形有哪些?
通过这样层层推进式的问题,引导学生展开想象,并且进行比较、归纳、总结,形成一些规律性的结论,自然也就提高了学生的空间想象能力。
2.借助思维的发散性、广阔性,培养学生的空间想象能力
在三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°
,求三棱锥P-ABC的体积.
思路1:
采用直接法,先确定底面形状和高,再计算底面积S和高h,最后
代入公式计算。
解法1:
把△ABC视作底面.∵∠BAC=60°
,AB=AC=2a,∴△ABC是边长为2a的正三角形,
。
过P作PO⊥面ABC,垂足为O,故PO为三棱锥P-ABC的高,易证O在∠BAC的平分线AD上。
关于PO的计算有多种方法,较简单的两种处理方法是:
1、利用已知结论得
·
△ABC是边长为2a的正三角形
PAB=
BAD·
∠PAO
即:
cos60°
=cos30°
cos∠PAO,
∴
PAO=
,
PAO=
在
△PAO中,PO=PA·
a
2、连结PD,易知AP⊥PB,AP⊥PC,∴AP⊥面PBC,∴AP⊥PD
依题设条件,易知PD=
AD=2a·
有PA·
PD=PO·
AD可得PO=
∴
PO=
简评:
这种方法是最基本的方法,也是最低层次的方法,缺少对图形整体空间结构的认识.若注意到AP⊥面PBC,容易看到,高可视为AP,底面视为等腰△PBC,于是就有了优于解法1的思路。
解法2:
依题∠PAB=60°
,PA=a,AB=2a,故∠APB=90°
同理∠APC=90°
,∴AP⊥面PBC
而VP-ABC=VA-PBC,视底面为△PBC,高为AP
依题设△PBC为等腰三角形,
PB=PC=
∴PD=
a,
∴
PD·
BC=
高PA=a,
PA=
简评:
解法1和解法2采用的都是直接法,但是有差别,在计算过程中,解法2明显要简单一点,更重要的是解法2对空间图形的认识要高于解法1,层次也高了一些。
因此在用直接法计算体积时,要注意对图形整体空间结构进行分析,选择哪个面作为底面,这一思维过程正是对空间想象能力较高层次的展现。
思路2:
在解法1与解法2中,都有意无意地运用了截面PAD,但未引起对图形整体空间结构的重新认识,好解法从笔下一滑而过,这个解题缺憾在学生中普遍存在,实质仍然是空间想象能力不够高。
如果对图形整体空间结构有较好认识,看到截面PAD,必能想到BC⊥面PAD,且D为BC的中点,△PAD为直角三角形,于是下面的方法就自然产生了。
解法3:
设D为BC的中点,依题设条件易知,则AP⊥PD,BC⊥面PAD,
BD=2·
PA·
BD
=
a·
a=
此解法实际上是把三棱锥P-ABC一分为二,且分割的两部分体积相等,三棱锥B-APD,底面为直角三角形,高就是BD,从而给计算带来了很大方便.用此法解题结束后,是否想到:
既然可以这样分割,还有其它分割方法吗?
又会促使学生对整体图形空间结构的再认识,不难发现从顶点A出发的三条棱之间的夹角都是60°
,与正四面体有关系,于是下面的解法也就出现了。
解法4:
设E、F分别是AB与AC的中点,连结PE、PF、EF(如图2),易知三棱锥P-AEF是棱长为a的正四面体,并且三棱锥P-AEF与三棱锥P-ABC等高,底面相似且相似比为1:
2,故
既然能分割,是否可补形呢?
思路3:
从A出发的三条棱两两夹角为60°
,故可补形为正四面体,至此,空间想象能力达到最高层次。
解法5:
如图2,延长AP到S,使PA=PS,连结SB、SC,于是四面体S-ABC边长等于2a的正四面体,而且
解题后反思:
五种解法五个层次,一层比一层高,一种比一种解法简捷,要想得到较好的解法必须有较高层次的空间想象能力,空间想象能力的高低反映出对空间图形整体结构的认识是否透彻。
总之,要培养学生的空间想象能力,就要让学生敢于去想,要给他的想象安上翅膀,不断拓展想象的空间。
2.5培养学生应用数学知识分析解决实际问题能力
培养学生应用数学知识分析解决实际问题能力,要从学生入学的第一天抓起,进入中学期间,开始接触的代数、立体几何,学起来很不适应,分析解决实际问题能力还比较差,因此,在教学活动中,教师特别应重视基本数学思想和数学方法的传授,以书为本,紧扣教材,有意识地培养学生应用数学知识分析解决实际问题能力。
2.5.1利用一题多解,培养学生解决实际问题能力
一题多解可启发学生广泛联想,拓宽思维的广度。
即使是比较简单或熟悉的问题,也不要满足于学生会做,而要求学生从不同角度、用不同的方法去解决,以达到以一当十的效果。
计算:
解⑴:
原式=
⑵:
=
⑶:
=
⑷:
=
分析:
显然解法⑴是最简捷的,解法⑶也很巧妙。
证明:
可以引导学生用如下多种方法去分析解题,开拓思路。
证法一:
(归弦)
左边=
=
证法二:
(半角公式)
证法三:
证法四:
(差角公式)
(也可以用
)
证法五:
(万能代换)
对一题多解的解法,还要学生评论哪个解法容易根据题目的特征想出,以及哪个解法比较简便,由此,得到其中较好的解法。
2.5.2利用一题多变,培养学生解决实际问题能力
一题多变可引导学生积极思考,挖掘思维的深度。
在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=30°
,求
(1)∠ADC的度数,
(2)∠BAD的度数。
请同学只改变一个条件,使计算结果保持不变。
有的同学把“D是BC边上的中点”改为“AD为∠BAC的平分线”;
也有的同学把“D是BC边上中点”改为“AD为△ABC的一条高”;
还有的同学把“AB=AC”,改为∠B=∠C…………
又如:
画出函数y=1.5x+3的图象,根据图象指出
(1)x取什么值时,函数值y等于零。
(2)x取什么值时,函数值y始终大于零。
若把上题改编为:
(1)求y=1.5x+3图象与x轴的
;
(2)当
时,y=1.5x+3图象在x轴的上方;
(3)若将题中的“利用图象”去掉,本题还有其他解法吗?
请同学们补充完整求解事项,再给以解答,并想想看它与原题的关系。
总之,在数学教学中,实施“多变”式的教学,在弘扬主体精神,优化数学素质,培养创造性思维等方面,确实有其明显的功效,这种功效对提高中学生数学能力大有帮助。
总之,学生数学能力的培养,对其以后的发展意义重大,俄国教育家苏霍姆林斯基认为:
“教师的创造性,正在于选择合适方法,把理论原理变为人们活生生的思想和感情”。
在应试教育向素质教育转轨的今天,要从教育教学的各个环节抓起,在教学设计上要把能力培养放在首位,要突出“学生为主体、教师为主导、训练为主线”的教学原则,学生为主体,主要表现在积极主动地参与学习、乐于探索;
教师为主导,导在情境、激发兴趣、突出重点、分解难点;
训练为主线,即在教师地引导下,通过学生的训练掌握知识、提高素质、培养能力。
只有通过教与学的有机结合,才能实现素质教育这个大目标,培养出合格的人才。
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