三角形经典题型50题Word下载.docx

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∴EF=AC

5.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

在AC上截取AE=AB，连接ED

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠BAD

又∵AE=AB，AD=AD

∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）

∴∠AED=∠B，DE=DB

∵AC=AB+BD

AC=AE+CE

∴CE=DE

∴∠C=∠EDC

∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C

∴∠B=2∠C

6.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°

AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

因为CE⊥AB

所以∠CEB＝∠CEF＝90°

因为EB＝EF，CE＝CE，

所以△CEB≌△CEF

所以∠B＝∠CFE

因为∠B＋∠D＝180°

，∠CFE＋∠CFA＝180°

所以∠D＝∠CFA

因为AC平分∠BAD

所以∠DAC＝∠FAC

又因为AC＝AC

所以△ADC≌△AFC（SAS）

所以AD＝AF

所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE

12.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

证明:

在BC上截取BF=BA,连接EF.

∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;

AB平行于CD,则:

∠A+∠D=180°

;

又∠EFB+∠EFC=180°

则∠EFC=∠D;

又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.

所以,BC=BF+FC=AB+CD.

13.已知：

AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：

∠F=∠C

AB//ED,AE//BD推出AE=BD,

又有AF=CD,EF=BC

所以三角形AEF全等于三角形DCB，

所以:

∠C=∠F

14.已知：

AB=CD，∠A=∠D，求证：

∠B=∠C

设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<

BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>

BC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

所以：

AE=DE

而AB=CD

BE=CE（等量加等量，或等量减等量）

△BEC是等腰三角形

角B=角C.

15.

P是∠BAC平分线AD上一点，AC>

AB，求证：

PC-PB<

AC-AB

作B关于AD的对称点B‘，因为AD是角BAC的平分线，B'

在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）

因为PC<

PB’+B‘C,PC-PB’<

B‘C,而B'

C=AC-AB'

=AC-AB,所以PC-PB<

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C

∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C

延长BE交AC于F因为，∠1=∠2，BE⊥AE

所以，△ABF是等腰三角形

AB=AF,BF=2BE∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

作AG∥BD交DE延长线于G

AGE全等BDE

AG=BD=5

AGF∽CDF

AF=AG=5

所以DC=CF=2

18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

延长AD至H交BC于H;

BD=DC;

∠DBC=∠角DCB;

∠1=∠2;

∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;

∠ABC=∠ACB;

AB=AC;

三角形ABD全等于三角形ACD;

∠BAD=∠CAD;

AD是等腰三角形的顶角平分线所以:

AD垂直BC

19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

∠OAB=∠OBA

因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB

所以MA=MB

所以∠MAB=∠MBA

因为∠OAM=∠OBM=90度

所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA

所以∠OAB=∠OBA

20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

做BE的延长线，与AP相交于F点，

∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°

，

又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线

∴∠EAB+∠EBA=90°

∴∠AEB=90°

，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：

∠C=2∠B

在AB上找点E，使AE=AC

∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD

∴△ADE≌△ADC。

DE=CD，∠AED=∠C

∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE

∠B=∠EDB

∠C=∠B+∠EDB=2∠B

22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；

若不成立请说明理由．

解：

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°

，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，

∴∠DEC=∠BFA=90°

，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．

23．（7分）已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

（1）DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。

于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。

由AE=BE，所以△AED≌△EBC。

（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

BD=2CE．

延长BA、CE，两线相交于点F

∵BE⊥CE

∴∠BEF=∠BEC=90°

在△BEF和△BEC中

∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC

∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴EF=EC

∴CF=2CE

∵∠ABD+∠ADB=90°

∠ACF+∠CDE=90°

又∵∠ADB=∠CDE

∴∠ABD=∠ACF

在△ABD和△ACF中

∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

∴BD=2CE

25、（10分）如图：

DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

△AED≌△BFC。

26、（10分）如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

AM是△ABC的中线。

∵BE‖CF

∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM

∵BE=CF

∴△BEM≌△CFM

∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

27、（10分）如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

BD⊥AC。

三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC

28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

BF=CF

在△ABD与△ACD中AB=AC

BD=DC

AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴∠ADB=∠ADC

∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中

∠BDF=∠FDC

DF=DF

∴△FBD≌△FCD

∴BF=FC

29、（12分）如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

AF=DE。

因为AB=DC　　AE=DF,

CE=FB

CE+EF=EF+FB

所以三角形ABE=三角形CDF

因为角DCB=角ABF

AB=DCBF=CE

三角形ABF=三角形CDE

所以AF=DE

30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

证：

∵AB平行CD（已知）

∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵M在BC的中点（已知）

∴EM=FM（中点定义）

在△BME和△CMF中

BE=CF（已知）

∠B=∠C（已证）

EM=FM（已证）

∴△BME全等与△CMF（SAS）

∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）

∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°

（等式的性质）

∴E，M，F在同一直线上

31．已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：

△ABE≌△CDF．

∵AF=CE

∴AF+EF=CE+EF

∴AE=CF

∵BE//DF

∴∠BEA=∠DFC

又∵BE=DF

∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）

32.已知：

如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

AE＝AF。

连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：

角ABC=角ADC在结合已知条件证得：

△ADE≌△ABF

得AE=AF

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:

∠5=∠6．

因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.

又因为AC是公共边，所以AAS==>

三角形ADC全等于三角形ABC.

所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC

三角形DEC全等于三角形BEC

所以∠5=∠6

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：

△ABC≌△DEF．

因为D,C在AF上且AD=CF

所以AC=DF

又因为AB平行DE，BC平行EF

所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）

然后SSA（角角边）三角形全等

35．已知：

如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：

BE=CD．

因为AB=AC，

所以∠EBC=∠DCB

因为BD⊥AC，CE⊥AB

所以∠BEC=∠CDB

BC=CB（公共边）

则有三角形EBC全等于三角形DCB

所以BE＝CD

36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

DE=DF．

AAS证△ＡＤＥ≌△ADF

37.已知：

如图,AC

BC于C,DE

AC于E,AD

AB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？

角C=角E=90度

角B=角EAD=90度-角BAC

BC=AE

△ABC≌△DAE

AD=AB=5

38．如图：

AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

MB=MC

证明∵AB=AC

∴△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠C

又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形

∴△BEM全等于△CEM

∴MB=MC

39.如图，给出五个等量关系：

①

②

③

④

⑤

．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知1,2

求证4

因为AD=BCAC=BD，在四边形ADBC中，连AB

所以△ADB全等于△BCA

所以角D=角C

以4,5为条件，1为结论。

即：

在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：

AD=BC

因为∠A+∠B+∠C+∠D=360

∠D=∠C，∠A=∠B，

所以2（∠A+∠D）=360°

∠A+∠D=180°

所以AB//DC

40．在△ABC中，

，直线

经过点

，且

于

.

（1）当直线

绕点

旋转到图1的位置时，求证：

①

≌

；

②

（2）当直线

旋转到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明；

若不成立，说明理由.

（1）证明：

∵∠ACB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°

，∠BCE+∠CBE=90°

∴∠ACD=∠CBE．

在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）不成立，证明：

在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°

∠ACD=∠CBEAC=CB，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴DE=CE-CD=AD-BE；

41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF

证明;

因为AE垂直AB

所以角EAB=角EAC+角CAB=90度

因为AF垂直AC

所以角CAF=角CAB+角BAF=90度

所以角EAC=角BAF

因为AE=ABAF=AC

所以三角形EAC和三角形FAB全等

所以EC=BF

角ECA=角F

（2）延长FB与EC的延长线交于点G

因为角ECA=角F（已证）

所以角G=角CAF

因为角CAF=90度

所以EC垂直BF

42．如图：

BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

（1）AM=AN；

（2）AM⊥AN。

（1）

∵BE⊥AC，CF⊥AB

∴∠ABM+∠BAC=90°

，∠ACN+∠BAC=90°

∴∠ABM=∠ACN

∵BM=AC，CN=AB

∴△ABM≌△NAC

∴AM=AN

（2）

∵△ABM≌△NAC

∴∠BAM=∠N

∵∠N+∠BAN=90°

∴∠BAM+∠BAN=90°

即∠MAN=90°

∴AM⊥AN

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:

BC∥EF

连接BF、CE，

证明△ABF全等于△DEC（SAS），

然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF

从而求得BC平行于EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？

请说明理由

在AB上取点N,使得AN=AC

∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN

所以∠ANE=∠ACE

又AC平行BD

所以∠ACE+∠BDE=180

而∠ANE+∠ENB=180

所以∠ENB=∠BDE

∠NBE=∠EBN

BE为公共边,

所以三角形EBN全等三角形EBD

所以BD=BN

所以AB=AN+BN=AC+BD

45、（10分）如图,已知:

AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:

BE∥CF．

∵AD是中线

∴BD=CD

∵DF=DE，∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF

∴∠BED=∠CFD

∴BE‖CF

46、（10分）已知：

如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，

．

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEC=∠AFB=90°

在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA，

∴∠C=∠A，

∴AB∥CD．

47、（10分）如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

AB=CD

【待定】

48、（10分）如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.

结论：

CE>

DE。

当∠AEB越小，则DE越小。

过D作AE平行线与AC交于F，连接FB

由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。

RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<

90°

∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<

△DFB中∠DFB=∠DBF=（180°

-∠FDB）/2>

45°

RT△AFB中，∠FBA=90°

-∠DBF<

∠AFB=90°

-∠FBA>

∴AB>

AF

∵AB=CEAF=DE

∴CE>

DE

49、（10分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：

AE＝DE.

先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB

在证明△ABE≌△DCE

得出AE=DE

50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°

，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

作CG平分∠ACB交AD于G

∴∠ACG=∠DCG=45°

AC=BC

∴∠B=∠BAC=45°

∴∠B=∠DCG=∠ACG

∵CF⊥AD

∴∠ACF+∠DCF=90°

∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠CAF=∠DCF

∵AC=CB∠ACG=∠B

∴△ACG≌△CBE

∴CG=BE

∵∠DCG=∠BCD=BD

∴△CDG≌△BDE

∴∠ADC=∠BDE