第6讲 角平分线的性质Word下载.docx
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古希腊数学家阿基米德就设计出了一个巧妙的三等分角的方法:
在直尺边缘上添加一点P,命尺端为O(如图①);
设所要三等分的角是∠MCN,以C为圆心,OP为半径作半圆交给定角的两边CM、CN于A、B两点;
移动直尺,使直尺上的O点在AC的延长线上移动,P点在圆周上移动,当直尺正好通过B点时,连OPB,则有∠AOB=
∠MCN.这种方法由于在直尺上作了一个记号,不符合尺规作图中直尺只能用来连线的规定,因此还不能算是严格意义上的尺规作图.聪明的你能利用已经学过的知识,证明这个原理么?
证明:
∵OP=PC=BC,∴∠O=∠PCO,∠A=∠2,设∠O=∠PCO=x,∴∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x,∴∠3=∠O+∠2=3x,∴∠AOB=
∠MCN.
知识讲解
1.角平分线的画法
(1)已知∠AOB,求作∠AOB的角平分线:
2.角平分线的性质及判定
(1)角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离________。
(2)角平分线的判定:
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的__________上。
3.三角形的角平分线的性质
(1)三角形的三条角平分线交于一点,这点到三边的距离_______。
(2)三角形两个外角的角平分线也交于一点,这点到三边所在的直线的距离_______。
(3)三角形外角平分线交点共有__个,所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有____个。
考点/易错点1
角平分线是一种______模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:
1.由角平分线上的一点向角的两边作____线;
2.过角平分线上的一点作______平分线的垂线,从而形成______三角形;
3.OA=OB,这种对称的图形应用得也较为普遍。
三、例题精析
【例题1】
【题干】八
(1)班同学上数学活动课,利用角尺平分一个角。
设计了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
(Ⅱ)∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?
若可行,请证明;
若不可行,请说明理由。
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB。
此方案是否可行?
请说明理由。
【变式1】尺规作图:
请在图上作一个∠AOC,使其是已知∠AOB的
倍.(要求:
写出已知、求作,保留作图痕迹,在所作图中标上必要的字母,不写作法和结论)
已知:
求作:
【变式2】如图,△ABC中,∠C=90°
,∠CAB=50°
.按以下步骤作图:
①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;
②分别以点E、F为圆心,大于
EF长为半径画弧,两弧相交于点G;
③作射线AG交BC边于点D.
则∠ADC的度数为( )
A.
65°
B.
60°
C.
55°
D.
45°
【例题2】
【题干】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,若AC=3cm,则AD+DE为( )
3cm
4cm
2cm
无法确定
【变式1】如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=6cm,则△DEB的周长为( )
6cm
8cm
10cm
【变式2】如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC,CF.求证:
CA是∠DCF的平分线.
【例题3】
【题干】如图,已知四边形ABCD中,AD∥BC,若∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的大小关系是( )
AB>AD+BC
AB<AD+BC
AB=AD+BC
【变式1】如图所示,在△ABC中,AD为外角平分线,P为AD上任意一点,AB+AC和BP+PC有什么关系.
【变式2】如图,在△ABC中AD是∠A的外角平分线,P是AD上一动点且不与点A,D重合,记PB+PC=a,AB+AC=b,则a,b的大小关系是( )
a>b
a=b
a<b
不能确定
【例题4】
【题干】如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=14,BD平分∠ABC,交AC于D,AD=10,则点D到AB的距离为( )
10
4
7
6
【变式1】已知:
如图,AD是△ABC的角平分线,且AB:
AC=3:
2,则△ABD与△ACD的面积之比为( )
3:
2
9:
2:
3
4:
9
【变式2】如图,PB、PC分别是△ABC的外角平分线,它们相交于点P,求证:
点P在∠A的平分线上.
【例题5】
【题干】如图,在△ABC中,AC=CB,∠C=90°
,AD是∠BAC的平分线,∠E=90°
,那么AD与BE的长度关系为。
【变式1】如图,AD是△ABC的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C作AD的延长线的垂线,垂足为M.求证:
AB+AC=2AM.
【变式2】△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于F。
求证:
【例题6】
【题干】为了加快灾后重建的步伐,我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场,如图,要使这个砂石场到三条公路的距离相等,则可供选择的地址( )
仅有一处
有四处
有七处
有无数处
【变式1】
(用圆规、直尺作图、不写作法,但可保留作图痕迹)在一次军事演习中,红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区内,到公路,铁路的距离相等,且离公路与铁路交叉处B点700m,如果你是红方的指挥员,请你在图所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.
【变式2】如图1所示,要在两条公路的中间修建一座加油站,位置选在到两条公路的距离相等,并且到两条公路交叉点A处的距离为2cm(指的是图上距离)。
请你设计出加油站的位置,并说明你的理由。
课堂运用
【基础】
1.下列结论错误的是( )
到已知角两边距离相等的点在同一直线上
一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角
到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角
角内有两点各自到角的两边的距离相等,经过这两点的直线平分这个角
2.如图,∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使P到OA,OB的距离都等于a,作法如下:
(1)作OB的垂线段NH,使NH=a,H为垂足.
(2)过N作NM∥OB.
(3)作∠AOB的平分线OP,与NM交于P.
(4)点P即为所求.
其中(3)的依据是( )
平行线之间的距离处处相等
到角的两边距离相等的点在角的平分线上
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
3.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:
S△BCO:
S△CAO等于( )
1:
1
5
4.如图,AD、AE分别是△ABC中∠A内角的平分线和外角平分线,则∠DAE= 度.
5.已知线段a和直角∠α:
(1)用尺规作△ABC,使得∠C=∠α,BC=a,AB=2a(保留作图痕迹,不写画法);
(2)用尺规作△ABC的中线CD和角平分线CE(保留作图痕迹,不写画法);
(1)如图所示,△ABC即为所求作的三角形,
(2)如图所示,CD为即为所求作的中线,CE即为所求作的角平分线;
6.如图所示,点B和点C分别为∠MAN两边上的点,AB=AC.
(1)按下列语句画出图形:
①AD⊥BC,垂足为D;
②∠BCN的平分线CE与AD的延长线交于点E;
③连接BE.
(2)在完成
(1)后不添加线段和字母的情况下,请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形:
≌ ,
≌ ;
并选择其中的一对全等三角形,予以证明.
7.如图,已知AD为∠BAC的平分线,点O在AD上,OE⊥BD于E,OF⊥CD于F,且OE=OF,请你猜想AB与AC有什么样的数量关系?
并证明.
【巩固】
1.如图,BD是△ABC的外角∠ABP的角平分线,DA=DC,DE⊥BP于点E,若AB=5,BC=3,则BE的长为( )
1.5
0.5
2.如图,△ABC中,∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P,下列结论:
①PC平分∠ACF;
②∠ABC+∠APC=180°
;
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影,则AM+CN=AC;
④∠BAC=2∠BPC.
其中正确的是( )
只有①②③
只有①③④
只有②③④
只有①③
3.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D、E、F分别是垂足,且AB=10,BC=8,CA=6,则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于( )
2、2、2
3、3、3
4、4、4
2、3、5
4.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;
②QP∥AR;
③△BRP≌△CSP.正确的是( )
①和②
②和③
①和③
全对
课程小结
1.关于角平分线的作图
2.角平分线的性质
3.关于角平分线的常用辅助线作法
4.角平分线的实际应用
课后评价表:
一出勤情况
准时()迟到()旷课()
__________________________________________________________________
二课上表现情况
优()良()差()
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三课后作业完成情况
全部完成()部分完成()未完成()
__________________________________________________________________________________________________________________
家长签字:
_______________________
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