45n次方程式Word文件下载.docx
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例如x2+仁0就没有实数解,
为此我们引进了复数,在复数系中,x2+仁0有两个复数根i及-i。
但就一般
的n次方程式,在复数系中,是不是一定有根呢?
这个存在性的问题,在
公元1799年时,德国数学家高斯(Gauss1777—1855)在他的博士论文中证明了在复数系中,n次方程式一定有根,它所讨论的方程式不限于实系数而是复数的系数,但实数亦可看作是复数,所以这个结果亦可用到实系数的n
次方程式。
我们将高斯的结果写成下列的定理:
代数基本定理:
每一个n次方程式,只要n_1,就至少有一个复数根
有了代数基本定理之后,我们不用担心是否要为了找根而要一直扩展数系,因为它告诉我们,一个复系数的n次方程式,在复数系中,一定有复数根
所以我们只要将数系扩展到复数系,就解方程式而言就足够了。
有没有公式解:
另一个存在性的问题就是n次方程式有无求公式解(将系数加减乘除开根号)的
方法?
先来看一看几个例子:
n=1时ax+b=0的解是x=--。
a
至于n=3或4的公式解,一度曾经是数学竞技斗智的焦点。
期间颇多戏剧化的情节发展。
结果三次方程式由卡丹(Carden)于1545年公布其解法于其著作
「ArsMagna」中,而据传说此解法是由Tartaglia教给Carden,并以保守此秘
密为条件,不料Carden竟然背信,将解法公布,并据为己有,可见Carden此
人为达目的不择手段。
至于四次方程式的公式解是由Carden的弟子斐拉利(Ferrari1522-1565)所提出的。
但是对于五次方程式的堡垒,却久攻不下,这个问题持续了两三百年,直到
1832年,一位法国青年Galois在其决斗前夕,在它的遗书中,这位伟大的青年数学家引进了「群」的理论,证明了:
五次及五次以上的方程式,不可能有公
式解。
从此数学家才解除了寻找公式解的恶梦。
解的个数:
一次方程式恰有一个根,二次方程式如果重根算是两个,那么二次方程式就恰有两个根。
一般而言,如果计算重根的个数,(重根算二个、三重根算三个,…)那么根
据代数基本定理以及因式定理,我们可推得以下定理:
定理:
n次方程式就恰有n个根。
(丙)多项方程式解的性质:
若z为f(x)=O的一根,则共轭虚数z亦为f(x)=O的一根。
[证明]:
[讨论]:
(a)若f(x)=O为一个3次的实系数方程式,是否一定有实根呢?
(b)若f(x)=O为一个4次的实系数方程式,是否一定有实根呢?
一般的情形:
(a)若f(x)=O为一个奇数次的实系数方程式,一定有实根。
(b)若f(x)=O为一个偶数次的实系数方程式,一定有偶数个实根。
(可能没有实根)
(2)有理根成对:
先举一个例子:
设f(x)=x4-6x3+7x2+6x-2
(a)验证2+3是有理系数f(x)=O的一个无理根。
(b)取g(x)=[x-(2+.3)][x-(2-.3)]=x2-4x+1,请问f(x)是否能被g(x)整除?
(c)请问2-3是否为f(x)=O的另一个无理根。
一般情形:
设f(x)为有理系数多项式,a,b为有理数,且b为无理数
若x=a+,b为f(x)=O之一根,则x=a—〔b亦为其根
[证明]:
[例題1]设f(x)=anxn+an/xn_1+・・・+aix+ao=O为一实系数n次方程式:
(1)若f(2-3i)=-4+5i,求f(2+3i)=?
(2)若f(-1+6i)=-5,求f(-1-6i)=?
Ans:
(1)-4-5i
(2)-5
432
[例題2]实系数方程式x-5x-2x+14x-20=0有一根1+i,贝U求方程式所有的根
Ans:
1+i,1-i,-2,5
[例題3]设a,b为实数,若2i-1为x+3x+(a+1)x+ax+b=O的一根,则求a,b之值
a=7,b=5
[例題4]若a,b为有理数,若1-,2为x4+ax3-6x2+bx+1之一根求a,b之值,并解此方
程式。
Ans:
a=0,b=0;
1二2,-1二一2
(練習1)f(x)为实系数多项式,已知f(3+5i)=7-2i,则f(3-5i)=?
Ans:
7+2i
(練習2)f(x)=x4-8x3+25x2-30x+8,试求f(2+i)=?
f(2-i)=?
Ans:
6i,—6i
(練習3)已知2+i为f(x)=x4「4x3+8x2「12x+15的一根,求f(x)=0所有的根。
2_i,^-:
:
3i
(練習4)设f(x)为实系数三次多项式,且f(i)=0(i=错误!
),则函数y=f(x)的图形与
x轴有几个交点?
(A)0(B)1(C)2(D)3(E)因f(x)而异。
(B)
(練習5)设实系数多项式f(x)=2x3+3x2+mx+n,若f(i「1)=0,则数对(m,n)=?
(2,-2)
(練習6)设a为有理数,若2+3为x4-4x3+2x2-4x+a之一根,则a=?
a=1
(3)根与系数的关系:
[例題5]设三次方程式ax3+bx2+cx+d=0之三根为:
」,,试求根与系数之关系:
(1)a+0+Y=
(2)x0+艮丫+Yo=(3)x艮丫=。
bcd
⑴盲
(2)a(3)盲
[例題6]设四次方程式ax+bx+cx+dx+e=O之四根为:
-,■-,,.,试求根与系数的关系:
(1)四根之和,⑵任意相异两根乘积之和,⑶任意相异三根乘积之和,⑷四
bc
根之积。
⑴-;
(2)a⑶错误!
⑷错误!
aa
[讨论]:
一般的n次方程式根与系数的关系:
(練習7)设方程式2x3+3x-5=0的三根为八>,求下列各式的值:
(a)错误!
+错误!
(b)a2+02+,
3
(a)5(b)-3
(練習8)已知方程式x4-x3-56x2+ax+b=O的根中,有二根的比为2:
3,而另二根
的差为1,求整数a,b之值。
Ans:
a=36,b=72O
(丁)解根的方法:
(1)整系数的n次方程式找有理根:
(a)一次因式检验定理:
设f(x)=anxn+an_1xn'
+…+a1x+ao为一个整系数n次多项式,若整系数一次式
ax-b是f(x)的因式,且a,b互质,则a|an且b|ao。
(b)有理根检验定理:
设f(x)=anxn+an_1xn'
+•••+a1x+ao=O为一个整系数n次方程式,
若x=b为f(x)=O之一有理根,a,b为整数且互质,则a|an且b|ao。
4321
[例題1]解方程式2x+x—21x—2x+6=0。
3,2,-2+2,-2-2
[例題2]设f(x)=12x-56x+89x-56x+12=0⑴令x+g=t,将f(x)=0化为t的方程式。
513i23
(2)试解出t,再解出x。
(1)12t2-56t+65=0
(2)t=2,石,乂二护衣
[例題3]设a,b,c为整数,且x4+ax3+bx2+cx+9=0之四根为相异之有理数,求a,b,c之值'
a=0,b=-10,c=0
[例題4]证明:
32为无理数
(練習10)
(練習9)试求方程式f(x)=6x4+5x3+3x2—3x—2=0之有理根
解下列方程式:
32432
(1)2x+7x-7x-5=0
(2)3x+x-8x+x+3=0
(3)(x+1)(x+3)(x+5)+(x+7)+15=0
(3)x=-2,-6,-4_.6[提示:
方程式可化为
(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)+15=^=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15=0,令y=x2+8x=(y+7)(y+15)+15=0,解y,再解x。
]
(練習11)设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根,则其最大根
为。
2
(練習12)设p,q为自然数,且f(x)=x5-2px4+x3-qx2+x-2有整系数一次因式,则求
p,q之值。
p=1,q=2
(練習13)证明:
35为无理数。
(2)无理根的问题:
利用整系数一次因式检验定理,可解决有理根的问题,但是就一般的方程式而
言,要找出解,尤其是高次的方程式,通常不是一件容易的事情。
f(x)=x5+3x2-7x+2=0,由于它是整系数的5次多项式,所以一定有实根,
先考虑是否有理根,根据牛顿定理,x==1,-2逐一代入多项函数f(x)中,去看
f(x)值的变化:
-2
-1
1
2
f(x)
-4
11
32
可以看出,f(x)=0并无有理根,因为它一定有实根,所以它的实根必为无
理根。
通常我们无法直接求出f(x)=0无理根的形式,只能求得它的近似值。
从
上面的资料我们可以掌握一些重要的讯息:
当x从-2「连续地」变化到-1时,对应的函数值f(x)也从-4「连续地」变化到11。
所以函数值f(x)在-4与11之间一定会有等于0的情形发生,换句话说,
在-2与-1之间一定有一个数:
fG)=0;
同理,在-1与1之间会有一个数-,1
与2之间会有一个数分别使得fC)=0,f()=0。
推广这个概念可得以下的定理:
勘根定理:
设f(x)=O为实系数n次多项方程式,a,b是两个实数,
若f(a)f(b)<
0,则在a,b之间至少有一个f(x)=O的实根。
[定理的说明]:
、、亠
注意:
从观察图形可知,当f(a)f(b)<
0时,贝Ua,b之间的根必有奇数个根。
从图形的观察,当f(a)f(b)>
0时,f(x)=0在a,b之间可能有根,也可能无根,但若有根一定是偶数个根。
[例題7]试问在那些连续整数之间,f(x)=12x3-8x2-23x+1仁0有实根?
-2与-1,0与1,1与2
32
[例題8]设f(x)=x+2x~5,g(x)=2x-3,证明:
方程式f(x)g(x)=O在1与2之间至少存在一实根。
[例題9]设a是一个固定的正数,试证明:
方程式xn=a(n为自然数)恰有一正实根
(練習14)f(x)=12x-8x-23x+1仁0在0与1之间有一实根,试求其近似值到小数点以下第二位。
(第三位四舍五入)Ans:
0.47
(練習15)讨论方程式x3+x-5=0是否有实根?
有多少个实根?
此方程式有一实根。
(練習16)f(x)=2x3+7x2+3x-3试证:
在0与1之间,存在一定数k使得f(k)=5k+1[Hint:
令g(x)=f(x)-(5x+1),证明g(x)=0在0与1之间有实根k]
综合练习
(1)解下列方程式:
232432
(a)x2+|2x-1|=0(b)2x3+3x2+11x+5=0(c)2x4-x3-9(+13x-5=0。
⑵已知方程式x-5x-2x+14x-20=0之一根为1+i,试解出此方程式其它的根。
⑶设整系数方程式x4+3x3+bx2+cx+10=0有四个相异有理根,试求b,c的值。
⑷设a,b为实数,a=0,若方程式ax3+x2+bx+仁0之一根为2+2i,试求a,b的值。
432*
⑸已知方程式x+ax+ax+11x+b=0有二根3,-2,求a,b的值及其它两根。
⑹找出方程式x4-x3-9x2+2x+12=0所有实根的位置是在那些连续整数之间。
⑺二次方程式ax2-(a-1)x-6=0有一根介于1与2之间,另一根介于-1与-2之间,求实数a之范围。
(8)设f(x)与g(x)为实系数多项式,用x2-3x+2除f(x)得余式3x-4,用x-1除g(x)得余式5,且g
(2)=-3。
(a)试求以x-1除f(x)+g(x)的余式。
(b)试证明:
f(x)g(x)=0在1与2之间有实根。
(9)设a<
b<
c,若f(x)=(x—a)(x—b)+(x—b)(x—c)+(x—c)(x—a)=O有两实根:
厂,且:
<
:
比较a,b,c,〉「的大小。
(10)设f(x)=x°
-3x3-16x2+3x+35,试问y=f(x)的图形在下面那个范围中与x轴有交点?
(A)-1vx<
0(B)0vx<
1(C)1<
x<
2(D)2<
3(E)3<
4。
(11)方程式2x3-3x2+19x-60=0的根,符合下列那些情形?
(A)有一根介于-3与-4之间(B)有一根介于2与3之间(C)有3个实根(D)恰有一个有理根(E)有两个无理根。
(12)已知实系数四次多项函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e,若f(x)值之正负如下表:
且f(£
+2i)=0。
小
于-4
-3
f(x)值
—
+
下面那些结论是正确的?
(A)-3,-2之间有实根(B)-1,0之间恰有一个实根
(C)f(x)=0有四个实根(D)f(x)=0恰有一正根(E)-3-2i为f(x)=0的根。
(13)y=f(x)为一多项函数,若f(0)>
0,f
(1)<
1,试证在0,1之间存在一实数c,使得f(c)=c2。
(14)已知方程式x4-4x3-34x2+ax+b=0之四根成等差数列,试求a,b的值及四个根。
(15)已知方程式x4+3x3+x2-5x-12=0,其中有两根之乘积为-4,试解此方程式。
(16)解下列方程式:
(a)x-4x+x+4x+1=0
进阶问题
x2+2x2+4x+152,"
口
(b)+^2+T=2(c)2x—6x-5错误!
=5
(17)证明存在一正实数r,使得r4+2r+1=2
(18)设二多项式f(x)与g(x),对于二相异实数a,b有下列关系f(a)<
g(a),f(b)>
g(b),证明:
在a,b之间存在一个实数c使得f(c)=g(c)。
abc=2
(19)设a,b,c满足《ab+bc+ca=-5,求以a,b,c为三根的三次方程式,并解出a,b,c
abc=-6
(20)令f(x)=x-4x+11x—14X+10,并设:
-,-,,:
是方程式f(x)=0的四根。
(a)试求以«
_1^_17_1,d-1为四根的四次方程式g(x)=0。
(b)先求g(x)=0的四根,再求f(x)=0的四根。
综合练习解答
(1)(a)-1+5,1-.3(b)错误!
,错误!
(c)1,1,1,错误!
(2)1-i,5,-2(3)b=-11,
c=-3(4)a=错误!
,b=错误!
⑸a=-3,b=6,1,1(6)-3与-2,-2与-1,1与2,3与4⑺2<
a<
2(8)(a)4(b)证明f(x)=0或g(x)=0在1与2之间有实根即可。
(9)a<
<
■-<
c(10)(C)(11)(B)(D)(12)(B)(D)(E)(13)[提示:
考虑F(x)=f(x)—x2](14)a=76,b=105,4根为-5,-1,3,7(15)错误!
,-1土错误!
i[提示:
可令方程式
会化为(x2+ax-4)(x2+bx+3)=0,展开之后,再比较系数](16)(a)错误!
(b)0,-8,1,3(c)5,-2(17)[提示:
令方程式f(x)=x4+2x+1-.2,证明f(x)=0有一
实根](18)[提示:
考虑F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)=0在a,b之间有一实根](19)
x-2x-5x+6=0;
(a,b,c)=(1,3,-2)(1,-2,3)(3,1,-2)(3,1,-2)(3,-2,1),(-2,1,3)(-2,3,1)
42
(20)(a)g(x)=x+5x+4(b)1_i1_2i
例子:
x-5x+6=0二x=2或3x*23+x+仁0=x=错误!
32—2—
x-x+4x-4=0二(x-1)(x+4)=0=x=1,2i,-2ix4+5x2+4=0=(x2+1)(x2+4)=0二x=i,-i,2i,-2i
能否造出一个实系数的二次方程式以1-i为它的一个虚根?
否造出一个只含一个虚根1-i的实系数二次方程式?
(1)实系数n次方程式虚根成对:
定理一:
若f(x)=anxn+an/xn—1+…+aix+a°
为一实系数n次多项式,z为一个复数,则f(z)-f(z)。
引理1:
若zi,z2为二复数,则(a)乙•Z2二乙•Z2(b)乙乙二乙召。
证明:
引理2:
zn=(z)n,其中n为正整数。
[定理一证明]:
定理二:
设f(x)=anXn+an_1Xn'
+・・・+a1X+a°
=0为一实系数n次方程式,
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