优质如何利用空间向量处理立体几何中的角与距离问题课题结题报告实用word文档 18页Word文档格式.docx

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BA,CD?

?

4BACD

异面直线AB与CD

所成角的大小为arccos

4

2.求直线与平面所成的角?

2

）

设?

为直线l与平面?

所成的角，ω为直线l的方向向量v与平面?

的法向量n之间的夹角，则有?

（图1）或?

（图2）

v

ω

图1图2

即直线l与平面?

所成的角?

可看成是向量v与平面?

的法向量n所成的锐角的余角，

所以有sin?

v,n?

特别地?

0时，?

，l?

；

时，?

0，l?

或l//?

例2．（201X年浙江卷）．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．（Ⅱ）当k＝

12

时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

解：

∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP。

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图），设AB=a，则A

（

a,0,0），B（0

，

a，0），C（

-

a，0，0）。

设OP=h，则P（0，0，h）。

∵k=

，即PA=2a∴

∴PA=（

a,0,?

1PA?

），∴cos<

PA,n>

=7|PA|?

|n|

可求得平面PBC的法向量n=（1，－1，?

30

设PA与平面PBC所成的角为θ

则sinθ=|cos<

|=

∴PA与平面PBC所成的角为

arcsin

.

3.求二面角的平面角?

设n1,n2分别为平面?

?

的法向量，二面角?

l?

的大小为?

，向量n1,n2的夹角为?

，则有?

（图3）或?

（图4）其中cos?

n12图

图4n2

n1

例3．（201X年安徽卷）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA?

1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，

1P（0,0，1），A（0，?

0），

B（，0,0），D（0,2，

10），∴PA?

（0,?

1），PB?

0,?

1），

22

PD?

（0,2,?

1）

F例3图

E

设平面PAB的法向量为n1?

（x1,y1,1），则

y1?

1?

0?

，n1?

PA，n1?

PB，得?

x?

n1?

2,1）；

3

2y2?

设平面PDB的法向量为n2?

（x2,y2,1），则n2?

PD，n2?

PB，得，

x2?

n1n2?

1）；

n1,n2?

321235

所以，所求二面角的大小为arccos（?

二．求距离

35

）。

1．求点到平面的距离

设A是平面?

外一点，AB是?

的一条斜线，交平面?

于点B，而n是平面?

的法向量，A到平面?

的距离h，

所以

h?

BA?

例4．（201X年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（III）求点E到平面ACD的距离。

设平面ACD的法向量为n?

（x,y,z）,则

n.AD?

（x,y,z）.（?

1,0,?

1）?

0,

n.AC?

（x,y,z?

y

z?

0.

令y?

1,得n?

（是平面ACD的一个法向量。

又EC?

,0）,

EC?

点E到平面ACD

的距离h?

7

2．求异面直线间的距离

已知a，b分别是异面直线a、b的方向向量，设n是与a，b都垂直的一个向量，E、

EF?

F分别是直线a、b上的两个点，则异面直线a和b的距离d?

n

例5．求距离已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。

如图建立空间直角坐标系，则AC＝（－1，1，0），DA1＝（1，0，1）

设与AC、DA1都垂直的一个向量为n＝（1，y，z）,由n?

AC?

0，n?

DA1?

0，

可解得n＝（1，1，－1），又AA1＝（0，0，1）

33

所以点A到平面A1C1D

的距离为h?

，即直线DA1和AC间的距离为

。

3．求直线到与它平行的平面的距离

可转化为求直线上任意一点到平面的距离。

总之，若所给的立体几何模型（如：

正（长）方体、直棱柱、正棱锥等）中能找到或作出三条互相垂直的直线，我们就可以建立空间直线坐标系，就能用向量解决空间角和距离问题。

当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的还较为简单，利用向量来解决立体几何问题，最大的优点就是克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和逻辑性，而向量法完全依靠计算就可以解决问题，从而操作性强―――运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，充分体现出新教材新思想、新方法的优越性。

参考文献

许吟裕例谈向量法在立体几何解题中的应用高考数学文选201X（6）

篇二：

利用空间向量的坐标运算解决立体几何中的夹角和距离问题

玉门市第一中学（735211）谢国良

欧氏几何重视公理化体系，空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。

向量是数与形的完美结合，在处理立体几何中的夹角和距离问题时非常实用。

空间向量在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了各种辅助线添加的难处，使得艰涩繁杂的立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

一．各种空间角的计算问题

各种空间角的计算一直以来是立体几何教学中的重点和难点，也是高考的热点.借助于向量的夹角公式,通过对向量夹角的计算可以方便的得出各种空间角的大小,从而避免了寻找角的繁杂过程.

例1.（201X年全国卷Ⅱ）如图，四棱锥S?

ABCD中，AB//CD,BC?

CD，侧面SAB为等边三角形，AB?

BC?

2,CD?

SD?

1.（Ⅰ）证明：

平面SAB;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成角的大小

A

图1

（来自:

在点网）

计算易得SD?

1，AD?

SA?

2，于是SA2?

SD2?

AD2，利用勾股定理，可知SD?

SA，同

理，可证SD?

SB,又SA?

SB?

S，因此，SD?

平面SAB.（II）过

D

做Sz?

平面ABCD，如图建立空间直角坐标系D?

xyz，

13

A（2，?

1,0）,B（2,1,0）,C（0,1,0）,S（,0）

2,2

可计算平面SBC的一个法向量是?

（0

2）,?

（0,2,0）

|AB?

n|?

|cos?

AB,n?

|?

7.|AB|?

|n|所以AB与平面SBC所成角为arcsin

21.7

规律总结：

利用传统的几何方法求斜线与所成的角,关键是找出斜线PA在?

内的射影AB,那么直线PA与平面?

所成的角即为?

PAB（如图2所示）,但寻找PA在?

内的射影有时是很抽象的过程。

利用空间向量求直线与平面所成的角时，可先求出平面的法向量a与直线的方向向量b，则a与b所成的角（取a=PA且b=PB,或者a=AP且b=BP）或其补角（取a=PA且b=BP,或者a=AP且b=PB）的余弦值就等

于所求线面角的正弦值，若直线与平面所成的角记为?

，则sin?

a,b?

a?

bab

P

α

图2

B

例2：

（201X年天津卷）如图，在三棱柱ABC?

A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1?

2，

C1H?

平面AA1B1B，且C1H?

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角A?

A1C1?

B1的正弦值；

（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN?

平面A1B1C，求线段BM的长．

图3

如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.

依题意得A（2,0,0）,B（0,0,0）,C（2,?

2,）

A1（22,22,0）,B1（0,22,0）,C1（,2,）

（I）解：

易得AC?

2,?

2,5）,A1B1?

22,0,0），

于是cos?

AC,A1B1?

43?

23

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为

2.3

（II）解：

易知AA1?

（0,22,0）,A1C1?

2,5）.

设平面AA1C1的法向量m?

（x,y,z），

则?

2x?

2y?

即?

22y?

AA1?

不妨令x?

5，可得m?

（5,0,2），同样地，设平面A1B1C1的法向量n?

5z?

即?

22x?

A1B1?

不妨令y?

5，可得n?

（0,5,2）

27?

32

从而sin?

77

所以二面角A—A1C1—B的正弦值为

.7

232,,）,设M（a,b,0），则222

（III）解：

由N为棱B1C1的中点，得N（

232?

MN?

a,?

b,）,由MN?

平面A1B1C1，得?

222?

a）?

22）?

2即?

2）?

b）?

5?

22?

2a?

，故M（2,2,0）解得?

24?

b?

4?

因此?

22,,0）,

.244

规律总结：

利用空间向量求异面直线所成的角时，可分别求出两条异面直线l1、l2的方向向量a与b，再代入向量的夹角公式即可。

特别需要注意的是向量夹角的范围是[0,?

]，两条异面直线所成角的范围是

（0,]，因而最后计算的结果需要取正值，即若设l1、l2的夹角为?

，则cos?

b.

ab

利用空间向量求二面角时，可先分别求出两个平面的法向量a与b，则a与b的夹角或其补角即等于二面角的大小，此时可结合图形观察确定.

二．各种空间距离的计算问题

各种空间距离的计算是立体几何的有一个重点和难点问题，也是高考的热点.常见的空间距离有点到点、点到线、线到线，点到面、线到面和面到面的距离，前三类是同一平面内的问题，本文只探究后三类情况。

线到面、面到面的距离都可以转化为点到面的距离，故此处我们仅探究点到面的距离.例3（201X年上海卷）已知ABCD?

A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交点。

⑴设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为?

，二面角A?

B1D1?

A1的大小为?

求证：

tan?

⑵若点C到平面AB1D1的距离为解:

设正四棱柱的高为h。

⑴略.

，求正四棱柱ABCD?

A1B1C1D1的高。

3

⑵建立如图空间直角坐标系，有A（0,0,h）,B1（1,0,0）,D1（0,1,0）,C（1,1,h）

AB1?

（1,0,?

h）,AD1?

（0,1,?

h）,AC?

（1,1,0）?

设平面AB1D1的一个法向量为n?

∵?

，取z?

1得n?

（h,h,1）?

AD1?

|n?

AC|4?

，则h?

2。

∴点C到平面AB1D

1的距离为d?

|n|3

规律总结:

利用空间向量计算时,可先计算出平面的法向量n,再在平面上任取一点A,则PA在法向量n方向上投影的绝对值就是点P到平面的距离.

（单位地址：

甘肃省玉门市玉门一中（邮编：

735211）

谢国良电话：

130********

E-mail:

370054510@

篇三：

201X高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练27利用空间向量求解立体几何中的角与距离（理）

考点27利用空间向量求解立体几何中的角与距离（理）

【考点分类】

热点一求角问题

1.【201X年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】已知三棱柱ABC?

A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

9

，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为45?

A.B.C.D.12346

2.【201X年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知正四棱柱ABCD?

A1B1C1D1中，AA1?

2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）

A．

21B

C

．D．

333

设AA1?

2AB?

2，则OC?

C1O?

3.（201X年高考陕西卷理科5）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?

A1B1C1，CA?

CC1?

2CB，则直线

BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）

（A）

3（B

）（C）

（D）

5355

4.（201X年高考全国卷理科16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为

____________.

【答案】

6

5.【201X年普通高等学校统一考试江苏数学试题】

如图，在直三棱柱A1B1C1?

ABC中，AB?

AC，AB?

2，AA1?

4，点D是BC的中点.

（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；

（2）求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.

∴A1B?

（2,0,?

4），C1D?

（1,?

1,4），

6.【201X年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.（I）求证：

平面PAC?

平面PBC；

（II）若AB?

2，AC?

1，PA?

1，求证：

二面角C?

PB?

A的余弦值

又在Rt?

CNM中，CN?

所以二面角C-PB-A

的余弦值为.

CNM=

544

（Ⅰ）证明：

BC1//平面

ACD；

1（Ⅱ）求二面角D-AC1-E的正弦值

所以二面角D-AC1-E的正弦值为

.3

8.【201X年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】

如图所示，在三棱锥

PAQ

中，PB?

平面ABQ，

BQ?

BP，D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，