阶段质量检测一高考数学强化训练平面向量三角函数与解三角形Word文档下载推荐.docx
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选A ∵|a+b|=|2a-b|,
∴a2+2a·
b+b2=4a2-4a·
b+b2,
∴6a·
b=3a2,
∴a2=2a·
b,
|a|2=2|a|×
|b|cosθ,其中θ为a、b的夹角;
∴|a|=2|b|cosθ,
又a,b是不共线的两个非零向量,
∴|a|<
|2b|.
5.(2019届高三·
镇海中学检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA=( )
A.-B.
C.D.
选A 在△ABC中,∵b-c=a,2sinB=3sinC,利用正弦定理可得2b=3c,则a=2c,b=c.
再由余弦定理可得
cosA===-.
6.(2018·
浦江模拟)已知平面向量a,b,c,满足+=,且|a|+|b|+|c|=4,则c·
(a+b)的最大值为( )
A.1B.2
C.3D.4
选B 由+=,可得a与b夹角为120°
,且c与a,b成等角,均为60°
,
设|a|=a,|b|=b,|c|=c,
由|a|+|b|+|c|=4,得a+b+c=4,则0<
c<
4.
c·
(a+b)=c·
a+c·
b=|c||a|cos60°
+|c||b|cos60°
=c(a+b)=c(4-c)=-c2+2c.
∴当c=2时,c·
(a+b)的最大值为2.
7.(2019届高三·
浙江名校联考信息卷)已知函数f(x)=sin,将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度,得到函数g(x)的图象,则“φ=”是“g(x)是偶函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
选A 由f(x)=sin,得g(x)=f(x+φ)=sin,当φ=时,g(x)=sin=sin=-cos2x,故充分性成立.当g(x)是偶函数时,2φ+=+kπ,k∈Z,φ=+,k∈Z,令k=1,得φ=∈,令k=2,得φ=∈.故“φ=”是“g(x)是偶函数”的充分不必要条件.
8.(2018·
金华模拟)已知平面内任意不共线三点A,B,C,则·
+·
的值为( )
A.正数B.负数
C.0D.以上说法都有可能
选B 如果A,B,C三点构成的三角形为锐角三角形或直角三角形,
显然·
<
0;
如果A,B,C三点构成钝角三角形,可设C为钝角,
角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则c>
a,c>
∴·
=accos(π-B)+abcos(π-C)+bccos(π-A)<
-abcosB-abcosC-abcosA
=-ab(cosB+cosC+cosA)
=-ab[cosA+cosB-cos(A+B)]
=-ab(cosA+cosB-cosAcosB+sinAsinB)
=-ab[cosA+cosB(1-cosA)+sinAsinB].
∵A,B是锐角,
∴cosA>
0,cosB>
0,且1-cosA>
0,sinAsinB>
0,
0.
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P,在原点右侧与x轴的第一个交点为Q,则f的值为( )
A.1B.
选C 由题意得=-=,所以T=π,所以ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),将点P代入f(x)=sin(2x+φ),得sin=1,所以φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<
,所以φ=,即f(x)=sin(x∈R),所以f=sin=sin=,选C.
10.(2018·
宁波模拟)已知O为锐角△ABC的外心,||=3,||=2,若=x+y,且9x+12y=8,记I1=·
,I2=·
,I3=·
,则( )
A.I2<
I1<
I3B.I3<
I2<
I1
C.I3<
I2D.I2<
I3<
选D 如图,分别取AB,AC的中点,为D,E,并连接OD,OE,根据条件有OD⊥AB,OE⊥AC,
=||2=,
·
=||2=6,
=(x+y)·
=9x+6y·
cos∠BAC=,①
=6xcos∠BAC+12y=6,②
又9x+12y=8,③
∴由①②③解得cos∠BAC=.
由余弦定理得,BC==.
∴BC>
AC>
AB.
在△ABC中,由大边对大角得,∠BAC>
∠ABC>
∠ACB,∴∠BOC>
∠AOC>
∠AOB,
∵||=||=||,且余弦函数在(0,π)上为减函数,
,即I2<
I1.
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.(2019届高三·
金华十校联考)在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),则tanα=________,cosα+sin=________.
根据角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-,-1),
可得x=-,y=-1,r=|OP|=2,
∴tanα===,cosα==-,
∴cosα+sin=2cosα=-.
答案:
-
12.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是__________________,单调递增区间是______________________.
函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1,
则f(x)=++1
=sin+,
则函数f(x)的最小正周期T==π,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
π (k∈Z)
13.如图,在△ABC中,∠B=45°
,D是BC边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为________.
在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,
由余弦定理得cos∠ADC==-,
∴∠ADC=120°
,∠ADB=60°
在△ABD中,AD=5,∠B=45°
由正弦定理得=,
∴AB=.
14.(2019届高三·
西湖区校级模拟)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2cos2A+sin2A=2,b=1,S△ABC=,则A=________,=________.
∵2cos2A+sin2A=2,
∴cos2A+sin2A=1,
∴sin=,
∵0<
A<
π,∴2A+∈,
∴2A+=,∴A=.
∵b=1,S△ABC==bcsinA=×
1×
c×
∴c=2,
∴由余弦定理可得,a===,
∴===2.
2
15.(2018·
下城区校级模拟)记min{a,b}=已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,且a·
b=1,若c=λa+μb(λ,μ≥0,且λ+2μ=1),则当min{a·
c,b·
c}取最大值时,|c|=________.
向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,且a·
b=1,
可得cos〈a,b〉==,
〈a,b〉=60°
可设a=(1,0),b=(1,),b=,
若c=λa+μb(λ,μ≥0,且λ+2μ=1),
即有c,a,b的终点共线,
设c=(x,y),可得y=-(x-1),≤x≤1,
可得min{a·
c}=min{x,3-2x}=x,
当min{a·
c}取最大值1,可得|c|=1.
1
16.已知共面向量a,b,c满足|a|=3,b+c=2a,且|b|=|b-c|.若对每一个确定的向量b,记|b-ta|(t∈R)的最小值为dmin,则当b变化时,dmin的最大值为________.
不妨设向量a=(3,0),则由b+c=2a,设|b-a|=|c-a|=r,则向量b,c对应的点分别在以(3,0)为圆心,r为半径的圆上的直径两端运动,其中=a,=b,=c,并设∠BAH=θ,如图,易得点B的坐标B(rcosθ+3,rsinθ),因为|b|=|b-c|,所以||=||,则(rcosθ+3)2+(rsinθ)2=4r2,整理为r2-2rcosθ-3=0,∴cosθ=,而|b-ta|(t∈R)表示向量b对应的点到动点(3t,0)的距离,向量|b-ta|(t∈R)的最小值为向量b对应的点到x轴的距离dmin,即dmin=||=rsinθ=r==≤2,所以dmin的最大值是2.
2
17.(2019届高三·
杭州六校联考)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧(在正方形内,包括边界点)上的任意一点,则·
的取值范围是________;
若向量=λ+μ,则λ+μ的最小值为________.
以A为原点,以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),E,C(1,1),D(0,1).
设P(cosθ,sinθ),∴=(1,1),=(cosθ,sinθ),=(cosθ-1,sinθ),
=cos2θ-cosθ+sin2θ=1-cosθ,
∵0≤θ≤,∴0≤cosθ≤1,0≤sinθ≤1.
的取值范围是[0,1],
∵=λ+μ(cosθ,sinθ)==(1,1),
∴∴
∴λ+μ==-1+.
∴(λ+μ)′=>
故λ+μ在上是增函数,
∴当θ=0,即cosθ=1时,λ+μ取最小值为=.
[0,1]
三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(本小题满分14分)(2018·
杭州期中)在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(0,1),C(2,5),D是AC上的动点,满足=λ(λ∈R).
(1)求的值;
(2)求cos∠BAC;
(3)若⊥,求实数λ的值.
解:
(1)∵2+=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7),
∴|2+|==5.
(2)cos∠BAC===.
(3)∵=λ(λ∈R).
∴=-=λ-=λ(1,5)-(-1,1)=(λ+1,5λ-1).
∵⊥,∴(λ+1)×
1-(5λ-1)=0.
解得λ=.
19.(本小题满分15分)(2018·
台州五月适应性考试)已知函数f(x)=sinxcosx-sin2x+,x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间及f(x)图象的对称轴方程;
(2)若α,β∈(0,π),α≠β,且f(α)=f(β),求α+β的值.
(1)f(x)=sinxcosx-sin2x+=sin2x+cos2x=sin,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
故f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)由f(α)=f(β),得sin=sin,
sin=sin,
展开整理得,cossin(α-β)=0.
因为α,β∈(0,π),α≠β,所以sin(α-β)≠0,
所以cos=0,
所以α+β+=kπ+(k∈Z),
即α+β=kπ+(k∈Z).
因为α,β∈(0,π),
所以0<α+β<2π,
故α+β=或.
20.(本小题满分15分)(2017·
杭州期末)设A是单位圆O和x轴正半轴的交点,P,Q是圆O上两点,O为坐标原点,∠AOP=,
∠AOQ=α,α∈.
(1)若Q,求cos的值;
(2)设函数f(α)=sinα·
(·
),求f(α)的值域.
(1)由已知得cosα=,sinα=,
∴cos=×
+×
=.
(2)∵=,=(cosα,sinα),
=cosα+sinα,
∴f(α)=sinαcosα+sin2α=sin2α-cos2α+=sin+.
∵α∈,
∴2α-∈,
∴当2α-=-时,
f(α)取得最小值×
+=0,
当2α-=时,f(α)取得最大值×
1+=.
∴f(α)的值域是.
21.(本小题满分15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
2asinCsinB=asinA+bsinB-csinC.
(1)求角C的大小;
(2)若acos=bcos(2kπ+A)(k∈Z)且a=2,求△ABC的面积.
(1)由2asinCsinB=asinA+bsinB-csinC及正弦定理,得2absinC=a2+b2-c2,
∴sinC=,
∴sinC=cosC,
∴tanC=,∴C=.
(2)由acos=bcos(2kπ+A)(k∈Z),
得asinB=bcosA,
由正弦定理得sinAsinB=sinBcosA,
∴sinA=cosA,∴A=,
根据正弦定理可得=,解得c=,
∴S△ABC=acsinB=×
2×
sin(π-A-C)=sin=.
22.(本小题满分15分)已知向量a=(2,2),向量b与向量a的夹角为,且a·
b=-2.
(1)求向量b;
(2)若t=(1,0),且b⊥t,c=,其中A,B,C是△ABC的内角,若A,B,C依次成等差数列,试求|b+c|的取值范围.
(1)设b=(x,y),则a·
b=2x+2y=-2,且|b|==1=,
联立方程组解得或
∴b=(-1,0)或b=(0,-1).
(2)∵b⊥t,且t=(1,0),∴b=(0,-1).
∵A,B,C依次成等差数列,∴B=.
∴b+c==(cosA,cosC),
∴|b+c|2=cos2A+cos2C=1+(cos2A+cos2C)
=1+
=1+cos.
∵A∈,则2A+∈,
∴-1≤cos<
∴≤|b+c|2<
故≤|b+c|<
.
∴|b+c|的取值范围为.
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