高中数学新教材选择性必修第二册第五章 函数的导数及应用 53导数在研究函数中的应用南开题库含详解Word格式.docx
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C.方程与均有三个实数根
D.当时,函数取得极小值
18.设函数,则
A.在区间,内均有零点
B.在区间,内均无零点
C.在区间内有零点,在区间内无零点
D.在区间内无零点,在区间内有零点
19.函数的单调增区间是
C.D.和
20.已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是
21.在区间上的最大值是
22.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是
23.设函数,则
24.函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是
25.设奇函数的定义域为,导函数为,,当时,,则使成立的的取值范围是
26.已知,对任意的,给出以下四个结论:
①;
②;
③;
④.
其中正确的是
A.①③B.①④C.②③D.②④
27.函数的图象如图所示,则下列结论成立的是
A.,B.,C.,D.,
28.若在上是减函数,则的取值范围是
29.已知函数,下列结论中错误的是
A.,
B.函数的图象是中心对称图形
C.若是的极小值点,则在区间单调递减
D.若是的极值点,则
30.已知是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是
31.设函数在上存在导函数,若对,有,且当时,.若,则的取值范围是
32.设函数满足,,则时
A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值
33.已知函数,,设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同,则时,实数的最大值是
34.已知函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若对于任意实数,有,则
D.与大小不能确定
35.设函数在上的导函数为,且.下面的不等式在上恒成立的是
36.已知在实数集上的可导函数,满足是奇函数,且,则不等式的解集是
37.已知集合,,命题;
命题.则下列命题中为真命题的是
38.定义在上的函数满足,为的导函数.已知的图象如图所示,若两个正数,满足,则的取值范围是
39.已知函数与的图象有三个不同的公共点,其中为自然对数的底数,则实数的取值范围为
40.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是
二、填空题(共40小题;
共201分)
41.已知函数的单调递减区间为,其极小值为,则的极大值是
.
42.函数的单调递减区间是
43.已知函数的导函数的图象如图所示,则函数的单调减区间是
44.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)
()若函数在内单调递增,那么一定有.
()如果函数在某个区间内恒有,则在此区间内没有单调性.
()函数的极大值不一定比极小值大.
()对可导函数,是点为极值点的充要条件.
()函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.
()三次函数在上必有极大值和极小值.
45.如图所示,已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,.则
;
46.已知函数有一个极值,则实数的取值范围为
47.函数的单调递减区间是
48.函数在区间上的最大值是
49.对于函数有以下说法:
①是的极值点.②当时,在上是减函数.③的图象与处的切线必相交于另一点.④若且,则有最小值是.其中说法正确的序号是
50.已知函数的定义域为,部分对应值如下表:
的导函数的图象如图所示.
(1)的极小值为
(2)若函数有个零点,则实数的取值范围为
51.若函数的图象与的图象有三个交点,则的取值范围是
52.已知函数的部分图象如图所示,则函数在点处的切线的斜率的最小值是
53.如图,函数的图象在点处的切线方程是,则
54.已知曲线存在垂直于轴的切线,且函数在上单调递减,则的范围为
55.已知函数,对任意的,,不等式恒成立,则的取值范围为
56.若函数有极值,则实数的取值范围是
57.设函数在上的最大,最小值分别是,,则
58.函数的图象如图所示,则等于
59.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是
60.已知函数在上是减函数,则的取值范围是
61.函数在其极值点处的切线方程为
62.已知的图象在点处的切线方程为,且,则函数的最小值为
63.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是
64.已知函数,给出下列结论:
①在上是减函数;
②在上的最小值为;
③在上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为
.(写出所有正确结论的序号)
65.已知函数,,若成立,则的最小值为
66.给出下列命题:
①函数既有极大值又有极小值,则或;
②若,则的单调递减区间为;
③过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围为或;
④双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为.
其中为真命题的序号是
67.若曲线与曲线在上存在公共点,则的取值范围为
68.已知函数的导函数的图象如图所示,给出如下命题:
①是函数的一个极值点;
②函数在处切线的斜率小于零;
④当时,.
其中正确的命题是
.(写出所有正确命题的序号)
69.直线与函数的图象有相异的三个公共点,则的取值范围是
70.若函数在处取得极小值,则
71.已知函数在上单调递增,则实数的取值范围为
.
72.已知函数的定义域是,关于函数给出下列命题:
①对于任意,函数存在最小值;
②对于任意,函数是上的减函数;
③存在,使得对于任意的,都有成立;
④存在,使得函数有两个零点.
其中正确命题的序号是
73.已知函数的定义域是,,若对任意,,则不等式的解集为
74.已知函数,
①当时,若函数有且只有一个极值点,则实数的取值范围是
②若函数的最大值为,则
75.设函数,的定义域分别为,,且.若对于任意,都有,则称函数为在上的一个延拓函数.设,为在上的一个延拓函数,且是奇函数,给出以下命题:
①当时,;
②函数有个零点;
③的解集为;
④函数的极大值为,极小值为;
⑤,都有.
(填上所有正确的命题序号).
76.设函数,下列命题:
①的解集是,的解集是;
②是极小值,是极大值;
③没有最小值,也没有最大值;
④有最大值,没有最小值.
其中正确的命题序号为
77.若函数有两个极值点,,其中,,且,则方程的实根个数为
78.已知函数,且是函数的极值点.给出以下几个命题:
①;
②;
③;
④其中正确的命题是
.(填出所有正确命题的序号)
79.若不等式对任意满足的实数,恒成立,则实数的最大值为
80.在平面直角坐标系中,已知是函数的图象上的动点,该图象在点处的切线交轴于点,过点作的垂线交轴于点,设线段的中点的纵坐标为,则的最大值是
三、解答题(共20小题;
共260分)
81.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象不过第几象限?
82.已知,函数.
(1)当时,求的单调递增区间;
(2)若的极大值是,求的值.
83.已知函数,.
(1)求函数的极值;
(2)设函数,若函数在上恰有两个不同零点,求实数的取值范围.
84.已知直线与函数的图象相切于点.
(1)求实数的值;
(2)证明除切点外,直线总在函数的图象的上方;
(3)设,,是两两不相等的正实数,且,,成等比数列,试判断与的大小关系,并证明你的结论.
85.设,函数.
(1)讨论函数的单调区间和极值;
(2)已知(为自然对数的底数)和是函数的两个不同的零点,求的值并证明:
86.设函数,,其中.
(1)求的单调区间;
(2)若存在极值点,且,其中,求证:
87.已知函数在点处取得极大值,其导函数的图象经过点,,如图所示,求:
(1)的值;
(2),,的值.
88.如图已知函数,在处取得极大值,其导函数的图象经过点、.
(2)、、的值.
89.设函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,求的极大值和极小值.
90.设函数(为常数,是自然对数的底数).
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在内存在两个极值点,求的取值范围.
91.设,已知定义在上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.
(2)设,函数,求证:
(3)求证:
存在大于的常数,使得对于任意的正整数,,且,满足.
92.已知函数,,,令.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)若关于的不等式恒成立,求整数的最小值;
(3)若,正实数,满足,证明:
93.已知函数,,.
(1)求函数的单调区间;
(2)若存在,使得成立,求的取值范围;
(3)设,是函数的两个零点,求证:
94.已知函数在处的切线与直线平行.
(2)若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)记函数,设,是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数的最大值.
95.已知关于函数,
(1)试求函数的单调区间;
(2)若在区间内有极值,试求的取值范围;
(3)时,若有唯一的零点,试求.
(注:
为取整函数,表示不超过的最大整数,如,;
以下数据供参考:
,,,)
96.已知,函数,.(的图象连续不断)
(2)当时,证明:
存在,使;
(3)若存在均属于区间的,,且,使,证明:
97.已知函数,,.
(1)若函数的图象在点处的切线与直线平行,且函数在处取得极值,求函数的解析式,并确定的单调递减区间;
(2)在(Ⅰ)的条件下,如果对于任意的,都有成立,试求实数的取值范围.
98.已知函数,,其中.
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明;
(3)证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.
99.已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围;
(2)设,是的两个零点,证明:
100.已知函数.
(1)若函数在上为减函数,求的取值范围;
(2)当时,,当时,与有两个交点,求实数的取值范围;
(3)证明:
.
答案
第一部分
1.D
2.C
3.D【解析】,
令,得,
所以函数在上递减,在上递增,
所以当时,取得极小值.
4.A【解析】由图象可见,在区间内有一个极小值点.
5.D
【解析】根据的图象可知,,随着的变化如下:
6.B【解析】由,解得,即或,所以函数有两个零点,所以A,C不正确.
因为,由,解得或.
由,解得,即是函数的一个极大值点,所以D不成立,排除D.
7.D【解析】由得,
即,
设,则,则条件等价为,即有解,
设,为增函数,
因为,
所以当时,,当时,,
即当时,函数取得极小值为:
,即,
若有解,则,即,则或.
8.D
9.B【解析】设,
则,
因为对任意,,
所以对任意,,
即函数单调递增,
所以,
因为函数单调递增,
所以由得,
即的解集为.
10.B
【解析】设,则.
当时,在上单调递增,必须,即在上恒成立.又,∴,这与矛盾.
当时,在上单调递增,必须,即在上恒成立,
解得,此时在的定义域内,所以的取值范围是.
11.A【解析】时,满足题意,排除C,D,时成立,排除B,正确答案为.
12.A【解析】因为,
则在上为增函数,
又,,且,
所以.
当时,,
所以在上为增函数,
所以
13.D
14.C【解析】因为,
所以在上是增函数.
15.C
【解析】奇函数在上是增函数,当,,且,
所以,则,
所以在单调递增,且偶函数,
则,,
由在单调递增,则,
16.B
17.C
18.D【解析】由题得,令得;
令得,故知函数在区间上为减函数,在区间为增函数,在处有极小值;
又,,得到零点情况.
19.B
20.A
【解析】由题知,即.
令,,
即.
解,
所以在上单调递增,上单调递减,
又时,恒成立,故图象如下:
又过定点,
要保证与有两个交点,
则只需即可.
21.C
22.D
23.D
24.B【解析】,因为函数在区间上单调递减,所以在上恒成立,所以解得.
25.B
26.D【解析】由已知,
所以在,是减函数,
所以;
故②④正确.
27.A【解析】,,,,
故,.
28.D
29.C
30.B
【解析】,则.所以单调递增.又因为是奇函数且.所以使得成立的的取值范围是.
31.A
32.D【解析】由,得,令,,所以.令,得.当时,;
当时,,所以在时有最小值,从而当时,,则在上是增函数,所以无极大值也无极小值.
33.D
34.A【解析】当,有.代入得.
35.A
【解析】由题意可构造函数,则.
因为,所以时,;
时,,而,
故在上单调递减;
在上单调递增.
所以,故当时,恒成立,
所以当时,恒成立.
当时,由,知,综上在上恒成立.
36.A
37.C【解析】,所以命题为真命题;
,
所以在,上为增函数,在上为减函数.
又,,
所以当时,,即命题为假命题.
所以为真命题.
38.C【解析】由的图象可知,当时,导函数,原函数单调递增.
因为两正数,满足,所以.
所以画出可行域如下图所示:
表示点与点所成直线的斜率.
当点在时,最小,最小值为;
当点在时,最大,最大值为.
39.B【解析】由,
得,
令,且,
则,即(),
由,得,
函数在上单调递增,在上单调递减,
且时,,的大致图象如图所示,
由题意知方程()有一根必在内,另一根或或.
当时,方程()无意义,
当时,,不满足题意,
令,由二次函数的图象,
有解得.
40.B
【解析】当时,不等式显然成立;
当时,不等式恒成立时,恒成立.
设,,则等价于.
利用导数法可知函数在区间单调递增,
同理,当时,不等式恒成立时,恒成立.
利用导数法可知函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
综上知,.
第二部分
41.
【解析】依题意,的单调区间为,
由,可得,
由在处取得极小值,可得,故.
所以的极大值为.
42.
43.,
44.,,,,,
45.,
46.
47.
48.
【解析】令,则.比较处的函数值,得.
49.②③
50.
(1)
(2)
【解析】
(1)由的图象可知,
所以为的极小值,.
(2)的图象如图所示:
若函数有个零点,则的取值范围为.
51.
【解析】提示:
设,求导得是函数的极大值,是极小值,满足函数与函数有三个交点,则有解得.
52.
【解析】由题意,,根据的图象的极大值点、极小值点均大于零,可得,,
又,则,当且仅当时取等号,
所以切线斜率的最小值为.
53.
54.
55.
【解析】由题意,对任意的,,不等式恒成立,等价于对任意的,恒成立,所以只需要求的最大值和最小值即可.
当时,对于和,均大于等于,所以在为增函数.
所以,.
所以令
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