第09讲 不等式组及其应用跟踪训练解析Word文档格式.docx
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故选:
D.
【一领三通1-1】
(2019山东淄博中考模拟)若x>y,则下列式子中错误的是( D )
A.x-3>y-3B.3x>3yC.x+3>y+3D.-3x>-3y
【解答】A是在不等式x>y的两边都减去3,是正确的
B是在不等式x>y的两边都乘以3,是正确的
C是在不等式x>y的两边都加上3,是正确的
D是在不等式x>y的两边都乘以-3,是错误的
【一领三通1-2】
(2019辽宁葫芦岛中考模拟)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P、Q、R、S,如图3所示,则他们的体重大小关系是()
A
B
C
D
【解答】跷跷板不平衡时是不等量关系,要注意较低的那边重些,解决此类问题常通过不等式(组)来转换,由图知S>
P,P>
R,P+R>
Q+S,所以
S>
P>
R>
S
选D
【一领三通1-3】
(2019•广东佛山中考模拟)现有不等式的性质:
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式),乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变,乘的数(或整式)为负时不等式的方向改变.
请解决以下两个问题:
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0);
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0).
【解答】
(1)a>0时,a+a>a+0,即2a>a,
a<0时,a+a<a+0,即2a<a;
(2)a>0时,2>1,得2•a>1•a,即2a>a;
a<0时,2>1,得2•a<1•a,即2a<a.
【考点2一元一次不等式及其解法】
【解题技巧】
(1)已知一元一次不等式(组)的解集,确定其中字母的取值范围的方法是:
①逆用不等式(组)的解集确定;
②分类讨论确定;
③从反面求解确定;
④借助于数轴确定.
(2)根据不等式的性质解一元一次不等式,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:
①去分母;
②去括号;
③移项;
④合并同类项;
⑤化系数为1.
以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他都不会改变不等号方向.
注意:
符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义,它们是不等号与等号合写形式.
【例2】
(2019辽宁大连中考)不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【分析】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
5x+1≥3x﹣1,
移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1,
合并同类项得2x≥﹣2,
系数化为1得,x≥﹣1,
在数轴上表示为:
B.
【一领三通2-1】
(2019•呼和浩特)若不等式
﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x﹣1)+5>5x+2(m+x)成立,则m的取值范围是( )
A.m>﹣
B.m<﹣
C.m<﹣
D.m>﹣
【答案】C.
【分析】求出不等式
﹣1≤2﹣x的解,求出不等式3(x﹣1)+5>5x+2(m+x)的解集,得出关于m的不等式,求出m即可.
解不等式
﹣1≤2﹣x得:
x≤
,
∵不等式
﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x﹣1)+5>5x+2(m+x)成立,
∴x<
∴
解得:
m<﹣
【一领三通2-2】
(2019•长春)不等式﹣x+2≥0的解集为( )
A.x≥﹣2B.x≤﹣2C.x≥2D.x≤2
【分析】直接进行移项,系数化为1,即可得出x的取值.
移项得:
﹣x≥﹣2
系数化为1得:
x≤2.
【一领三通2-3】
(2019吉林中考)不等式3x﹣2>1的解集是 .
【答案】x>1.
【分析】利用不等式的基本性质,将两边不等式同时加上2再除以3,不等号的方向不变.
∵3x﹣2>1,
∴3x>3,
∴x>1,
∴原不等式的解集为:
x>1.
故答案为x>1.
【一领三通2-4】
(2019河北保定中考模拟)定义新运算:
对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:
2⊕5=2×
(2-5)+1=2×
(-3)+1=-6+1=-5.若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出来.
【分析】利用不等式的基本性质,按照解不等式的步骤给以变形.
【解答】由3⊕x小于13,得3(3-x)+1<
13,
去括号,得9-3x+1<13,
移项合并,得-3x<3,解得x>
-1.
在数轴上表示如图.
【一领三通2-5】
(2019江苏南京中考)已知一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)和y2=x﹣3.
(1)当k=﹣2时,若y1>y2,求x的取值范围.
(2)当x<1时,y1>y2.结合图象,直接写出k的取值范围.
【分析】
(1)解不等式﹣2x+2>x﹣3即可;
(2)先计算出x=1对应的y2的函数值,然后根据x<1时,一次函数y1=kx+2(k为常数,k≠0)的图象在直线y2=x﹣3的上方确定k的范围.
(1)k=﹣2时,y1=﹣2x+2,
根据题意得﹣2x+2>x﹣3,
解得x<
(2)当x=1时,y=x﹣3=﹣2,把(1,﹣2)代入y1=kx+2得k+2=﹣2,解得k=﹣4,
当﹣4≤k<0时,y1>y2;
当0<k≤1时,y1>y2.
【考点3一元一次不等式组及其解法】
【解题技巧】解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.方法与步骤:
①求不等式组中每个不等式的解集;
②利用数轴求公共部分.
解集的规律:
同大取大;
同小取小;
大小小大中间找;
大大小小找不到.
【例3】
(2019山西中考)不等式组
的解集是( )
A.x>4B.x>﹣1C.﹣1<x<4D.x<﹣1
【答案】A.
【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出其公共解集.
由①得:
x>4,
由②得:
x>﹣1,
不等式组的解集为:
【一领三通3-1】
(2019甘肃中考)不等式组
的最小整数解是 .
【答案】0.
【分析】求出不等式组的解集,确定出最小整数解即可.
不等式组整理得:
∴不等式组的解集为﹣1<x≤2,
则最小的整数解为0,
故答案为:
【一领三通3-2】
(2019河南中考)不等式组
的解集是 .
【答案】x≤﹣2.
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
≤﹣1,得:
x≤﹣2,
解不等式﹣x+7>4,得:
x<3,
则不等式组的解集为x≤﹣2,
x≤﹣2.
【一领三通3-3】
(2019湖北黄石中考)若点P的坐标为(
,2x﹣9),其中x满足不等式组
,求点P所在的象限.
【分析】先求出不等式组的解集,进而求得P点的坐标,即可求得点P所在的象限.
解①得:
x≥4,
解②得:
x≤4,
则不等式组的解是:
x=4,
∵
=1,2x﹣9=﹣1,
∴点P的坐标为(1,﹣1),
∴点P在的第四象限.
【一领三通3-4】
(2019天津中考)解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
(Ⅰ)解不等式①,得x≥﹣2;
(Ⅱ)解不等式②,得x≤1;
(Ⅳ)原不等式组的解集为﹣2≤x≤1.
x≥﹣2,x≤1,﹣2≤x≤1.
【一领三通3-5】
(2019浙江温州中考)不等式组
的解为 .
【分析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
由①得,x>1,
由②得,x≤9,
故此不等式组的解集为:
1<x≤9.
【考点4一元一次不等式(组)的应用】
(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解.
【例4】
(2019•哈尔滨)寒梅中学为了丰富学生的课余生活,计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用.若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元;
若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元;
(1)求每副围棋和每副中国象棋各多少元;
(2)寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副,总费用不超过550元,那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋?
(1)设每副围棋x元,每副中国象棋y元,根据题意得:
,求解即可;
(2)设购买围棋z副,则购买象棋(40﹣z)副,根据题意得:
16z+10(40﹣z)≤550,即可求解;
(1)设每副围棋x元,每副中国象棋y元,
根据题意得:
∴每副围棋16元,每副中国象棋10元;
(2)设购买围棋z副,则购买象棋(40﹣z)副,
16z+10(40﹣z)≤550,
∴z≤25,
∴最多可以购买25副围棋;
【一领三通4-1】
(2019•台湾)阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼,如图为蛋糕的价目表.已知阿慧购买10盒蛋糕,花费的金额不超过2500元.若他将蛋糕分给75位同事,每人至少能拿到一个蛋糕,则阿慧花多少元购买蛋糕?
( )
A.2150B.2250C.2300D.2450
【分析】可设阿慧购买x盒桂圆蛋糕,则购买(10﹣x)盒金爽蛋糕,根据不等关系:
①购买10盒蛋糕,花费的金额不超过2500元;
②蛋糕的个数大于等于75个,列出不等式组求解即可.
设阿慧购买x盒桂圆蛋糕,则购买(10﹣x)盒金爽蛋糕,依题意有
解得2
≤x≤3
∵x是整数,
∴x=3,
350×
3+200×
(10﹣3)
=1050+1400
=2450(元).
答:
阿慧花2450元购买蛋糕.
【一领三通4-2】
(2015.河北中考)水平放置的容器内原有210mm高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4mm,每放入一个小球水面就上升3mm,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为ymm.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式;
(不必写出x大的范围)
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.
①求y与x小的函数关系式;
(不必写出x小的范围)
②限定水面高不超过260mm,最多能放入几个小球?
【分析】水面高度与球的个数是一次函数关系
(1)y=4x大+210;
(2)①当x大=6时,y=4×
6+210=234,
∴y=3x小+234;
②依题意,得3x小+234≤260,
解得x小≤8
∵x小为自然数,∴x小最大为8,
即最多能放入8个小球.
【一领三通4-3】
(2019湖北孝感中考)为加快“智慧校园”建设,某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机.经过市场调查发现,今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.
(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元?
(2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套,考虑物价因素,预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%,每套B型一体机的价格不变,若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用,那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?
(1)直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机,分别得出方程求出答案;
(2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案.
(1)设今年每套A型一体机价格为x万元,每套B型一体机的价格为y万元,
由题意可得:
今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元;
(2)设该市明年购买A型一体机m套,则购买B型一体机(1100﹣m)套,
1.8(1100﹣m)≥1.2(1+25%)m,
m≤600,
设明年需投入W万元,
W=1.2×
(1+25%)m+1.8(1100﹣m)
=﹣0.3m+1980,
∵﹣0.3<0,
∴W随m的增大而减小,
∵m≤600,
∴当m=600时,W有最小值﹣0.3×
600+1980=1800,
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.
【一领三通4-4】
(2019福建中考)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;
将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.
(1)求该车间的日废水处理量m;
(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
(1)求出该车间处理35吨废水所需费用,将其与350比较后可得出m<35,根据废水处理费用=该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设一天产生工业废水x吨,分0<x≤20及x>20两种情况考虑,利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,可得出关于x的一元一次不等式,解之即可得出结论.
(1)∵35×
8+30=310(元),310<350,
∴m<35.
依题意,得:
30+8m+12(35﹣m)=370,
m=20.
该车间的日废水处理量为20吨.
(2)设一天产生工业废水x吨,
当0<x≤20时,8x+30≤10x,
15≤x≤20;
当x>20时,12(x﹣20)+8×
20+30≤10x,
20<x≤25.
综上所述,该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20.
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