中考数学专题复习八几何证明题.docx
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中考数学专题复习八几何证明题
专题八:
几何证明题
【问题解析】
几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力,几何证明题和计算题在中考中占有重要地位.根据新的课程标准,对几何证明题证明的方法技巧上要降低,繁琐性、难度方面要降低.但是注重考查学生的基础把握推理能力,所以几何证明题是目前常考的题型.
【热点探究】
类型一:
关于三角形的综合证明题
【例题1】(2016·四川南充)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.
(1)求证:
BD=CE;
(2)求证:
∠M=∠N.
【分析】
(1)由SAS证明△ABD≌△ACE,得出对应边相等即可
(2)证出∠BAN=∠CAM,由全等三角形的性质得出∠B=∠C,由AAS证明△ACM≌△ABN,得出对应角相等即可.
【解答】
(1)证明:
在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE;
(2)证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM,
由
(1)得:
△ABD≌△ACE,
∴∠B=∠C,
在△ACM和△ABN中,,
∴△ACM≌△ABN(ASA),
∴∠M=∠N.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.
【同步练】
(2016·山东省菏泽市·3分)如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:
AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:
AE=2CM+BN.
类型二:
关于四边形的综合证明题
【例题2】(2016·山东省滨州市·10分)如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;
(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.
【考点】平行四边形的判定与性质;角平分线的性质.
【分析】
(1)结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可.
(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HC最小,在RT△EMC中,求出EM、MC即可解决问题.
【解答】解:
(1)四边形EBGD是菱形.
理由:
∵EG垂直平分BD,
∴EB=ED,GB=GD,
∴∠EBD=∠EDB,
∵∠EBD=∠DBC,
∴∠EDF=∠GBF,
在△EFD和△GFB中,
,
∴△EFD≌△GFB,
∴ED=BG,
∴BE=ED=DG=GB,
∴四边形EBGD是菱形.
(2)作EM⊥BC于M,DN⊥BC于N,连接EC交BD于点H,此时HG+HC最小,
在RT△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=2,
∴EM=BE=,
∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,
∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2,
在RT△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,
∴∠NDC=∠NCD=45°,
∴DN=NC=,
∴MC=3,
在RT△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=.MC=3,
∴EC===10.
∵HG+HC=EH+HC=EC,
∴HG+HC的最小值为10.
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是利用对称找到点H的位置,属于中考常考题型.
【同步练】
(2016·山东省济宁市·3分)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,∠ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO.
(1)已知BD=,求正方形ABCD的边长;
(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.
类型三:
关于圆的综合证明题
【例题3】(2016·山东潍坊)正方形ABCD内接于⊙O,如图所示,在劣弧上取一点E,连接DE、BE,过点D作DF∥BE交⊙O于点F,连接BF、AF,且AF与DE相交于点G,求证:
(1)四边形EBFD是矩形;
(2)DG=BE.
【考点】正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.
【分析】
(1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,∠EDF=90°,进而得出答案;
(2)直接利用正方形的性质的度数是90°,进而得出BE=DF,则BE=DG.
【解答】证明:
(1)∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠BED=∠BAD=90°,∠BFD=∠BCD=90°,
又∵DF∥BE,
∴∠EDF+∠BED=180°,
∴∠EDF=90°,
∴四边形EBFD是矩形;
(2))∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴的度数是90°,
∴∠AFD=45°,
又∵∠GDF=90°,
∴∠DGF=∠DFC=45°,
∴DG=DF,
又∵在矩形EBFD中,BE=D
【同步练】
(枣庄市2015中考-24)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
BC2=CD•2OE;
(3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长.
类型四:
关于相似三角形的证明问题
【例题4】(2016·黑龙江齐齐哈尔·8分)如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ACD∽△BFD;
(2)当tan∠ABD=1,AC=3时,求BF的长.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,推出∠DBF=∠DAC,由此即可证明.
(2)先证明AD=BD,由△ACD∽△BFD,得==1,即可解决问题.
【解答】
(1)证明:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°,
∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠DBF=∠DAC,
∴△ACD∽△BFD.
(2)∵tan∠ABD=1,∠ADB=90°
∴=1,
∴AD=BD,
∵△ACD∽△BFD,
∴==1,
∴BF=AC=3.
【同步练】
(2016·湖北武汉·10分)在△ABC中,P为边AB上一点.
(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:
AC2=AP·AB;
(2)若M为CP的中点,AC=2,
①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;
②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.
【达标检测】
1.(2016·黑龙江哈尔滨·8分)已知:
如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:
AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长.
2.(2016·四川内江)(9分)如图6所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:
D是BC的中点;
(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
3.(烟台市2015中考-23)如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D、E,且=.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求sin∠ABD的值.
4.(2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟,第22题7分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若∠ADB是直角,则四边形BEDF是什么四边形?
证明你的结论.
5.(烟台市2014中考-24)如图,AB是⊙O的直径,延长AB至P,使BP=OB,BD垂直于弦BC,垂足为点B,点D在PC上.设∠PCB=α,∠POC=β.
求证:
tanα•tan=.
6.(2015•梧州,第25题12分)如图,在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A、D重合,BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点,垂足为Q,过E作EH⊥AB于H.
(1)求证:
HF=AP;
(2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.
7.(2015•北海,第25题12分)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C.
(1)求证:
PE是⊙O的切线;
(2)求证:
ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.
【参考答案】
类型一:
关于三角形的综合证明题
【同步练】
(2016·山东省菏泽市·3分)如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证:
AD=BE;
②求∠AEB的度数.
(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:
AE=2CM+BN.
【考点】等腰三角形的性质.
【分析】
(1)①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE,再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE,由此即可得出结论AD=BE;
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;
(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数,即可得出底角的度数,利用
(1)的结论,通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度,二者相加即可证出结论.
【解答】
(1)①证明:
∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC.
在△ACD和△BCE中,有,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
②解:
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.
(2)证明:
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,
∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°.
∵CM⊥DE,
∴∠CMD=90°,DM=EM.
在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,
∴DE=2DM=2×=2CM.
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,
∴∠BEN=180°﹣120°=60°.
在Rt△BNE中,∠B
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