八年级下期数学培优思维训练特殊平行四边形Word格式.docx
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AE及AF三等分∠BAC.
3.如图,E,F,分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点,M为BC的延长线上一点,CH平分∠DCM交AD延长线于H,FG⊥AF交CH于G.求证:
(1)ΔABF≌ΔDAE,AF⊥DE;
(2)ΔAEF≌ΔFCG;
(3)四边形EFGD是平行四边形.
4.如图,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、△ACE、△BCF.
(1)求证:
四边形DAEF是平行四边形;
(2)探究下列问题:
(只填满足的条件,不需证明)
①当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是矩形;
②当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是菱形;
③当△ABC满足_________________________条件时,四边形DAEF是正方形;
④当△ABC满足_________________________条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
5.如图,E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且EF∥AC,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H.求证:
AH=AD.
6.若以直角三角形ABC的边AB为边,在△ABC的外部作正方形ABDE,AF是BC边的高,延长FA至点G使AG=BC.求证:
BG=CD.
7.如图1,正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN⊥DM,交∠CBE的平分线于点N.
(1)DM与MN相等吗?
试说明理由.
(2)若将条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”,其它条件不变,如图2,则DM与MN相等吗?
为什么?
8.如图,菱形ABCD的边长是2,BD=2,E、F分别是边AD,CD上的两个动点,且AE+CF=2.
△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.
9.正方形ABCD中,∠MAN=45°
,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(图1),易证BM+DN=MN.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?
写出猜想,并加以证明;
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想;
(3)运用在
(1)解答中所积累的经验,完成下题:
如图4,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°
,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°
,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.
10.正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;
(2)当点P在线段DB上
(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究
(1)中的结论是否成立?
若成立,写出证明过程;
若不成立,请说明理由;
(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断
(1)中的结论是否成立?
若成立,直接写出结论;
若不成立,请写出相应的结论.
11.如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连接PD,O为AC中点.
(1)如图1,当点P在线段AO上时,猜想PE与PD的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)如图2,当点P在线段OC上时,
(1)中的猜想还成立吗?
请说明理由;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,请在图3中画出相应的图形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并判断
(1)中的猜想是否成立?
若成立,请直接写出结论;
若不成立,请说明理由.
12.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM.
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
时,求正方形的边长.
13.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接这四个点,得四边形EFGH.
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,我们发现四边形EFGH是正方形;
如图2,当四边形ABCD为矩形时,请判断:
四边形EFGH的形状(不要求证明);
(2)如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时,设∠ADC=α(0°
<α<90°
),
①试用含α的代数式表示∠HAE;
②求证:
HE=HG;
③四边形EFGH是什么四边形?
并说明理由.
(四)思维训练:
1.在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD=BD,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F.求证:
DE=DF.
2.如图,矩形ABCD,延长CB到点E,使CE=CA,点F是AE的中点.求证:
BF⊥DF.
3.如图,在△AEC中,以∠AEC为锐角,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AH的中点是M.求证:
△FMH是等腰直角三角形.
4.
(1)如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求∠EAF的度数.
(2)如图②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°
,AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点,且∠MAN=45°
,将△ABM绕点A逆时针旋转90°
至△ADH位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若EG=4,GF=6,BM=3
,求AG,MN的长.
5.在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°
.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为_________;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为_________;
位置关系为_________.
6.正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证:
DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断
(1)中的结论①、②是否分别成立?
若不成立,写出相应的结论.(所写结论均不必证明)
7.已知正方形ABCD.
(1)如图1,E是AD上一点,过BE上一点O作BE的垂线,交AB于点G,交CD于点H,求证:
BE=GH;
(2)如图2,过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线,分别交AD,BC于点E,F,交AB,CD于点G,H,EF与GH相等吗?
请写出你的结论;
(3)当点O在正方形ABCD的边上或外部时,过点O作两条互相垂直的直线,被正方形相对的两边(或它们的延长线)截得的两条线段还相等吗?
其中一种情形如图3所示,过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m,n,m与AD,BC的延长线分别交于点E,F,n与AB,DC的延长线分别交于点G,H,试就该图形对你的结论加以证明.
8.操作示例:
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH,按图1所示的方式摆放,在沿虚线BD,EG剪开后,可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED.
从拼接的过程容易得到结论:
①四边形BNED是正方形;
②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.
实践与探究:
(1)对于边长分别为a,b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH,按图2所示的方式摆放,连接DE,过点D作DM⊥DE,交AB于点M,过点M作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N;
①证明四边形MNED是正方形,并用含a,b的代数式表示正方形MNED的面积;
②在图2中,将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后,能够拼接为正方形MNED,请简略说明你的拼接方法(类比图1,用数字表示对应的图形);
(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接成为一个正方形?
请简要说明你的理由.
9.如图,操作:
把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),取线段AE的中点M.
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明.
说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程后,可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.
注意:
选取①完成证明得10分;
选取②完成证明得7分;
选取③完成证明得5分.
①DM的延长线交CE于点N,且AD=NE;
②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°
(如图),其他条件不变;
③在②的条件下,且CF=2AD.
附加题:
将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图),其他条件不变.探究:
10.操作:
将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:
设A、P两点间的距离为x.
(1)点Q在CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?
试证明你观察得到的结论(如图1);
(2)点Q边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域(如图2);
(3)点P在线段AC上滑动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?
如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;
如果不可能,试说明理由(如图3).(图4、图5、图6的形状、大小相同,图4供操作、实验用,图5和图6备用).
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