高二数学选修21空间向量与立体几何单元测试题Word格式文档下载.docx
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二、填空题(本大题共
6小题,每空5分,共30分)
9、已知F1
i2j
3k
,F2
2i3j
k,F3
3i4j
5k,若F1,F2,F3
共同作
用于一物体上,使物体从点
M(1,-2,1)移动到N(3,1,2),则合力所
作的功是
.
10、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知∠BAD=∠A1AB=∠
A1AD=60,AD=4,AB=3,AA1=5,AC1=
11、△ABC和△DBC所在的平面互相垂直
且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则AD
与平面BCD所成角的余弦值为
12、若直线
l的方向向量为
(4,2,m),平面的法向量为(2,1,-1),且l⊥,则m
=
13、已知A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段AB的中点M的坐标为
三、解答题(本大题共
6小题,共80分)
14、(本题满分12
分)设空间两个不同的单位向量a
x1,y1,0
b
x2,y2,0与
向量c
1,1,1
的夹角都等于45.
(1)求x1
y1和x1y1的值;
(2)求a,b
的大小.
15、(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PC上的点且CE:
CP=1:
4,则在线段AB上是否存在点F使EF//平面PAD?
第2页共15页
17、(本题满分14分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得PSPD.
(1)求a的最大值;
(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;
(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n及点P到平面SCD的距离.
18、(本题满分14分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,
AB2,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证:
AM//平面BDE;
(2)求证:
AM⊥平面BDF.
第3页共15页
19、(本题满分14分)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:
①a3;
②a1;
③a3;
④a2;
⑤a4;
(1)当在BC边上存在点
⊥
QD时,a可能取所给数据中的哪些值?
请说明理由;
Q,使PQ
(2)在满足
(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时
求直线PQ与平面ADP所成角的正切
值;
(3)记满足
(1)的条件下的
Q点为Qn(n=1,2,3,⋯),若a取所给数据的最小值时
这样的点
Qn有几个?
试求二面角
Qn-PA-Qn+1的大小;
20、(本题满分14分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60,PA=AC=a,
PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.
(1)证明:
PA⊥平面ABCD;
(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;
(3)棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?
证明你的结论.
第4页共15页
参考答案:
一、选择题
题号
1
4
5
6
7
答案
D
C
B
二、填空题
9
10
11
12
13
14
97
30
-2
2,3
三、解答题
x12
y12
x
y
;
15、解:
(1)依题意,
x1
y1
(2)∵单位向量a
x1,y1,0,b
x2,y2,0
与向量c
1,1,1的夹角都等
于45.
或
∴由
∴a
2,
2,0,b
2,0
x1x2
y1y2
26
21
由cosa,b
a
b
∴a,b
16、解:
建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=b,
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),
则CPa,a,b,
∵E为PC上的点且CE:
CP=1:
3,
第5页共15页
∴CE
CP
a,a,b
a,
a,b
∴由CE
AE
AC
AECE
3a,3a,b
设点F的坐标为(x,0,0,)(0≤x≤a),
则EFx
3a,
又平面PAD的一个法向量为AB
a,0,0
依题意,EF
AB
3a
0x
∴在线段AB上存在点F,满足条件,点F在线段AB的处.
17、解:
建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0).(0<
x<
2)
(1)∵PS
a,x,1,PD
a,2
x,0
∴由PS
PD得:
a2
x(2x)
即:
a2x(2x)(0x2)
∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;
(2)由
(1)知:
AP(1,1,0),SD(0,2,1),
APSD
∴cosAP,SD
25
∴异面直线AP与SD所成角的大小为arccos
10.
(3)设
n1
x,y,z是平面
SCD
的
一
个法向量,∵
DC(1,0,0),SD
(0,2,
1),
第6页共15页
∴由n1
DC
2y
z0
1得n1(0,1,2),
SD
取y
z
∴平面SCD的一个单位法向量n
0,1,2
又CP
CPn5
(0,1,0),在n方向上的投影为
n
∴点P到平面SCD的距离为
5.
18、解:
建立如图的直角坐标系,则各点的坐标分别为:
O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),
E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).
(1)∵AM(0,1,1),OE(0,1,1)
∴AMOE,即AM//OE,
又∵AM平面BDE,OE平面BDE,
∴AM//平面BDE;
(2)∵BD
(2,0,0),DF
(
1,1,1),
∴AM
BD0,AM
DF
0,
∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.
19、解:
A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)
(1)∵PQ
a,x,
2,QD
a,
x,0,
∴由PQ⊥QD得
PQ
QD
a2
x(2
x)
∵x
0,2,a2
0,1
(0,
),
5,
第7页共15页
∴在所给数据中,a可取
1两个值.
和a
(2)
由
(1)知a
1,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为(1,1,0)
从而PQ
1,1,
又AB1,0,0
为平面ADP的一个法向量,
∴cosPQ,AB
PQAB
∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为
(3)
由
(1)知a
或x
此时x
,即满足条件的点Q有两个,
其坐标为
Q1
0和Q2
0
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ
1,PAAQ2,
∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.
AQ1AQ2
由cosAQ1,AQ2
AQ1
AQ2
得∠Q1AQ2=30,
∴二面角Q1
2的大小为30.
-PA-Q
20、解:
(1)∵PA=AC=a,PB=PD=2a
∴PA2AB2PB2,PA2AD2PD2,
∴PA⊥AB且PA⊥AD,
∴PA⊥平面ABCD,
(2)∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD,设AC∩BD=O,
∴以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A0,a,0,B
3a,0,0,C
0,a,0
D
3a,0,0
P0,
a,a,
∵点E在PD上,且PE:
ED=2:
1.
∴DP
3DE,即:
DP
3OE
OD
第8页共15页
∴OE
3a,
a,a
,即点E的坐标为E
又平面DAC的一个法向量为n1
0,0,1
EAC
个法向量为n2
x,y,z,
OC
设平面
,
OE
ay0
n2
由
,得
ax
取x=1
n21,0,3,
n2
∴cosn1,n2
12
∴由图可知二面角E-AC-D的大小为.
(3)设在CP上存在点F,满足题设条件,
由CF
(0
1),得OFOC
CP0,1
a,a
∴BF
0,1
3a,1
依题意,则有BFn2
∴
2a,a1,0,30
3a
3a0
∴点F为PC中点时,满足题设条件.
第9页共15页
一.选择题:
(10小题共40分)
1.已知A、B、C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、
C一
定共面的是
()
A.OM
OA
OB
B.OM
2OA
C.OM
1OB
1OC
D.OM
1OA
2.直三棱柱ABC—A1B1C1
中,若CAa,CB
b,CC1
C,则A1B
A.abcB.
abc
C.abc
D.abc
3.若
向
量
m垂直向量a和b,向量na
b(,
R且
、
0)则
A.m//nB.mnC.m不平行于n,m也不垂直于nD.以上三种情况都
可能
4.以下四个命题中,正确的是
A.若OP1OA1OB,则P、A、B三点共线
23
B.设向量{a,b,c}是空间一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底
C.(ab)cabc
D.△ABC是直角三角形的充要条件是ABAC0
5.对空间任意两个向量a,b(bo),a//b的充要条件是
第10页共15页
A.a
B.a
C.b
D.a
6.
已知向量a
(0,2,1),b
2),则a与b的夹角为
A.0°
B.45
°
C.90°
D.180°
7.
在平行六面体ABCDA1B1C1D1
中,M为AC与BD的交点,若
A1B1a,A1D1
b,A1Ac,
则
下
列
中
与
B1M
相
等
是
A.
1a
1b
1cB.
1cC.
1bcD.-
1bc
8.
已
知
1,0,2
),b
(6,2
1,2),若a//b,则与的
值
分
B.5,2
C.
1,
D.-5,-2
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