初三几何旋转半角及三线共点问题教师Word格式文档下载.docx
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如图所示,在正方形
中,
3
,点
分别在
上,且
∠BAE
30︒
15︒
,求
∆AEF
的面积.
BEC
【答案】如图所示,将
∆ADF
绕点
顺时针旋转
90︒
,得到
∆ABG
,则
共线.
而
∠GAE
15︒+
,且
∠FAE
90︒-
15︒-
故
∆GAE
≌
∆FAE
.
由此可得
EG
∠AEF
∠AEG
60︒
∠EFC
在
Rt
∆ABE
,故
BE
1
CE
-
.在
∆EFC
30o
2(
1)
S
∆AEF
∆AEG
1
⨯
1)⨯
2
GBEC
【巩固】如图,正方形
的边长为
1,
AD
上各存一点
P
Q
,若
∆APQ
的周长为
2,求
∠PCQ
的度数.
DC
Q
【答案】把
∆CDQ
到
∆CBF
的位置,
CQ
CF
.∵
AQ
+
AP
QP
,DC
又
QD
PB
,∴
QD+BP=
DQ=
BF
PQ
PF
∴
∆QCP
∆FCP
.∴
∠QCP
∠FCP
又∵
∠QCF
∠PCQ
【巩固】如图:
正方形
6cm,E
是
的中点,点
上,且∠ECP=45°
.则
PE
的
长是________cm.△PEC
的面积是__________
cm2.
(11
年怀柔二模)
AED
P
【答案】
(1)5
(2)15
【例3】
如图所示,在等腰直角
∆ABC
的斜边
上取两点
M
、N
∠MCN
,记
m,MN
x
BN
n
,求证:
以
m
为边长的三角形的形状是直角三角形.
【答案】解法1:
如图所示,将
∆CBN
得到
∆CAD
.连接
MD
CN
N
n
Am
Mx
∠ACD
∠BCN
∠MCD
∠ACM
+∠
ACD
BCN
从而
∆MDC
∆MNC
则
MN
.而
∠DAM
故在直角三角形
∆AMD
中有
m2
n2
x2
解法
2:
我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答.
如图所示,以
CM
为对称轴将
∆CMA
翻折到
∆CMP
的位置.
∆CPN
和
关于
对称,且
∆PMN
为直角三角形,
并且可得
PM
AM
PN
NB
M
【巩固】请阅读下列材料:
已知:
如图
Rt∆ABC
∠BAC
AC
D
分别为线段
上两动点,若
∠DAE
.探究线段
BD
DE
EC
三条线段之间的数量关系.
小明的思路是:
把
∆AEC
∆ABE'
E'
使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:
(1)猜想
三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;
(2)当动点
在线段
上,动点
运动在线段
延长线上时,如图
2,其它条件不变,⑴中
探究的结论是否发生改变?
请说明你的猜想并给予证明.
AA
BD
图1
图2
(1)
BD2
证明:
根据
BE'
AE'
AE
∠C
∠ABE'
∠EAC
∠E'
AB
中
∵
∠ABC
∠ACB
45︒
ABE'
90︒
即
B2
D2
∠BAD
EAC
BAD
∆AED
∆AED
DE'
(2)关系式
仍然成立
将
∆ADB
沿直线
对折,得
∆AFD
,连
FE
∆AFD≌
∆ABD
FD
DB
∠FAD
∠AFD
∠ABD
AC
DAE
(∠DAE
∠DAB
)
∠DAB
∠EAC
AE
∆AFE
∆ACE
FE
∠AFE
∠ACE
∠ABD
180︒-∠
ABC
135︒
∠DFE
-∠
AFE
135︒-
∴在
Rt∆DFE
【例4】
1,Rt
≌Rt
∆EDF
∠F
90
∠A
∠E
30
.
绕着边
的中点
旋
转,DE,DF
分别交线段
于点
M,K.
(1)观察:
①如图
2、图
3,当
∠CDF
0
或
60
时,AM
CK
______
MK(填“>”,
<”或“=”).
②如图
4,当∠CDF=
时,
MK
(只填“>”或“<”).
(2)猜想:
1,当
<∠CDF<
,证明你所得到的结论.
(3)如果
,请直接写出
度数和
MK
AM
的值.
K
C(F,K)
AM
图
1图
EA(M)DBADB
3图
4
(1)①=②>
(2)>
作点
的对称点
G,连接
GK、GM、GD
GD=CD,GK=CK,∠GDK=∠CDK
∵D
的中点,∴AD=CD=GD
∵∠A=30°
,∴∠CDA=120°
∵∠EDF=60°
,∴∠GDM+∠GDK=60°
∠ADM+∠CDK=60°
∴∠ADM=∠GDM.
又DM
DM
∴∆
ADM
≅
∆GDM
∴GM
∵GM+GK>MK,∴AM+CK>MK.
(3)∠CDF=15°
=
AM2
【例5】
(1)如图,在四边形
∠D
E、F
分别是边
BC、CD
上的点,
(2)
如图在四边形
AD,∠B+
180︒
上的点,且
(3)
如图,在四边形
∠B
∠ADC
,CD
延长线
写出它们之间的数量关系,并证明.
【答案】
延长
EB
BG=
,联结
∠ABG
90︒,AB
AG=AF,
1=∠2
∠EAF
3
∆AEG
EG=EF
EG=
BE+BG
FD
(1)中的结论
仍然成立.
(3)结论
不成立,应当是
上截取
使
,连接
∠ADF
∠DAF,AG
EF
BG
【例6】
如图所示,
是边长为1
的正三角形,
∆BDC
是顶角为120︒
的等腰三角形,以
为顶点作一
个
的
∠MDN
上,求
∆AMN
的周长.
N
【答案】2.
【
巩
固
】
等
边
两
所
直
线
上
分
别
有
点
为
外
一
且
∠BDC
120︒
,探究:
当点
分别爱直线
,AC
上移动时,
BM
,BN
,MN
之间的数量关系及
的周长
与等边
L
的关系.
图①
图②
图③
(1)如图①,当点
在边
DN
,NC
之间的数量关系式
_________;
此时
__________
L
(2)如图②,当点
≠
时,猜想
(1)问的两个结论还成立吗?
写
出你的猜想并加以证明;
(3)如图③,当点M
分别在边
,CA
的延长线上时,若
AN
,则Q
_________(用
表示)
【答案】第三问提示:
利用旋转,即可得到两个阴影部分全等
NN
M/
【例7】
如图,正方形
中,AC
为对角线,将
绕顶点
逆时针旋转
α
(
<
45
),
旋转后角的两边分别交
、点
,交
EQ
(1)在
的旋转过程中,
∠AEQ
的大小是否改变,若不变写出它的度数,若改变,写出它
的变化范围(直接在答题卡上写出结果,不必证明);
(2)探究
与
的面积的数量关系,写出结论并加以证明.
年石景山一模)
(1)不变;
45°
;
(2)结论:
S△AEF=2
S△APQ
∠EQA
AQ
同理
AP
过点
作
PH
于
22
【例8】
如图
(1),两块等腰直角三角板
DEF
,∠ABC
∠DEF
在同一条直线
l
上,
将三角板
角(
)得到
∆A
'
.设
(1)如图⑵,当α
,且点
与点
重合时,连结
EB'
,将直线
,交
直线
A'
,请补全图形,并求证:
⑵如图⑶,当
0︒
不重合时,连结
DM
B'
ECFBl
F(C)
l
图⑴图⑵图⑶
【答案】⑴补全图形如右图⑴.
②
如图⑵,连结
AE,D
B'
A
∆DEF
是等腰直角三角形,
=
∠EFB
∴点
的中点.
EA
平分
∠MA
∠A'
∠MEB
∠MEA
∠B'
∴Rt
∆MA'
∽Rt
∆
图⑵
∴
=
=2
⑵如图(3),过点
交直线
EM
∠EB'
GE
∠CB'
CB'
GB'
∠CEB'
+
GM
∠DEM
∥
MA'
Gx
==.
DMDE2
图⑶
【例9】
1、2
是两个相似比为1
:
2
的等腰直角三角形,将两个三角形如图
放置,小直角三角形
的斜
边与大直角三角形的一直角边重合。
⑴
在图
中,绕点
旋转小直角三角形,使两直角边分别与
AC、BC
交于点
E,
,如图
4。
求证:
⑵
若在图
旋转小直角三角形,使它的斜边和CD
延长线分别与
5,此时结论
是否仍然成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,
请说明理由。
CC
1DA
5
⑶
如图,在正方形
上的点,满足
∆CEF
的周长等于正方
形
的周长的一半,
AE、AF
分别与对角线
交于
M、N
,试问线段
、
、DN
能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;
若不能,
(2010
安徽蚌埠)
(1)连
4,∵两个等腰直角三角形的相似比为1:
而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边,
的中点,又∵
AD,∠4
∠1
∠2
∠3
∴∠3
CDF≌
ADE,
AE,
理可得
CED≌
BFD
,∴CE
2,
(2)结论
仍然成立.理由如下:
CFB
CGA
∴CF
CG,AG
BF,∠4
∠1,∠B
∠GAC
∴∠
GAE
90︒,
45︒,
∠
4
﹣45︒
∴∠1
CGE≌
CFE,
在,Rt
AGE
2;
(3)线段
BM、MN、DN
能构成直角三角形的三边长.理由如下:
ADF
ABP
的对应点为
,如图
∠2,∠1
BP
DF,BQ
DN,AF
AP,
CEF
的周长等于正方形
的周长的一半,
DF,
EP,
AEF≌
AEP,
∠4,
AMQ≌
AMN,
QM,
∠ADN
∠QBA
45︒,∠ABD
QBN
BQ
QM
【例10】边长为
的正方形
的两顶点
、C
分别在正方形
EFGH
的两边
、DG
上(如图
1),现
将正方形
绕
点顺时针旋转,当
点第一次落在
上时停止旋转,旋转过程中,AB
边
交
边交
DG
(1)求边
DA
在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当
平行时(如图
2),求正方形
旋转的度数;
(3)如图
3,设
∆MBN
p
,在旋转正方形
的过程中,
值是否有变化?
请证
明你的结论.
(2014
年房山二模)
【答案】∵
上时停止旋转,∴
旋转了
0.
45π
22π
在旋转过程中所扫过的面积为=
3602
(2)∵
∠BMN
∠BNM
∠BCA
.∴
又
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- 初三 几何 旋转 半角 三线 问题 教师