微观经济学计算题.docx

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微观经济学计算题

微观经济学计算题

第二章需求、供给

计算题

2、假设X商品的需求曲线为直线，QX=40-0.5PX,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。

解:

当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY,

由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.

3、某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。

求

（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？

（2）货币的边际效用和总效用各多少？

（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？

解:

（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3

考虑到预算方程为2X+3Y=120

解得X=30，Y=20

（2）货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10

总效用TU=XY=600

（3）提价后PX=2.88新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3

由题意知XY=600，解得X=25，Y=24

将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元

ΔM=144-120=24元

因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。

3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性

证明：

dQ/dP=-aP-2,Ed=（dQ/dP）（P/Q）=（-aP-2）（P/aP-1）=-1,故|Ed|=1，为单一弹性。

4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.

解:

由题设,P1=32,P2=40,Q2=880

Q1=880/（1-12%）=880/88%=1000

于是,Ed=[（Q2-Q1）/（P2-P1）]×[（P1+P2）/（Q1+Q2）]≈-0.57

故需求弹性约为-0.57.

5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10％？

解：

因为（dQ/Q）·（P/dP）=-0.5要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5

dP=1.2×0.2=0.24所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元

6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？

解：

因为芯片弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-2所以dQ/Q=-2×2%=-4%

因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-1所以dQ/Q=-1×2%=-2%

即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。

7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：

u=xy,x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。

解：

Mux=yMuy=x因为Mux/Px=Muy/Py得X=y

又因为4X+4y=144得X=y=18

购买18单位x与18单位y，在x价格为9时需要的收入M=234

在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4且9x+4y=234

得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。

再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=yMuy=xY/x=9/4且9x+4y=144

得X=8y=18

由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。

8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。

（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；

（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？

（3）对X的恩格尔曲线形状如何？

对X的需求收入弹性是多少？

解：

（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY，

又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。

由于dX/dPX=-M/2PX2|EX|=-（dX/dPX）（PX/X）=1

（2）已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。

（3）因为X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX，

若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX=2PX。

对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=1

9、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：

R=100Q-2Q2，计算当边际收益为20时的点价格弹性。

解：

由R=100Q-2Q2，得MR=dR/Dq=100-4Q

当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q2，得P=100-2Q=60

Ed=（dQ/dP）·（P/Q）=（-1/2）·（60/20）=-3/2

10、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：

PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。

（1）求X和Y当前的价格弹性；

（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？

（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？

解：

（1）PX=1000-5QX=1000-5×100=500

PY=1000-5QY=1600-4×250=600

EdX=（dQX/dPX）·（PX/QX）=（-1/5）·（500/100）=-1

EdY=（dQY/dPY）·（PY/QY）=（-1/4）·（600/250）=-3/5

（2）由题设，QY’=300,QX’=75

则PY’=1600-4QY’=400ΔQX=-25,ΔQY=-200

于是EXY=（ΔQX/ΔPY）·[（PY+PY’）/2]·[2/（QX+QX’）]=5/7

（3）根据

（1）得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性,

这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.

第三章消费者行为理论

计算题

1、某人每周花360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:

U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大?

解:

max:

U=2X2Y

S.T360=3X+2Y

构造拉格朗日函数得:

W=2X2Y+λ（360-3X-2Y）

dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0

dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0

求得:

4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60

2、求最佳需求，maxU=X1+（X2-1）3/3

S.T4X1+4X2=8

（1）如果效用函数变为U=3X1+（X2-1）3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？

（2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4,则最佳需求会改变吗？

．解：

运用拉格朗日函数，L=X1+（X2-1）3/3+λ（8-4X1-4X2）

dL/dX1=1-4λ=0

dL/dX2=（x2_1）2-4λ=0显然，（X2-1）2=1,求得：

X2=0,X1=2;或X2=2,X1=0

代入总效用函数,可将X2=2,X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2

当U=3X1+（X2-1）3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变.

当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:

X1=2,X2=0,最佳需求也不变.

3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。

假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。

为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？

解：

M=10000（1-10%）=9000

Px=50（1+20%）=60

Py=20

预算约束式：

60x+20y=9000由此可得y=450-3x代入u=xy2的得

u=9（x3-300x2+22500x）

由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得

x1=150x2=50由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。

4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？

解：

最初的预算约束式为

2x+10y=100

效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10

由此得y/x=1/5

x=25,y=5,u=125

价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合（x,y）中所需收入为

m=8x+10y=8x+10·125/x

最小化条件（在xy=125的约束条件下）

dm/dx=8-1250x-2=0

解得x=12.5,y=10,m=200

5、若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？

解:

由U=XY4，得MUX=Y4，MUY=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY，

变形得：

PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M，

即收入中有4/5用于购买商品Y。

6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+（1-α）lny；消费者的收入为M;x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。

解:

构造拉格朗日函数L=2lnX+（1-α）lnY+λ（M-PXX-PYY）

对X、Y分别求一阶偏导得2Y/（1-α）X=PX/PY代入PXX+PYY=M

得:

X=2M/（3-α）PXY=（1-α）M/（3-α）PY

7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。

假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？

解：

预算约束式为50Y=100L，即Y=2L=2（365-X）

构造拉格朗日函数L=X2Y3-λ（Y+2X-730）

对X、Y分别求一阶偏导得Y=3X，进而得X=146，Y=438，L=219,

即该人每年应安排219个工作日.

8、消费X，Y两种商品的消费者的效用函数为U=X3Y2，两种商品的价格分别为PX=2，PY=1，消费者收入为M=20，求其对X，Y的需求量。

解：

PXX+PYY=M

2X+Y=20

U=X3（20-2X）2=400X3—80X4+4X5

效用极大1200X2-320X3+20X4=0

解得X1=0，X2=6，X3=10

X=0或10时U=0，不合题意

所以X=6，Y=8。

9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t单位的销售税，使得他支付的价格提高到P（1+t）。

证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。

解:

设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1=（a-P）/b。

又设价格为P（1+t）时，消费者的需求量为Q2，则Q2=[a-P（1+t）]/b

消费者剩余的损失

=∫0Q1（a-bQ）dQ-PQ1-[∫0Q2（a-bQ）