立体几何问题的多种解法Word下载.docx
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(A9兀(B)10兀
侧(左视图
正视图俯视图
(2007)3
、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()
A.①②B•①③C•①④D•②④(2006)12、如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,ZDAB=60°
E为AB的中点,
将△ADE与ABEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,贝IJ三
棱锥P-DCE的外接球的体积为(A(B(C)87V
(D)24(2006)15、如图,已知正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都相
等.
D是11AC的中点,贝IJ直线AD与平面IBDC所成角的正弦值为45
(2012)14、如图.正方体ABCD-AIB1CID1的棱长为1,E,F分别为线段
AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为。
1112113111=xxxx=-DEDFEDFDVV.P-ABQ中,PB丄平面
ABQ,BA=BP=BQ,D,C,EfF分别是AQ,BQ,AP,
BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交
于点H,连接GH。
(I)求证:
AB//GH;
(II)求
二面角D-GH-E的余弦值•
(1)因为C、D为中点,所以CD//AB
同理:
EF//AB,所以EF//CD,EFu平面EFQ,
①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A1
/
CDQEFC面,所以CD〃平面EFQ,又CDu平面PCD,面PCD面
QEF=GH.所以
.所以AB//GH.
解法一:
在厶ABQ中,2AQBD=,ADDQ=,所以=90ABQZ,即ABBQ丄,因为PB丄平面ABQ,所以ABPB丄,又BPBQB=,所以AB丄平面PBQ,由(I)知
AB〃GH,所以GH丄平面PBQ,又FHu平面PBQ,所以GHFH丄,同理可得
GHHC丄,所以FHCZ为二面角DGHE-的平面角.设2BABQBP
==,连接pc,在tRAFBC
中,由勾股定理得.FC=tRAPBC
中,由勾股定理得.PC=,又H为APBQ
的重心,所以13HCPC=同理FH=,在AFHC中,由余弦定理得5524cos5529
FHC+-Z=-x,即二面角DGHE-的余弦值为45-.
解法一:
I
ABQ中,2AQBD=,ADDQ=,所以90ABQZ=,又PB丄平面ABQ,所以,,
BABQBP两两垂直,以B为坐标原点.分别以,,BABQBP所在直线为x轴,y轴.z输建立如图所示的空间直角坐标系,设2BABQBP==,则(1Q1E,
(0,0,IF,(020Q,(1丄0D,(0,1,0C(0,0,2P,
所以(1,2,1EQ=-,(0,2,1FQ=-,(1,1,2DP=-,(0,1,2CP=-
设平面EFQ的一个法向量为111(,,mxyz=,
由0mEQ•=,OmFQ•=,得11111
2020xyZyz-+-=fl-=l取1ly=,得(0,1,2m=.设平面PDC的一个法向量为
222(、,nxyz=
由011DP・=,OnCP・=,得22222
2020xyzyz--十=()-十=l取21z=,得(0,2,ln=•所以4cos,5
mnmnmn•=,因为二面角DGHE-为钝二面角,所以二面角
DGHE-的余弦值为45
(2012)18
在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,,ABCD60,DABZ=FC丄平面,ABCDAEBD丄,CBCDCF==.(I)求证BD丄平面AED;
(II)求二面角FBDC-的余弦值•
r(2e
I)证明:
因为四边形ABCD为等腰梯形.ABCD.60DABZ=,所以120ADCBCDZ=Z=.XCBCD=,所以30CDBZ=,因此90ADBZ=,ADBD丄,又AEBD丄,且AEADA=,,AEADu平面AED,所以
AED.
I)知ADBD丄,所以ACBC丄,又FC丄平面ABCD,因此,CA以C为坐标原点.分别以,,CACB
CF所在的直线为x轴,y轴,
|(2012
z轴建立空间直角坐标系,不妨设1CB=,则(0,0,0C,(0,1,0
rcrc
B,G,0D(0,0,IF,因此(,,02BD二,(O,1,1BF=・.设平面BDF的一个法向量为
(“X
yz=m,则OBD=・mfOBF=
•m,
所以x=取1
z=,贝IJ
(=111・
rrrcrc
又平面BDC的法向量可以取为(0,0,1=n,所以cos,||||
<
>
==mnmn因为二面角FBDC—是锐二面角,所以二面角FBDC-
rci(201;
.BD的中点G,连结,CGFG,由于CBCD=,所以CGBD丄•又FC丄平面,BDu平面ABCD,所以FCBD丄.由于FCCGC=,,FCCGu平面FCG,所以BD丄平面FCG,故BDFG
丄•所以FGCZ为二面角
FBDC-的平面角•在等腰三角形BCD中,由于120BCDZ=,因此
CGCB=,又CBCF=,所以
CF=故cosFGCZ=,因此二面角F
I(2012)i8ircrcrc
BDC-的余弦值为.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四
边形,090ACBZ=,EA丄平面ABCD,//EFAB,//FGBC,//EGAC,
2ABEF=.
(I)若M是线段AD的中点,求证:
//GM平面ABFE;
(II)若2ACBCAE==,求二面角ABFC—的大小.
(I)//EFAB,2ABEF=可知延长BF交AE于点P,而//FGBC,//EG
AC,贝IJPBFWu平面,BFGCPAEWu平面AEGC,即PG平面BFGC平面AB
DE
G
MAB
FE
|(2012)
AEGCGC=,于是,,BFCGAE三线共点,1//2
FGBC,若M是线段AD的中点,而//ADBC,则//FGAM,四边形AMGF为平行四边形,则〃GMAF,又GMC平面ABFE,所以//GM平面ABFE;
(II)由EA丄平面ABCD,作CHAB丄,则CH丄平面ABFE,作HTBF丄,连接CT,则CTBF丄,于是CTHZ为二面角ABFC-的平面角。
若2ACBCAE=,设1AE=,贝lj2ACBC==
ABCH=H%AB的
中点,2tan2
AEAEFBAABEFABZ===
sinFBAZ=
HTBHABF=Z=在RtCHTA
V2.V2V272
中tailCHCTHHTZ==则60CTHZ=,即二面角ABFC―的大小为60o
ABCD为平行四边形,0
90ACBZ=EA丄平面ABCD,
可得以点A为坐标原点,,,ACADAE所在直线分别为,,xyz建立直角坐标
设=,,ACaADbAEc==,则(0,0,0A,1(,0,0,(0”0,(0„0,(,,02CaDbMbBab由//EGAC可得(EGACU=eR,1(,,2GMGEEAAMabcA.=++=-由〃FGBC可得(FGBCAD山屮=GR,1122GMGFFAAMADBAEAADp=++二十卄1(,(1,2abc—,贝lj12Xp,==l12
GMBAEA=4-,而GM©
平面ABFE,所以//GM平面ABFE;
(II)若2ACBCAE=,设1AE=,贝lj2ACBC=,
(2,0,0,(0,0,1,(2,2,0,(1,1,1CEBF贝IJ(0,2,0BCAD=,(1,1,1BF=-,
(2,2,0AB二,设11112222(,,,(,,xyzxyz=n=ii分别为平面ABF与平面CBF的法向量。
则11111
2200xyxyz-=n-卄=I,令llx=,贝lj111,Ovz=,l(l,l,On=;
2222200
yxyz=({-卄=1令21x=,贝lj220,lyz==,2(1,0,1=no
于是1212121
cos2
•<
=
=・nnn卫nnf
则1260o=n,n,因为二面角ABFC-是锐二面角,所以二面角ABFC-的
大小为60
厂TT、罰、、4
P—ABCDE中,PA丄平面
(2010)19
ABCDE,AB
〃CD,AC//EDfAE〃BC,ZABC=45°
ABBC=2AE=4,三角形PAB
是等腰三角形・(I)求证:
平面PCD丄平面PAC;
(H)求直线PB与平面PCD所成角的大小;
(III)求四棱锥P-ACDE的
体积
ABC中,因为ZABC=45。
,BC=4,AB=22,所以
r(2(
AC2=AB+BC2-2ABBCcos45°
=&
因此AC=22,故BC2=AC2十AB2
,所以ZBAC=90。
,又
PA丄平面ABCDE,AB〃CD,所以CD丄PA,CD丄AC,又
PA,ACu平面PAC,且PAAAC=A,所以CD丄PAC,又CDu平面PCDf所以平面PCD丄平面PAC
2)解法一;
因为ZXPAB是等腰三角形,所以PA二AB二2屈,
因此丹=如+脑=鸡
又AB//CD,
EF7iyi占口科巫面orn隔昉甫聲干占厲科亚面口r笳昉甫
2142sin==
PBh&
又NIILIG2,OK0.所以6加=
AB、AC,AP两两相互垂直,分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z
|(2010)
轴建立如图所示的空间直角坐标系,由于APAB是等腰三角形,所以
PA=AB=22,又AC=22,
因此A(0,0,0).b(2Q.Q0)・
为臥为以此因所因所因
C(Ot2v2.Q).P(0,0.2血)『比皿CDJ.AC.
四边形ACDF是直角様形.
隠珂ZABC=45°
AE"
陷Z&
AE=135e,
ZCAI=45*•
枚CD=AE-=2X2二昆
所以D(•占.2血・0).
3凋=tn(i
所以
3兀
e=
因此直线PB与平面PCD所成的角为6
71
(III)因为AC〃ED、CD丄AC,所以四边形ACDE是直角梯形,因为
AE=2,ZABC=45°
AE^BC,所以ZBAE=135°
t因此ZCAE=45°
故CD=AE-sin45°
=2x22=2,所以3
222
22ACDE=x+=四边形S
又PA丄平面ABCDE,所以.2222321
VACDE-P=xx=
如图.在直四棱柱1111ABCDABCD冲,
(2009)18
底面ABCD为等腰梯形,AB〃CD、AB=4,BC=CD=2,1AA.AB的中点。
(I)证明:
直线1EE〃平面1FCC;
(II)求二面角IBFCC—的弦值。
(1)在直四棱柱ABCD-AIB1CID1中,取A1B1的中点F1,连接A
ID,CIF1,CF1,因为AB=4,CD=2,旦AB//CD,所以CD=//
A1F1,AIF1CD为平行四边形,所以CF1//A1D,又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点,所以EE1//A1D,所以CF1//EE1,又因为IEEE平面FCC1,lCFu平面FCC1
.所以直线EE1//平面FCC1.
(2)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,ABCF为正三角形。
取CF的中点O,则OB丄CF,又因为直四棱柱ABCD-AIB1CID1中,CC1丄平面ABCD,所以CC1丄BO,所以OB丄平面CC1F,
过O在平面CC1F内作OP丄C1F,垂足为P,连接BP,则Z
OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中,0B=在Rt
ACCIF中,△OPFs/\ccIF,•・・
110POF
CCCF
=・・・22
0P=
,在RmOPF中,BP=
cosOPOPBBPZ==所以二面角B-FC1-C
(1)因为AB=4.BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,ABCF为正三角形,因为ABCD为等腰梯形,所以ZBAC=ZABC=60°
取AF的中点M,连接DM,则DM丄AB,所以DM丄CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D
(0,0,0),A),F),c(0,2,0),
Cl(0,2,2),E(
2
12
-,0),E1(
V3
11
122
EE=-,1,0CF=-,1(0,0,2CC=1(,2FC=设平面CCIF的法
向量为(,,nxyz=贝1」10
nCFnCCf-=1r=1I
所以0Oyz-==Il取(ln=,则E
C
E1AB1
EA
11110022
nEE-二x=,所以hiEE丄,所以直线EE1//平面FCC1.
(2)(0,2,0FB=,设平面BFC1的法向量为1111(,,nxyz=,则1110nFBnFC(-=I{•=1I
所
以1111020yyz=(丨
{
卄』I
取111=,
贝Ij12100211n•=x十=
V3V3V34
J|2n=
,1IIU=.
所以lllcos,||||nnnnnn-〈〉=
由图可知二面角B-FC1-C为锐二面角•所以二面角B-FC1-C
P-ABCD,底面ABCD为菱形,
PA丄平面ABCD,60ABCZ=°
E,F分别是BC,PC
的中点.(I)证明:
AE±
PD;
(II)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切E
—AF—C的余弦fl.ABCD为菱形,ZABC=60°
可得△ABC为正三角形。
因为E为BC的中点,所以AE丄BC.
又BC〃AD,因此AE丄AD•因为PA丄平面ABCD.AEu平面ABCD,所以PA丄AE.而PAu平面PAD,ADu平面PAD且PAHAD=A,所以AE丄平面PAD,又PDu平面PAD.所以AE丄PD.
(II)解:
设AB=2,H为PD±
任意一点,连接AH,EH.
AE丄平面PAD,则ZEHA为EH与平面PAD所成的角•在Rt△EAH中,
AEAH最短时,Z
EHA最大,即当AH丄
PD时.ZEHA最大•此时tanZEHA
AEAH=因此AH又AD=2,所以ZADH=45°
所以PA=2.
PA丄平面ABCD,PAu平面PAC,所以,平面PAC丄平面ABCD.
过E作E0丄AC于0,则EO丄平面PAC,过O作
OS丄AF于S,连接ES,则ZESO为二面角E-AF-C的平面亀在Rt△
AOE
中,EO=AEsm30°
AO=AEcos30°
=32,
又F是PC的中点,在RtAASO中,SO=AOsm45°
4
又SE==在Rt△ESO中.cosZ
即所求二面角的余弦值为
由(门知AE.AD.AP两两垂直,以A为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系,又E、F分别为BC、PC
的中点,所以E、F分别为BC、PC的中点,所以A(0,0,0),B-1.
0),C(C,1,0)
.D(0,2,0),P(0,0.
2).E0,0
).F
1
12
)
m,BD>
=5|||
mBDmBD==
因为二面角E-AF-C为锐二面角,
所以所求二面角的余弦值为
5
1111ABCDABCD-中,已知
122DCDDADAB==,ADDC丄,ABDC〃.
(I)设E是DC的中点.求证:
1DE〃平面BDA1;
(II)求二面角11ABDC-的余弦值•
AD1
(I)连结BE,则四边形DABE为正方形,BEAD
A1D1,且BE〃AD〃A1D1,四边形A1D1EB为平行四边形.DIE//A1B.又DIE平面A1D1C1B1A1BD,A1B平面A1BD,DIE//平面
A1BD.(II)D为原点,DADC,DD1所在直线分别为x轴.以,GDABECy轴.z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设DA1.则D(0.0,
A(l,0,B(ll,,C(0,2,0,0,,02,Al(1,
2,DAI(10,,
DB
(110,
o,,2,f设11
(x,y,
z为平面A
BD的一个法向量.
由1zDlClBlMAI
n
DAI
!
DB,得x2
z0,
31.
取z1,则11(
2,•
X
V
0.
DAxFBECy又DC2
(0,
3,DB(110,2,,,
设m
(xl,
yi.
zl
为平面C1BD的一个法向量,
由m
DC,mDB,得
2vl
2zl
0,,,取zl1,
.则m
(1
ii,
xlyl0•设m与n
的夹角为,
二面角AlBD(
Cl为
显然
为
锐角,cos33111n33,即二面角AlBDCl的余弦为•cos
33111n393x解法二:
(I)以D为原点,DADC,DD1所在直线分,别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设D1C1B1M
DAa,
由题意知:
0(0,
0,A
(a,0
B(a,a,f
0.0?
0AlC(0,a,
Cl(0,a,
a,Al(a,2a,
Dl(0,
2a,
200.220,
E(0.a,
・DIE(0,a,2a,
DA
(a,2a,0
0.1DB
(a,a,,
ODAzFBECy
又(0,
a,2a(a,a,
(a.
DIEDB
DA.00,
DAI,DB平面A1BD,DIE平面A1BD
DIE//平面A1BD・(II)取DB的中点F,
DC1的中点M,
连结A1F,
FM,由(I
)及题意得知:
aa
F
1,,
M(0,a,a,FA1,
f
a,FM
f9
a,
222
2222
FA1
DB,,aa,a,
0,FMDB
,a
a,a,0
2(0(02222
FA1DB,FM
DB,
ZA1FM
为所求二面角的平面角.22a
a,a
a,fa
aa2a22
FA1FM322
22
44
■
cosZAlFM
2332a6a33aFA1FM
222所
以二面角Al
BDCl的余弦值为3.
3解法三:
如解法-
-图,
连结ADI,
AE,设DIHADIAID
?
AEBDF
.连结GF,
由题
意知G是A1C1B1MEFBCA1D的中点,又E是CD的中点.四边形ABED
是平行四边形,故F是AE的中点.在AAEDl中,GF//DIE,又GF平面ABD,DIE平面ABD,DIE〃平面11ADA1BD.(II)如图,在四边形ABCD中,设ADa,ABAD,ADDC,AB//DC,AD
AB.故BD2a,由(I)得BC2BE2EC2a2a22a2,
DC2a,ZDBC90,即BDBC.又BDBB1,BD平面BCC1B1,XBC1平面BCC1B1,BDBC1,取DC1的中点M,连结A1F,FM,由题意知:
FM〃BC1,FMBD.又AIDA1B,
A1FBD.ZA1FM为二面角AlBDCl的平面角.连结AIM,
在AA1FM中,由题意知:
A1F32116a,FMBC1BC
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