全国各地中考数学真题分类解析汇编4一元一次方程及其应用Word文件下载.docx
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此题考查了一元一次方程的应用,找出题中的等量关系是解本题的关键.
2.(2014•滨州,第4题3分)方程2x﹣1=3的解是()
A.
﹣1
B.
C.
1
D.
2
考点:
解一元一次方程
根据移项、合并同类项、系数化为1,可得答案.
解答:
2x﹣1=3,移项,得
2x=4,
系数化为1得
x=2.
故选:
本题考查了解一元一次方程,根据解一元次方程的一般步骤可得答案.
二、填空题
1.(2014•浙江湖州,第11题4分)方程2x﹣1=0的解是x= .
此题可有两种方法:
(1)观察法:
根据方程解的定义,当x=
时,方程左右两边相等;
(2)根据等式性质计算.即解方程步骤中的移项、系数化为1.
移项得:
2x=1,系数化为1得:
x=
.
此题虽很容易,但也要注意方程解的表示方法:
填空时应填x=
,不能直接填
2.(2014•湘潭,第15题,3分)七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观,共589人,到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人.设到雷锋纪念馆的人数为x人,可列方程为 2x+56=589﹣x .
由实际问题抽象出一元一次方程.
设到雷锋纪念馆的人数为x人,则到毛泽东纪念馆的人数为(589﹣x)人,根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人.列方程即可.
设到雷锋纪念馆的人数为x人,则到毛泽东纪念馆的人数为(589﹣x)人,
由题意得,2x+56=589﹣x.
故答案为:
2x+56=589﹣x.
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,列出方程.
三、解答题
1.(2014•益阳,第18题,8分)“中国﹣益阳”网上消息,益阳市为了改善市区交通状况,计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图,新大桥的两端位于A、B两点,小张为了测量A、B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据:
∠BAD=76.1°
,∠BCA=68.2°
,CD=82米.求AB的长(精确到0.1米).
参考数据:
sin76.1°
≈0.97,cos76.1°
≈0.24,tan76.1°
≈4.0;
sin68.2°
≈0.93,cos68.2°
≈0.37,tan68.2°
≈2.5.
(第1题图)
解直角三角形的应用.
设AD=x米,则AC=(x+82)米.在Rt△ABC中,根据三角函数得到AB=2.5(x+82),在Rt△ABD中,根据三角函数得到AB=4x,依此得到关于x的方程,进一步即可求解.
设AD=x米,则AC=(x+82)米.
在Rt△ABC中,tan∠BCA=
,
∴AB=AC•tan∠BCA=2.5(x+82).
在Rt△ABD中,tan∠BDA=
∴AB=AD•tan∠BDA=4x.
∴2.5(x+82)=4x,
解得x=
∴AB=4x=4×
≈546.7.
答:
AB的长约为546.7米.
此题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数的基本概念及运算,关键是用数学知识解决实际问题.
2.(2014•益阳,第19题,10分)某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇,下表是近两周的销售情况:
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入﹣进货成本)
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,求A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在
(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?
若能,请给出相应的采购方案;
若不能,请说明理由.
二元一次方程组的应用;
一元一次方程的应用;
一元一次不等式的应用.
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元,4台A型号10台B型号的电扇收入3100元,列方程组求解;
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30﹣a)台,根据金额不多余5400元,列不等式求解;
(3)设利润为1400元,列方程求出a的值为20,不符合
(2)的条件,可知不能实现目标.
(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元,
依题意得:
A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元;
(2)设采购A种型号电风扇a台,则采购B种型号电风扇(30﹣a)台.
200a+170(30﹣a)≤5400,
a≤10.
超市最多采购A种型号电风扇10台时,采购金额不多于5400元;
(3)依题意有:
(250﹣200)a+(210﹣170)(30﹣a)=1400,
a=20,
∵a>10,
∴在
(2)的条件下超市不能实现利润1400元的目标.
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.
3.(2014•株洲,第20题,6分)家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩,据以往的经验,他获得如下信息:
(1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米;
(2)他上山2小时到达的位置,离山顶还有1千米;
(3)抄近路下山,下山路程比上山路程近2千米;
(4)下山用1个小时;
根据上面信息,他作出如下计划:
(1)在山顶游览1个小时;
(2)中午12:
00回到家吃中餐.
若依据以上信息和计划登山游玩,请问:
孔明同学应该在什么时间从家出发?
一元一次方程的应用.
由
(1)得v下=(v上+1)千米/小时.
由
(2)得S=2v上+1
由(3)、(4)得2v上+1=v下+2.
根据S=vt求得计划上、下山的时间,然后可以得到共需的时间为:
上、下上时间+山顶游览时间.
设上山的速度为v,下山的速度为(v+1),则
2v+1=v+1+2,
解得v=2.
即上山速度是2千米/小时.
则下山的速度是3千米/小时,山高为5千米.
则计划上山的时间为:
5÷
2=2.5(小时),
计划下山的时间为:
1小时,
则共用时间为:
2.5+1+1=4.5(小时),
所以出发时间为:
12:
00﹣4小时30分钟=7:
30.
孔明同学应该在7点30分从家出发.
本题考查了应用题.该题的信息量很大,是不常见的应用题.需要进行相关的信息整理,只有理清了它们的关系,才能正确解题.
4.(2014年江苏南京,第25题)从甲地到乙地,先是一段平路,然后是一段上坡路,小明骑车从甲地出发,到达乙地后立即原路返回甲地,途中休息了一段时间,假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km,下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km.设小明出发xh后,到达离甲地ykm的地方,图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系.
(1)小明骑车在平路上的速度为 km/h;
他途中休息了 h;
(2)求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式;
(3)如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h,那么该地点离甲地多远?
(第4题图)
一次函数的解析式的运用,一元一次方程的运用
(1)由速度=路程÷
时间就可以求出小明在平路上的速度,就可以求出返回的时间,进而得出途中休息的时间;
(2)先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式;
(3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h,由题意可以得出这个地点只能在破路上.设小明第一次经过该地点的时间为t,则第二次经过该地点的时间为(t+0.15)h,根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可.
(1)小明骑车在平路上的速度为:
4.5÷
0.3=15,
∴小明骑车在上坡路的速度为:
15﹣5=10,
小明骑车在上坡路的速度为:
15+5=20.
∴小明返回的时间为:
(6.5﹣4.5)÷
2+0.3=0.4小时,
∴小明骑车到达乙地的时间为:
0.3+2÷
10=0.5.
∴小明途中休息的时间为:
1﹣0.5﹣0.4=0.1小时.
15,0.1
(2)小明骑车到达乙地的时间为0.5小时,∴B(0.5,6.5).
小明下坡行驶的时间为:
2÷
20=0.1,∴C(0.6,4.5).
设直线AB的解析式为y=k1x+b1,由题意,得
,解得:
∴y=10x+1.5(0.3≤x≤0.5);
设直线BC的解析式为y=k2+b2,由题意,得
∴y=﹣20x+16.5(0.5<x≤0.6)
(3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h,由题意可以得出这个地点只能在破路上.设小明第一次经过该地点的时间为t,则第二次经过该地点的时间为(t+0.15)h,由题意,得
10t+1.5=﹣20(t+0.15)+16.5,解得:
t=0.4,∴y=10×
0.4+1.5=5.5,∴该地点离甲地5.5km.
本题考查了行程问题的数量关系的运用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,一元一次方程的运用,解答时求出一次函数的解析式是关键.
5.(2014•泰州,第20题,8分)某篮球运动员去年共参加40场比赛,其中3分球的命中率为0.25,平均每场有12次3分球未投中.
(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球?
(2)在其中的一场比赛中,该运动员3分球共出手20次,小亮说,该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球,你认为小亮的说法正确吗?
请说明理由.
概率的意义
(1)设该运动员共出手x个3分球,则3分球命中0.25x个,未投中0.75x个,根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛,平均每场有12次3分球未投中”列出方程,解方程即可;
(2)根据概率的意义知某事件发生的概率,就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值;
由此加以理解即可.
(1)设该运动员共出手x个3分球,根据题意,得
=12,
解得x=640,
0.25x=0.25×
640=160(个),
运动员去年的比赛中共投中160个3分球;
(2)小亮的说法不正确;
3分球的命中率为0.25,是相对于40场比赛来说的,而在其中的一场比赛中,虽然该运动员3分球共出手20次,但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球.
此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义.
6.(2014·
浙江金华,第20题8分)一种长方形餐桌的四周可坐6从用餐,现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来,四周分别可坐多少人?
(2)若用餐的人数有90人,则这样的餐桌需要多少张?
【答案】
(1)18,34;
(2)22.
【解析】
7.(2014•浙江宁波,第24题10分)用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成,硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)
A方法:
剪6个侧面;
B方法:
剪4个侧面和5个底面.
现有19张硬纸板,裁剪时x张用A方法,其余用B方法.
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?
列代数式.
(1)由x张用A方法,就有(19﹣x)张用B方法,就可以分别表示出侧面个数和底面个数;
(2)由侧面个数和底面个数比为3:
2建立方程求出x的值,求出侧面的总数就可以求出结论.
(1)∵裁剪时x张用A方法,
∴裁剪时(19﹣x)张用B方法.
∴侧面的个数为:
6x+4(19﹣x)=(2x+76)个,
底面的个数为:
5(19﹣x)=(95﹣5x)个;
(2)由题意,得
x=7,
∴盒子的个数为:
=30.
裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,能做30个盒子.
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一元一次方程的解法的运用,列代数式的运用,解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键.
8.(2014•滨州,第19题3分)
(1)解方程:
2﹣
=
解一元一次方程.
专题:
计算题.
(1)方程去分母,去括号,移项合并,将x系数化为1,即可求出解;
(1)去分母得:
12﹣2(2x+1)=3(1+x),
去括号得:
12﹣4x﹣2=3+3x,
移项合并得:
﹣7x=﹣7,
x=1;
此题考查了解一元一次方程,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
9.(2014•德州,第20题8分)目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价(元/只)
售价(元/只)
甲型
25
30
乙型
45
(1)如何进货,进货款恰好为46000元?
(2)如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?
一次函数的应用;
一元一次方程的应用
(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;
(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200﹣a)只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.
(1)设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯(1200﹣x)只,由题意,得
25x+45(1200﹣x)=46000,
x=400.
∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只.
购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元;
(2)设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯(1200﹣a)只,商场的获利为y元,由题意,得
y=(30﹣25)a+(60﹣45)(1200﹣a),
y=﹣10a+18000.
∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,
∴﹣10a+18000≤[25a+45(1200﹣a)]×
30%,
∴a≥450.
∵y=﹣10a+18000,
∴k=﹣10<0,
∴y随a的增大而减小,
∴a=450时,y最大=13500元.
∴商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.
本题考查了单价×
数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.
10.(2014•菏泽,第17题7分)
(1)食品安全是关乎民生的问题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输,某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂,A饮料每瓶需加该添加剂2克,B饮料每瓶需加该添加剂3克,已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶,问A、B两种饮料各生产了多少瓶?
(1)设A饮料生产了x瓶,则B饮料生产了(100﹣x)瓶,根据270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶,列方程求解;
(1)设A饮料生产了x瓶,则B饮料生产了(100﹣x)瓶,
由题意得,2x+3(100﹣x)=270,
x=30,100﹣x=70,
A饮料生产了30瓶,则B饮料生产了70瓶;
本题考查了一元一次方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,找出合适的等量关系,列方程组求解.
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