均值不等式 含答案上课讲义.docx
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均值不等式含答案上课讲义
课时作业15 均值不等式
时间:
45分钟 满分:
100分
课堂训练
1.已知+=1(x>0,y>0),则xy的最小值是( )
A.15 B.6
C.60D.1
【答案】 C
【解析】 ∵+=1≥2,
∴xy≥60,
当且仅当3x=5y时取等号.
2.函数f(x)=x++3在(-∞,-2]上( )
A.无最大值,有最小值7
B.无最大值,有最小值-1
C.有最大值7,有最小值-1
D.有最大值-1,无最小值
【答案】 D
【解析】 ∵x≤-2,∴f(x)=x++3
=-+3≤-2+3
=-1,当且仅当-x=-,即x=-2时,取等号,
∴f(x)有最大值-1,无最小值.
3.已知两个正实数x,y满足x+y=4,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】 +==++≥+2=.
4.求函数y=(x>-1)的最小值.
【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的形式特点,从而能用均值定理来处理.
【解析】 因为x>-1,
所以x+1>0.
所以y==
=(x+1)++5≥2+5=9
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.
∴当x=1时,函数y=(x>-1),取得最小值为9.
【规律方法】 形如f(x)=(m≠0,a≠0)或者g(x)=(m≠0,a≠0)的函数,可以把mx+n看成一个整体,设mx+n=t,那么f(x)与g(x)都可以转化为关于t的函数.
课后作业
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设x>0,则y=3-3x-的最大值是( )
A.3 B.3-3
C.3-2D.-1
【答案】 C
【解析】 y=3-3x-=3-(3x+)≤3-2
=3-2.
当且仅当3x=,即x=时取“=”.
2.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时,lgx+≥2
B.当x>0时,+≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.当0 【答案】 B 【解析】 A中,当x>0且x≠1时,lgx的正负不确定,∴lgx+≥2或lgx+≤-2;C中,当x≥2时,(x+)min=;D中当0 3.如果a,b满足0 A.B.a C.2abD.a2+b2 【答案】 D 【解析】 方法一: ∵02a,∴a<, 又a2+b2≥2ab, ∴最大数一定不是a和2ab, 又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab, ∵1=a+b>2,∴ab<, ∴1-2ab>1-=,即a2+b2>. 方法二: 特值检验法: 取a=,b=,则2ab=,a2+b2=,∵>>>,∴a2+b2最大. 4.已知a>b>c>0,则下列不等式成立的是( ) A.+> B.+< C.+≥ D.+≤ 【答案】 A 【解析】 ∵a>b>c>0, ∴a-b>0,b-c>0,a-c>0, ∴(a-c) =[(a-b)+(b-c)]· =2++ ≥2+2=4. ∴+≥>. 5.下列函数中,最小值为4的是( ) A.f(x)=x+B.f(x)=2× C.f(x)=3x+4×3-xD.f(x)=lgx+logx10 【答案】 C 【解析】 A、D选项中,不能保证两数为正,排除;B选项不能取等号,f(x)=2×=2×=2×(+)≥4,要取等号,必须=,即x2+4=1,这是不可能的,排除.故选C. 6.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左、右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量.设物体放在左右托盘称得的重量分别为a,b(a≠b),则物体的实际重量为多少? 实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了? ( ) A.;大B.;小 C.;大D.;小 【答案】 D 【解析】 设物体真实重量为m,天平左、右两臂长分别为l1,l2,则 ml1=al2① ml2=bl1② ①×②得m2l1l2=abl1l2 ∴m= 又∵≥且a≠b,∴等号不能取得,故m<. 7.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( ) A.3B.4 C.D. 【答案】 B 【解析】 ∵x+2y+2xy=8,∴y=>0, ∴-1 ∴x+2y=x+2·=(x+1)+-2≥2-2=4,当且仅当x+1=时“=”成立,此时x=2,y=1,故选B. 8.在区间[,2]上,函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R)与g(x)=在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在区间[,2]上的最大值是( ) A.B.4 C.8D. 【答案】 B 【解析】 ∵g(x)==x++1≥3,当x=1时取等号,即当x=1时取最小值3,∴f(x)的对称轴是x=1,∴b=-2,将(1,3)代入即得c=4,∴f(x)=x2-2x+4,易得在[,2]上的最大值是4. 二、填空题(每小题10分,共20分) 9.比较大小: ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”). 【答案】 ≥ 【解析】 =+≥2. 10.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是________. 【答案】 (-∞,3] 【解析】 ∵x>1,∴x+>0, 要使x+≥a恒成立,设f(x)=x+(x>1),则a≤f(x)min对x>1恒成立. 又f(x)=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=即x=2时取“=”. ∴a≤3. 三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11.设x,y∈R+,且x+y+xy=2, (1)求x+y的取值范围; (2)求xy的取值范围. 【解析】 (1)2=x+y+xy≤x+y+()2, 当且仅当x=y时取“=”. ∴(x+y)2+4(x+y)-8≥0. ∴[(x+y)+2]2≥12. ∵x+y>0,∴x+y+2≥. ∴x+y≥2-2,当且仅当x=y=-1时取“=”. 故x+y的取值范围是[2-2,+∞). (2)2=x+y+xy≥2+xy,当且仅当x=y=-1时取“=”. ∴()2+2≤2.∴(+1)2≤3. 又x、y>0,∴+1>0.∴+1≤. ∴0<≤-1. ∴0 12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元. (1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少? (2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少? 【解析】 (1)设船捕捞n年后的总盈利y万元.则 y=50n-98-[12×n+×4] =-2n2+40n-98 =-2(n-10)2+102 ∴捕捞10年后总盈利最大,最大是102万元. (2)年平均利润为=-2 ≤-2=12 当且仅当n=,即n=7时上式取等号. 所以,捕捞7年后的平均利润最大,最大是12万元. 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.
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