高中数学必修一知识点总结学习笔记Word下载.docx
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(文字)A中的任一元素都属于B
(符号)AB(或BA)
二)真子集
(文字)AB,且B中至少有一元素不属于A
(符号)AB(或BA)
图形)
注意
空集是任何非.空.集.合.的真子集
A(A为非空子集)
(三)补集
一、定义
(文字)设AU,由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集
(符号)eUA={x|xU,且xA}
(一)交集
(文字)由所有属于集合A且.属于集合B的元素构成的集合称为
A与B的交集
二)并集
、定义
(文字)由所有属于集合A或.者.属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集
(符号){x|xA,或.xB}
1
(三)区间
设a,b是两个实数,且ab,规定
闭区间axb[a,b];
开区间axb(a,b);
半开半闭区间(左闭右开)axb[a,b)(左开右闭)axb(a,b]xa,xa,xb,xb
[a,),(a,),(,b],(,b).
对于集合{x|axb}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而
后者必须ab,(前者可以不成立,为空集;
而后者必须成立)
第二章:
函数
函数的概念
设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对
于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:
AB
二、三要素:
定义域、值域和对应法则
三、相同函数:
定义域相同,且对应法则也相同的两个函数
四、函数定义域:
1.f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.
2.f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
3.对数函数的真数大于零
4.对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零
5.ytanx中,xk(kZ).
2
6.零(负)指数幂的底数不能为零.
7.若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.
8.对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:
若已知f(x)的定
义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出.
9.对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
10.由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
五、求函数值域(最值):
1.观察法:
初等坐标函数
2.配方法:
二次函数类
3.判别式法:
二次函数类b2(y)4a(y)c(y)0
4.不等式法:
基本不等式
5.换元法:
变量代换、三角代换
6.数形结合法:
函数图象、几何方法
7.函数的单调性法.
8.分离常数法:
反比例类
六、函数的表示方法:
解析法
列表法
图象法(不是所有函数都有图像)
七、分段函数
八、复合函数
九、求函数解析式
1.配凑(换元)法
2.待定系数法:
已知函数模型
3.方程组法:
互为相反数、互为倒数
函数的简单性质
(一)、单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,
当x.1.<.x.2.时,都有f.(x..1.).<.f.(x..2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增.函.数..
y=f(X)
f(x1)
x1
x2
当x.1.<.x.2.时,都有f.(x..1.).>.f.(x..2.).,那么就说f(x)在这个区间上是
减.函.数..
1.不在区.间.内谈单调增或单调减都无意义
2.端点不计入区间
3.一般情况下单调区间不能并
4.单调区间≠区间单调
二、证明
1.任取
2.作差
3.变形
4.定号
5.下结论
三、证明
1.定义
2.初等坐标函数、已知函数
3.函数图象(某个区间图象)
4.复合函数:
同増异减
(二)、最值
1)一般地,设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满
足:
①对于任意的xI,都有f(x)M
②存在x0I,使得f(x0)M.那么,我们称M是函数f(x)的最大值,记作fmax(x)M.
(2)
一般地,设函数yf(x)的定义域为
I,如果存在实数m满
①
对于任意的xI,都有f(x)m
②
存在x0I,使得f(x0)m.那么,
我们称m是函数f(x)的
最小值,
记作fmax(x)m.
注意:
开区间无最值
二、题型
定函数动区间
动函数定区间
抓住对称轴和区间的相对关系
(二)、奇偶性
1)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f.(.-.x.).=.-.f.(x.)那么函数f(x)叫做奇.函.数..
2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f.(.-.x.).=.f.(.x).那么函数f(x)叫做偶.函.数..
1.定义域
f(x)的定.义.域.为——任意的x——
2.f(-x)与f(x)
3.下结论
正确——严格证明
错误——举出反例
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数两个反例
1.分段函数要分段讨论
2.0可单独讨论
3.若函数f(x)为奇函数,且在x0处有定义,则f(0)0
三、应用
1.定义(一般到一般)
2.代“0”(特殊到一般)需检验
四、奇偶性
若奇函数在(a,b)上单调增,则在(-a,-b)上单调增
若偶函数在(a,b)上单调增,则在(-a,-b)上单调减
第三节:
映射的概念
设A、B是两个非.空.集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任.何.一.个.元素,在集合B中都有唯.一.的元素和它对应,那么这样的对应叫做集合A到B的映射,记作f:
ABB
可用树状图考虑
第三章:
指数函数、对
数函数和幂函数
指数函数
一)、根式
如果xna,aR,xR,n1,且nN,那么x叫做a的n次方根
当n是奇数时,a的n次方根用符号na表示;
当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号na表示;
0的n次方根是0;
负数a没有n次方根.
根指数
被开方数
当n为奇数时,a为任意实数;
当n为偶数时,a0.、性质:
nan|a|a(a0)(na)na;
当n为奇数时,nana;
当n为a(a0)
偶数时,
三、分数指数幂
m
annam(a0,m,nN,且n1).
1.arasars(a0,r,sR)
2.(ar)sars(a0,r,sR)
3.(ab)rarbr(a0,b0,rR)
(二)指数函数一、定义
函数yax(a0且a1)叫做指数函数
二、图像与性质
名称
a1
0a1
yyax
yaxy
图象
y1
y1(0,1)
(0,1)
Ox
定义域
R
值域
(0,
)
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
过定点
(0,1)、
(1,a)
渐近线
x轴
三、图像移动及解析式变化
平移变换
yf(x)hh00,右,移|hh|个单位yf(xh)yf(x)kk00,下,移|kk|个单位yf(x)k伸缩变换
yf(x)1,缩yf(x)
yf(x)0AA11,伸,缩yAf(x)
对称变换
去掉y轴左边图象
yf(x)保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf(|x|)
保留x轴上方图象
yf(x)将x轴下方图象翻折上去y|f(x)|
四、指数型复合函数
换元取值范围、单调性
同增异减
初级坐标函数值域、单调性
五、指数函数的应用
1.审题归纳
2.建模注意定义域“指数型函数”模型
3.求解(解模)
4.还原(结论——答)
1.每一个步骤读一遍题
2.注意定义域、精确度
对数函数
一)对数
如果a(.a.>.0.,.a.≠.1.).的b次幂等于N即ab=N
那么就称b是以a为底N的对数记作logaN=b
底数真数.
、互化
对数底数真数底数指数幂根指数被开方数方根
三、常用对数与自然对数
常用对数:
lgN,即log10N;
自然对数:
lnN,即logeN(其中e2.71828⋯).
四、运算
1.加法:
logaMlogaNloga(MN)
2.减法:
logaMlogaNlogaM
N
3.数乘:
nlogaMlogaMn(nR)
4.alogaNN
5.logabMnnlogaM(b0,nR)abba
6.换底公式:
logaNlogbN(b0,且b1)logba
(二)对数函数
函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数
、图像与性质
0a1
y
O
ylogax
(1,0)
(1,0)x
x
(0,)
在(0,)上是增函数
在(0,)上是减函数
(1,0)、(a,1)
y轴
三、题型
1.比较大小
1利用单调性
2利用图像(真数相同)
3利用中间值
2.解不等式
3.求值
4.判断奇偶性
幂函数
函数yx叫做幂函数,其中x为自变量,是常数
定义域:
(0,)一定有定义
过定点:
(1,1).
单调性:
[0,)上
0,过原点、(0,)上为增函数.a=0,常函数
0,(0,)上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴
与y轴.
奇偶性:
当为奇数时,幂函数为奇函数,
当为偶数时,幂函数为偶函数.
当q(其中p,q互质,p和qZ),若p为奇数q为奇数时,p
q
则yxp是奇函数,
若p为奇数q为偶数时,则yxp是偶函数,
若p为偶数q为奇数时,则yxp是非奇非偶函数.图象特征:
幂函数yx,x(0,),
当1时,若0x1,其图象在直线yx下方,若x1,其图
象在直线yx上方,
当1时,若0x1,其图象在直线yx上方,若x1,其图
象在直线yx下方.
第四节:
函数的应用
(一)、零点
对于函数yf(x)(xD),把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点
二、意义
函数yf(x)的零点
方程f(x)0实数根
函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标
1.零点不是点
2.穿过零点,y值变号y值变号,穿过零点(图像.连.
续.不.断.)
三、求法
1.(代数法)
①证单调区间
②零点定理1.(几何法)交点
(二)、零点定理
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连.续.,且f(a)×
f(b)<
0,那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点二、应用(二次函数的实根分布)
已知二次函数f(x)ax2bxc(a>
0)
设一元二次方程ax2bxc0((aa0>
)0)的两实根为x1,x2,
①k<
x1≤x2
>
2a
f(k)>
0
③x1<
k<
f(k)<
④k1<
x1≤x2<
k2
f(k1)>
f(k2)>
0k1<
xb<
k2
⑤k1<
x1<
f(k2)<
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