1997数一真题标准答案及解析Word文档下载推荐.docx

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1,故所求切线方程为

y

2e

1x

0,即xy_.

1

22

（4）

设A

4

t3

B为三阶非零矩阵，且AB0,则t=

11

【答】

-3.

【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB0,，可见线性方程组Ax0存在非零解，故

122

A4t30t3.

311

（5）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是.

【答】.

5

【详解】设A｛第一个人取出的为黄球｝,B｛第一个人取出的为白球｝，C｛第二个人取

出的为黄球｝.

19

20

则PA_,PB

_,P

C|A

_,PC|B

—.

49

由全概率公式知：

P

C

PA

PC|AP

BPC|B

29

32019

549

54949

5.

:

■、选择题

xy,x,y

0,0

（1）二元函数-

fx,y

xy

，在点0,0处

0,

x,y0,0

（A）连续，偏导数存在

（C）不连续，偏导数存在

（B）连续，偏导数不存在

（D）不连续，偏导数不存在

应选（C）.

由偏导数的定义知

f'

0,0

X

lim

AX0

f0ax,0f0,0

AX

而当ykx,有

xkx

..X

x,y0,0x2

X0X2

kx

当k不同时，

k

不同，

故极限

1k2

可见，应选（

C）

（2）设在区间

a,b

上fX

0,f

S2fbb

a

S3-

fa

（A）Si

S2

S3.

（C）SsSi?

2.

xy

不存在,

因而

fx,y在点0,0处不连续,

x0,f'

'

x

【答】应选（B）.

0，令S

b

fxdx,

（B）S>

（D）S2

是有fxfb,

S3

fx

f

fb

从而

S

dx

fxdx

1f

af

即s>

S3,故应选（

B）•

2.丄

⑶设

Fx

sinte

sintdt,则F

（A）

为正常数

（C）

恒为零•

应选（A）•

a,axb.

baS2,

fbfa

xadx

ba

baS.

（B）为负常数

（D）不为常数

【详解】由于esintsint是以2为周期的，因此

x:

2sint

esintd

t

sire

"

11

sntdt

sint

edcost

22+

coste

dt

0.

故应选（A）

a1

bi

C1

（4）设

a,

b,

c,则三条直线

as

bs

cs

axby

c0,ax

12

by

c

0,axbyc0（其中ab0,i1,2,3交于一

333ii

点的充要条件是

（A）1,2,3线性相关•

（B）

1,2,3线性无关•

（C）秩r1,2,3=秩r1,2

（D）

1,2,3线性相关，

1,2线性无关

【】

应选（D）.

由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组

a1x

b1y

c1

ax

有唯一解，其充要条件为秩秩r

1,2,3=秩r1,2=2.

（A）、（C）必要但非充分；

既非充分又非必要；

只有（D）为充要条件，故应选（D）.

（5）设两个相互独立的随机变量

X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X2的方差是

（A）8.

（B）16.

（C）28.

（D）44.

D3X2Y

32DX

22DY94

4244.

三、

（1）

计算I

x2

y2dV,其中

为平面曲线

2绕z轴旋转一周形成的曲面

与平面

z8所围成的区域

利用柱面坐标,

积分区域可表示为

r,z

rdr

82r2rdz

r

8—

dr

1024

计算曲线积分

从z轴正向往

z轴负向看,

【详解1】

令xcos,y

sin,则

ydx

zdy

dz,其中C是曲线

C的方向是顺时针的.

cos

sin

由于曲线C是顺时针方向，其起点和终点所对应

值分别为2,

°

zydx

xzdy

ydz

2sin

2cos21d

2cossinsin2

2.

设是平面xyz

2以C为边界的有限部分，其法向量与

Z轴负向一致，Dxy为在

xOy面上的投影区域

xyk,

2k.

zydxxzdy

xydz

rotFdS

2dxdy

Dxy

）在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N,在

（将xt

0时刻已掌握新技术的人数为X0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为xt

视为连续可微变量）

，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例

常数k0,求xt

【详解】由题设,

原方程可化为

积分，得

代入初始条件，得

四、

（1）设直线

kx

xo

kdt.

NCekNt

1CekNt,

kNt

0Nxe

x0e

ay

在平面

上，而平面与曲面zxy相切于点

1,2,5，求a、b之值.

令Fx,y,zx

yz

，则F'

2x,F

-'

2y,F'

1.在点1,2,5处曲面得法向量为

n2,4,1，

于是切平面方程为

y2z50,

即

2x4y

z

50.

xyb

由1:

xayz

30

得xb,zx3

代入平面方程，得

2x4x4bx

3ax

ab5

有5a0,4b

ab2

由此解得a

5,b

由方法一知，平面

方程为2

4y

b0

过直线1:

的平面束为

xay

z3

yb

xayz30,

即1x1

ay

zb

其与平面重合，要求

J

解得1,a

xZ

Z2x

2e乙求y

（2）设函数fu具有二阶连续导数，而zfesiny满足方程——2

在X0处的连续性

udu

xtdtu

于是

xfx°

fudu

2X

由导数疋义，

有

0lim

fudu

fX

A

.

X0

而

xlim

Xf

fudufX

X0X

lim0fudu

可见，

x在x0处的连续性

六、设ai2,ani

n1,2,…，证明:

an

（1）lim

an存在;

（2）级数

1收敛.

an1

（1）因为

a~

于是有an

an0,故数列

（2）方法一:

由

（1）知

由于级数

anan

级数

方法二:

令bn

1a2

2a；

1,

单调递减且有下界，所以

的部分和数列Sn

an1收敛，由比较判别法知,

利用递推公式，有

ak

ak1

a.1

liman存在.

a1an1的极限lim3存在，可见

1也收敛.

bn1lim工nb

1an2

lim2

14a

01,

由比值判别法知

七

（1）设B是秩为

是齐次方程组Bx

级数一

n1an1

2的54矩阵,

0的解向量，求

11,12,3T,2

1,14,1T,35,1,8,9T

Bx0的解空间的一个标准正交基

【详解】因秩rB2,故解空间的维数为：

4rB422,

又1,2线性无关，可见1,2是解空间的基

先将其正交化，令:

4-

2,1

14

332

10

再将其单位化，令：

111

pC1

11尿2，2

V395

即为所求的一个标准正交基

212

（2）已知1是矩阵A

5a3的一个特征向量

11b2

）试确定参数a,b及特征向量所对应的特征值;

）问A能否相似于对角阵？

说明理由•

（I）

由题设，有

01

2o

也即

3o

解得

3,b

0,1

（II）

由

，知

E

可见

1为

A的三重根，但秩

0,即

23

rEA2,从而

1对应的线性无关特征向量只有

3rEA1个，故A不可对角化

八、设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵为B.

（1）证明B可逆;

（2）求AB1.

（1）记Ei,j是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则

BEi,jA，于是有|B|Ei,j||AA|0.故B可逆

（2）AB1AEijA1AA1E1i,jE1i,jEi,j.

九、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话

独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数

和数学期望•

【详解】X服从二项分布B3,2，其分布律为

Ck2k123k,k0,1,2,3.

因此，X的分布函数为

0,x0

7

0x

125

81125,1

—

X的数学期望为

其中1是未知参数，x1,x2，…,xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别

用矩估计法和极大似然估计法求的估计值.

EX

总体X的数学期望为

xfxdx1xdx

令一2x，得参数的矩估计量为

设X,,x2，…,xn是相应于样本X,,X2，…,Xn的一组观测值，则似然函数为

nX,0X

1i

1,2,3,…,n

L

ii

i1

其他.

当0

Xi1i

时，

L0且

InLnIn

Inxi

令

dInL

nn

Inx

1i1

d

得

的极大似然估计值为

1n