轴对称证明题知识讲解Word文档格式.docx

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点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）

[关于坐标轴夹角平分线对称]

点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）

点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y=-x对称的点的坐标是（-y，-x）

[关于平行于坐标轴的直线对称]

点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；

点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；

等腰三角形

[等腰三角形]

有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

[等腰三角形的性质]

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

特别的：

（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.

[等腰三角形的判定定理]

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．

（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．

（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．

（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

[利用“三角形奠基法”作图]

根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形.

等边三角形

[等边三角形]

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

[等边三角形的性质]

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

[等边三角形的判定方法]

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

角平分线的性质

[角平分线的作法]

见课本

[角平分线的性质]

在角平分线上的点到角的两边的距离相等.

∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，

∴PM=PN

[角平分线的判定]

到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN

∴OP平分∠AOB

[三角形的角平分线的性质]

三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

[添加辅助线口诀]

几何证明难不难，关键常在辅助线；

知中点、作中线，倍长中线把线连.

线段垂直平分线，常向两端来连线；

线段和差及倍分，延长截取全等现；

公共角、公共边，隐含条件要挖掘；

平移对称加旋转，全等图形多变换.

角平分线取一点，可向两边作垂线；

也可将图对折看，对称之后关系现；

角平分线加平行，等腰三角形来添；

角平分线伴垂直，三线合一试试看。

角平分线＋平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。

如图1

（1）中，若AD平分

，AD//EC，则

是等腰三角形；

如图1

（2）中，若AD平分

，DE//AC，则

如图1（3）中，若AD平分

，CE//AB，则

如图1（4）中，若AD平分

，EF//AD，则

是等腰三角形。

图1

例1.如图，在

中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作

，交BA的延长线于点E，垂足为点F。

求证：

AE＝AP

1．已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°

，求∠OED的度数．

2．已知：

如图2－3，线段AB．

求作：

线段AB的垂直平分线MN．

作法：

图2－3

3．已知：

如图2－4，∠ABC及两点M、N．

点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．

图2－4

4．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；

若不存在，请说明理由．

图2－5

5．如图2－6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E、F是否关于AD对称？

若对称，请说明理由．

图2－6

综合、运用、诊断

6．已知：

如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'

与A关于直线l对称，连接A'

B交l于P点，若A'

B＝a.

（1）求AP＋PB；

（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：

AM＋MB＞AP＋PB．

7．已知：

A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；

作

（3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

图3－10

8．

（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

图3－11

（2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

图3－12

9．

（1）已知：

如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；

图3－13

（2）已知：

如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

图3－14

10．已知：

如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

△ABC是等腰三角形．

图6－5

11．已知：

如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．

BD＝CE．

图5－2

12．已知：

如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

图5－3

13．已知：

如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

图5－4

拓展、探究、思考

14．已知：

如图5－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°

，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．

（1）DE＝DF；

（2）ΔDEF为等腰直角三角形．

图5－5

15．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．

（1）作出M点和N点．

（2）求出M点和N点的坐标．

图5－6

16．已知：

如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．

AE＝AF.

图6－6

17．已知：

如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.

CE＝CF．

图6－7

18．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°

，∠ACB＝40°

，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，

BQ＋AQ＝AB＋BP．

图6－8

19．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？

并在图6－9中画出C点的位置．

图6－9

20．如图6－10，对于顶角∠A为36°

的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．

图6－10

21．已知：

如图7－8，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.

EF平分∠AEB．

图7－8

22．已知：

如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．

图7－9

23．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．

（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？

（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？

请证明你的猜想．

（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？

图7－10

24．已知：

如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°

，BE平分∠B交AC于E．

（1）求证：

BC＝AE＋BE；

（2）探究：

若∠A＝108°

，那么BC等于哪两条线段长的和呢？

试证明之．

25．已知：

如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．

AD＝CE；

（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．

图8－4

26．如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）求证：

AF＝BD．

图8－5

27．已知：

如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°

，∠B＝90°

．求CD的长______．

图8－6

28．

（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；

图8－7

（2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

图8－8

29．已知：

如图8－9，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE．

CE＝DE.

图8－9

30．已知：

如图8－10，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°

，∠C＝60°

，CD＝2AD，AB＝4．

（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；

图8－10

（2）求出

（1）中PC＋PD的最小值．

31.如图,△ABC中,边AB、BC的垂直平分线交于点O,

（1）求证:

PA=PB=PC.

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上?

由此你还能得出什么结论?

32、.如图:

△ABC和△ADE是等边三角形.证明：

BD=CE.

33、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列四个条件：

①∠EBD=∠DCO；

②∠BEO=∠CDO；

③BE=CD；

④OB＝OC.

（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第

（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

34．如图，P在

AOB内；

点M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，且与AO、BO相交点E、F，若

PEF的周长为15，求MN的长.

35．如图（5）所示，在△ABC中，∠C=90°

，DE垂直平分AB，交AB于E，交BC于D，∠1=

∠2，求∠B的度数。

36．等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少？

37．如图，

ABC中，AB=AC，BO，CO分别为

ABC，

ACB的平分线，交点为O，过O作，E，F平行于BC交AB，AC于F，E，探索BF+CE与FE的关系，说明理由.

38．如图，在

ABC中，AD

BC于D，点M，N分别在BC所在的直线上，且BM=CN．

（1）AB=AC，试判断

AMN的形状，并说明理由

（2）若AM=AN，则

ABC=

ACB成立吗？

为什么？

39.如图，△ABC中，∠BAC=1100，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，求∠DAF.

16、如图，

ABC中，AB=AC，AD

BC，DE//AC，试说明

BDE和

AED都是等腰三角形

40、已知：

在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求∠C的度数。

41、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角度数。

（9分）

42、如图：

B、D、E、C四点共线，BD=CE，AD=AE，求证：

AB=AC（9分）

43、求证：

等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等。

44、在△ABC中，AB=AC,∠ABD=∠ACD,试确定AD与BC的关系，并说明理由。

（8分）

45、在△ABC中，AB=AC，∠A=120°

，AB，AC的垂直平分线分别交AB于E，BC于M，交AC于F，BC于N，求证：

BM=MN=NC（9分）

46、如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠BAC=45°

，AD和CE是高，它们相交于H，

AH=2BD（7分）

47、如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，OM与OB是两坐标轴夹角的三等分线，

点E是OM上一点，EC⊥X轴于C点，ED⊥OB于D点，OD=8，OE=10

（1）求证：

∠ECD=∠EDC

（2）求证：

OC=OD

（3）求点E的坐标

（4）试判断OE与线段CD的位置关系，并说明理由。