完整word版高数答案下习题册答案第六版下册同济大学数学系编Word格式.docx
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zzy¶
u¶
u,,¶
zzz¶
uz¶
u1y¶
uzy-1=-2xylnx=xlnx=x解:
,¶
xyy
2u¶
2u2++=5、设u=x+y+z,证明:
¶
x2¶
y2¶
z2u
6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续?
是否可导(偏导)?
说明理由222
22xsin,x+y¹
0ï
22f(x,y)=í
x+y
22ï
0,x+y¹
0î
10-0limf(x,y)=0=f(0,0)连续;
fx(0,0)=limfy(0,0)=limsi2不存在,=0x®
0y®
0x®
0y-0xy®
7、设函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求limx®
0f(a+x,b)-f(a-x,b)x
(2fx(a,b))§
3全微分
1、单选题
(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的
__________
(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件
(C)充分必要条件
(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A)偏导数不连续,则全微分必不存在
(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在
2、求下列函数的全微分:
yyy11)z=exdz=ex(-2dx+dy)xx
222)z=sin(xy)解:
dz=cos(xy)(y2dx+2xydy)
yz-11y3)u=x解:
du=xdx+xzlnxdy-2xzlnxdzzzzyzyyy
3、设z=ycos(x-2y),求dz(0,)4p
解:
dz=-ysin(x-2y)dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y))dy\dz|(0,p
4)=p
4dx-p
2dy
4、设f(x,y,z)=
z1(-2dx-4dy+5dz)求:
df(1,2,1)2225x+y
22(x+y)sinï
5、讨论函数f(x,y)=í
x2+y2
ï
0,î
(0,0)(x,y)=(0,0)在(0,0)点处
的连续性、偏导数、可微性1(x2+y2)sin=0=f(0,0)所以f(x,y)在(0,0)点处连续。
解:
(x,ylim)®
fx(0,0)=f(Dx,0)-f(0,0)f(0,Dy)-f(0,0)=0,fy(0,0)=lim=0(x,y)®
(0,0)(x,y)®
(0,0)DxDy
f(Dx,Dy)-0®
0,所以可微。
22(Dx)+(Dy)lim
4多元复合函数的求导法则
dzvt1、设z=u,u=sint,v=e,求dt
dzet-1tet×
e+lnsint×
(sint)×
et解:
=cost.(sint)dt
z2x-3y,,求,2、设z=(x+y)¶
z2x-3y-1=(2x-3y)x(+y)-3x(+y2x-)3ylnx+(y),¶
zyn+2y=nz3、设z=xf
(2),f可微,证明x¶
yx
2z¶
2z224、设z=f(x-y,2xy),其中f具有二阶连续偏导数,求,,22¶
x
z解:
=2xf1¢
+2yf2¢
¶
2¶
z=2x(f11¢
¢
(-2y)+f12¢
2x)+2f2¢
+2y(f21¢
(-2y)+f22¢
2x)=-2yf1¢
+2xf2¢
=2f1¢
-4xyf11¢
+4(x-y)f12¢
+4xyf22¢
2z22¢
=-2f1¢
+4y2f11¢
-8xyf12¢
+4x2f22¢
=2f+4xf+8xyf+4yf111122222
2zyx
5、设z=f(xy,)+g(),其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数,求
yxy
zy1解:
=f1¢
y-2f2¢
+g¢
,
xxy¶
2z11y11x
+y(f11¢
x+f12¢
)-2f2¢
-2(f12¢
x+f22¢
)-2g¢
-3g¢
yxxxxyy
du
6、设u=F(x,y,z),z=f(x,y),y=j(x),求
dx
du¢
=F1¢
+F2¢
j¢
(x)+F3¢
(fx+fy¢
(x))。
u=x-2y¶
2z
-2=0化为=0,7、设z=z(u,v),且变换í
可把方程62+
v=x+ay¶
v¶
xî
其中z具有二阶连续偏导数,求常数a的值(a=3)
z
=2++2证明:
=-2+a=+
v
2u2¶
u=42-4a+a=-22+(a-2)+a2
v2¶
v2
2z2¶
u+(6+a-a)2=0a=3得:
(10+5a)
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,f1/(1,1)=a,f2/(1,1)=b又,j(x)=f{x,f[x,f(x,x)]}求j
(1).和j/
(1)
(1),
(a+ab+ab2+b3)
5隐函数的求导公式
dy
1、设ylny=x+y,求
dy1=解:
令F(x,y)=ylny-x-y,Fx=-1,Fy=lny,\dxlny
z222
2、设z=z(x,y)由方程x+y+z=yf()确定,其中f可微,证明
(x2-y2-z2)+2xy=2xz
2zxy+z
3、设z=z(x,y)由方程=e所确定,其中f可微,求
yz
2zz¶
zz¶
zz=-=,=-,3¶
xx(1+z)¶
y1+zx(1+z)
x2+y2+z2=1dyxdzdydz4、设í
,求,(,=-=0)22dxydxdxdxî
z=x+y
z5、设z=z(x,y)由方程F(xy,y+z,xz)=0所确定,F可微,求,¶
FyFxF1¢
y+zF3¢
zF1¢
x+F2¢
令F(x,y,z)=F(xy,y+z,xz),则=-=-,=-=-¶
xFz¶
yF¢
F2+xF3F2+xF3z
6、设z=f(x,y)由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定,求dz(dz=-dx-dy)
7、设z=z(x,y)由方程3xy+xcos(yz)-z3=y所确定,求¶
z,,¶
()¶
z3xy.yln3+cosyz¶
zx.3xyln3-xzsin(yz)-1==,¶
y3z2+xysinyz()3z2+xysin(yz)
6微分法在几何中的应用
1、求螺旋线x=2cost,y=2sint,z=3t在对应于t=p
4处的切线及法平面方程
切线方程为==z-3p3
法平面方程-2(x-2)+2(y-2)+3(z-3p)=04
x2+y2+z2=502、求曲线í
在(3,4,5)处的切线及法平面方程222î
x-3y-4z-5解:
切线方程为,法平面方程:
4x-3y=0==4-30
2223、求曲面2x+3y+z=9在(1,-1,2)处的切平面及法线方程
切平面方程为2(x-1)-3(y+1)+2(z-2)=0
x-1y+1z-2及法线方程==2-32
4、设f(u,v)可微,证明由方程f(ax-bz,ay-bz)=0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
令F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-bz),则
Fx=f1a,Fy=f2a,Fz=-bf1-bf2,\=(f1a,f2a,-bf1-bf2)
\×
(b,b,a)=0,所以在(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。
5、证明曲面x
和为a2¢
23+y23+z23上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方=a(a>
0)23
2-32-32-3
令F(x,y,z)=x+y+z-a,则Fx=x,Fy=y,Fz=z,
333
在任一点(x0,y0,z0)处的切平面方程为x0在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z
1
3
23
13
23232323
111
-
(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0
a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2
=xf()上任意一点M(x0,y0,z0),(x0¹
0)处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t,总有F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)k为自然数,试证:
曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明:
F(tx,ty,tz)=tkF(x,y,z)两边对t求导,并令t=1xFx+yFy+zFz=kF(x,y,z)
设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为:
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0此平面过原点(0,0,0)
7方向导数与梯度
1、设函数
f(x,y)=x2-xy+y2,1)求该函数在点(1,3)处的梯度。
2)在点(1,3)处沿着方向l的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向
(1f,3)=-+5j解:
梯度为grad
到
最小值的方向为-=(1,-5)。
2、求函数u
f
l
(1,3)
=-cosq+5sinq,方向导数达到最大值的方向为=(-1,5),方向导数达
=xy2+yz2+zx2在(1,2,-1)处沿方向角为a=600b=900g=1500的方
=1+
向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
3,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向(1,2,-1)
u
gradu(1,2,-1)=2+5j-3,此时最大值为38(1,2,-1)=
:
方向导数为3、求函数u
=xy2z3在(1,1,-1)处沿曲线x=t,y=t2,z=t3在(1,1,1)处的切线正方
向(对应于t增大的方向)的方向导数。
u=y2z3,=2xyz3,=3xy2z2,=(1,2,3),\该函数在点(1,1,-1)处的方¶
u4
向导数为,(1,1,-1)=
l222
4、求函数u=ln(y+z+x)在(1,1,-1)处的梯度。
u2x¶
u2y¶
u2z=2,=,=解:
,22222222¶
xx+y+z¶
yx+y+z¶
zx+y+z
gradu(1,1,-1)=222+j-333
8多元函数的极值及求法
1、求函数f(x,y)=3x2+3y2-2x-2y+2的极值。
11答案:
(,)极小值点33
2.求函数f(x,y)=x2+y2-2lnx-18lny的极值
答案:
极小值f(1,3)=10-18ln3
3.函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1,1)处取得极值,求常数a(-5)
4、求函数z=x2+y2+1在条件x+y-3=0下的条件极值
F(x,y,l)=x2+y2+1+l(x+y-3)
Fx=02211,极小值为Þ
(,)í
F=0332î
5、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/
平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。
(长和宽2米,高3米)
6、在球面x2+y2+z2=5r2(x>
0,y>
0,z>
0)上求一点,使函数
f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz达到极大值,并求此时的极大值。
利用此极大值证
a+b+c5明"
a,b,c有abc3£
27()5
2222证明:
令L=lnx+lny+3lnz+l(x+y+z-5r)¶
L¶
L=0,=0,=0,x2+y2+z2=5r2解得驻点x=y=r,z=r。
所以函数令¶
f(x,y,z)=lnx+lny+3lnz在x=y=r,z=3r处达到极大值。
极大值为ln(3r5)。
x2+y2+z2
5即xyz£
3rÞ
xy(z)£
27(r)=27(),令5
a+b+c5x2=a,y2=b,z2=c,得abc3£
27()。
535222325
x2y2
++z2=1被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的7、求椭球面32
长度
x2y2解:
F=x+y+z+l1(++z2-1)+l2(x+y+z)32222
2l1xì
F=2x++l2=0ï
x3ï
F=2y+ly+l=0y12ï
-3l2-l2-l2ï
í
Fy=2z+2l1z+l2=0x=,y=,z=2(3+l)2+l2(1+l)111ï
3+y+z2=1
x+y2+z=0
l1=-(x2+y2+z2)=-d2l-11±
6长半轴11+6,短半轴-1=6
第八章自测题
一、选择题:
(每题2分,共14分)
xy2
1、设有二元函数f(x,y)=ï
x2+y4,(x,y)¹
(0,0),则[]
0,(x,y)=(0,0),
A、(x,ylim)®
(0,0)f(x,y)存在;
(0,0)f(x,y)不存在;
C、(x,ylim)®
(0,0)f(x,y)存在,且f(x,y)在(0,0)处不连续;
D、(x,ylim)®
(0,0)f(x,y)存在,且f(x,y)在(0,0)处连续。
2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[
A、必要条件;
C、充要条件;
D、既非必要也非充分条件。
xy
3、函数f(x,y)=ï
x-y,x¹
y,在(0,0)点处[]
0,x=y
A、极限值为1;
B、极限值为-1;
C、连续;
、无极限。
4、z=f(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y),fy(x,y)存在是函数在该点可微分的[]
(A)必要条件;
(B)充分条件;
(C)充要条件;
(D)既非必要亦非充分条件。
5、点O(0,0)是函数z=xy2的[]
(A)极小值点;
(B)驻点但非极值点;
(C)极大值点;
(D)最大值点。
6、曲面ez-z+xy=3在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]
(A)2x+y-4=0;
(B)2x+y-z=4;
(C)x+2y-4=0;
(D)2x+y-5=0]
7、已知函数u=f(t,x,y),x=j(s,t),y=f(s,t)均有一阶连续偏导数,那么
(A)fxjt+fyft;
(B)ft+fxjt+fyft;
(C)f×
jt+f×
ft;
(D)ft+f×
ft
二、填空题:
(每题3分,共18分)¶
u=[]¶
t
x2siny1、lim=(0)(x,y)®
(0,0)x2+y2
3f=(exyz2、设f(x,y,z)=e,则(1+3xyz+x2y2z2))¶
sin(xy),xy¹
0,ï
3、设f(x,y)=í
y2则fx(0,1)=(0)
xy=0,î
0,
x4、设z=(x+2y),则在点(1,0)处的全微分.dz=(dx+2dy)xyz
2ì
y=x5、曲线í
在点P0(1,1,1)处的切线方程为2ï
x=z
x-1y-1z-1()==214
x2+y2+z2=3xx-1y-1z-16、曲线í
在点(1,1,1)处的切线方程为()==2102x-4y+6z=4î
三、计算题(每题6分)
1、设f(x,y)=xln(x+y),求f(x,y)的一阶偏导数22
2x22xyfx(x,y)=ln(x+y)+2f(x,y)=,。
y222x+yx+y22
xö
÷
,求此函数在点P0(1,1)处的全微分。
并求该函数在该点处沿着从÷
yø
è
1¶
f2(2,-1)=P0到P方向的方向导数(,)df=dx-dy1(1,1)¶
l2¶
2zæ
2yö
3、设z=fç
xy,÷
f具有各二阶连续偏导数,求¶
yxø
2、设f(x,y)=lnç
ç
x+
2z¢
1f¢
²
y²
z3解:
=2xf1-22+2xf11+yf12-3f22¶
yxx
2222,x+y¹
x+ysin224、设f(x,y)=í
求fx(x,y)和fy(x,y)。
0,x2+y2=0î
æ
1xsi2f(x,0)-f(0,0)不存在,故f(0,0)不存在,同理,f(0,0)也不存在。
lim=limyxx®
0x-0x
(0,0)时,有
fx(x,y)=
fy(x,y)=xx2+y2yx2+y212y1si-2co23/2222222(x+y)x+yx+yx+y
z+x+ysi1-2x1co(x2+y2)3/2x2+y25、设z=f(x,y)由方程z+x+y-e=0所确定,求dz(dz=-dx-dy)
2z6、设z=f[j(x)-y,y(y)+x],f具有连续的二阶偏导数,j,y可导,求¶
z¢
+f12¢
y¢
(y)]+[-f21¢
+f22¢
(y)]=j¢
(x)[-f11=f1¢
(x)+f2¢
+[j¢
(x)y¢
(y)-1]f12¢
+y¢
(y)f22¢
=-j¢
(x)f11
22ì
uï
x+y-uu=0,7、设í
确定函数u=u(x,y),u=u(x,y),求。
222ï
yî
xy-u+u=0
u4xu+u2¶
u4xu-uy2
=,=¶
x2(u2+u2)¶
x2(u2+u2)¶
u2yu+xyu¶
u2yu-xyu=2,=22¶
yu+uu+u2
2u1222f(x+y+z),式中f二阶可导,求2+2+28、设u=222¶
记r=x2+y2+z2,则
f(r)u==f(r)×
r-1r
uf¢
(r)r-f(r)¶
(r)r-f(r),=x,=y=z333¶
xr¶
yr¶
zr
2ur2f¢
(r)-3[f¢
(r)r-f(r)]2f¢
(r)r-f(r)=×
x+253¶
xrr
类似地,有
y+253¶
yrr
z+253¶
zrr
(r)r-f(r)]23[f¢
(r)r-f(r)]+2+2=×
r+253¶
f¢
(r)=r
四、(10分)试分解正数a为三个正数之和,而使它们的倒数和为最小。
111设三个正数为x,y,z,则x+y+z=a,记F=++,令xyz
j=
则由111+++l(x+y+z-a)xyz
j=-+l=02ï
xxï
j=-1+l=0aï
y2y解出。
x=y=z=í
3ï
1ï
jz=-2+l=0zï
x+y+z=a
五、证明题:
(10分)
试证:
曲面z=x+f(y-z)上任一点处的切平面都平行于一条直线,式中f连续可导。
曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为s={1,1,1},则
n×
s=0,即n^sn={-1,-f¢
1+f¢
}
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
第九章重积分
1二重积分的概念与性质
1、由二重积分的几何意义求二重积分的值I=ò
ò
x2+y2dxdy其中D为:
x2+y2£
4D
(I=ò
x2+y2dxdy=p.4.2-.p.4.2=
D1316p)3
2、设D为圆域x2+y2£
a2,a>
0,若积分ò
Dp=a-x-ydxdy12,求a的值。
222
ò
D3a-x-ydxdy=2.3p.aa=8222141
3、设D由圆(x-2)2+(y-1)2=2围成,求ò
3dxdy
D
由于D的面积为2p,故ò
3dxdy=6p
4、设D:
{(x,y)|3£
x£
5,0£
y£
1},
I1=ò
ln(x+y)dxdy,I2=ò
[ln(x+y)]2dxdy,比较I1,与I2的大小关系
DD
在D上,ln(x+y)£
[ln(x+y)]2,故I1£
I2
5、设f(t)连续,则由平面z=0,柱面x2+y2=1,和曲面z=[f(xy)]2所围的
立体的体积,可用二重积分表示为V=
D:
x+y£
[f(xy)]ò
22
dxdy
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
sin2xsin2ydxdyD:
0£
p,0£
p
(0£
sin2xsin2ydxdy£
p2)
7、设f(x,y)为有界闭区域D:
a2上的连续函数,求lim解:
利用积分中值定理及连续性有lim
1a®
0pa2
D8
f(x,y)dxdy
a®
f(x,y)dxdy=limf(x,h)=
f(0,0)
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