数学竞赛中的二次函数问题docx文档格式.docx
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1,即。
〉2时,由题意/(x)min=/
(1)=4-4z+a-2=>
得
心=3±
厉・因为°
〉2,所以d=3+亦.
综上d=0或q=3+a/5.
in
例3已知函数/(%)=--x2+y在区间[a,b]上的最小值为2°
最大值为2b.
求[恥].(2000年全国高中数学联赛)
113
按二次函数/(X)=-—F+—的对称轴X=0与区间\a,b]的相对位置关系分类求解.
(1)当0„a<
b时,/(x)在[d,b]上单调递减,则f(a)=2b,f(b)=2a.于
a1213
2b=—ciH—,
22解得a=\fb=3.故二[1,3].
2a=-^b2+-.
(2)当g<
0v学时,刃>
)在x=Q处取得最大值,在x=b处取得最小值
13
max
/(X)max=f~=[口ioog
2d,即
2.故2a=f(h)=--(-)2^-=—>
0,与
仃、小、戻13°
22232
GV0矛盾,舍去.
(3)当吋,/(x)在兀=0处取得最大值,在x=a处取得最小值
/«
ax=/(0)=-=2/7,
解得g=-2±
a/T7,b=—
/(Qnin=/(a)=_£
/+^=2d.4
结合竽vOvb得[如[―2“,》.
(4)当ovb,,0时,/G)在[讪上单调递增,则f(a)=2a,f(b)=2b,
HF1c121317213
即2a=——a+—,2b=——少+—.
2222
由于方程丄x2+2x-—=0的两根异号,因此,满足a<
b„0的区间不存在.
综上,所求区间为[1,3]或[-2-V17,—].
4
13说明1:
当0时,由/(兀)在x=0处取得最大值,求得b=—.此时,
1171339
/(/,)=—(—)2+—=—>
0,与/(/7)=26/<
0矛盾•所以,/(尢)只能在x=a处彳3
取得最小值2°
.因此,将
(2)、(3)两类合并后常化简为三类情况求解.
说明2:
二次函数闭区间上的最值问题常见题型有:
区间定对称轴定、区间
定对称轴动(如例2)、区间动对称轴动(如例3)和区间动对称轴动.对于区间
动对称轴动,或者再结合开口情况不定的问题往往分类情况更多,但不管怎样,
h
/(x)在闭区间[加,比]上的最值仅在/(m)>
/(〃)和/()三处取得,所以,只要
2a
按此标准分三类求解即可•当然,求解后还得检验.
2二次函数与二次方程的实根分布
例4已知a、b、c是正整数,关于兀的一元二次方程ax2+hx+c的两实根的绝对值均小于牛求a+b+c的最小值.(2005全国高中数学联赛福建预赛)
设西兀2是方程"
+加+c=0的两根•由韦达定理,有
£
+兀=—,.所以Xj<
0,花v0•由兀]兀)=—<
—,得一>
9.
aa〜a9c
从而,ax2+/?
x+c=0的两根西、x2G(-i0).于是,可利用一元二次方程实
①
②
③
④
根分布的相关知识求解.
/(0)=c〉0,
f(--)=-a--b+c>
0,设f(x)=ax2c.则<
彳賞彳
1bn
——<
<
0,
32d
△=/r-4ac...0.
由式④..2\{ac.由式②得丄a+c>
—b,即a+9c>
3b.
93
又由q、b、c是正整数知,a+9c、3b都是正整数,故d+9c...3b+l.
由上矢口a+9c丿;
®
3/?
+16^^+1.
整理,得(3>
/c)2...1.再结合a>
9c,得—3\fc...1.
所以,需膻+3逐14-3x1=4,即O...16.
当。
=16时,只有c=l.此吋,几.2辰=8・经验证16%2+9x4-1=0满足题设要求.故a+b+c的最小值为25.
说明仁离散最值问题的最常见解法是:
先估计研究对象的范围,确定可能的最值,再经过构造,说明能够达到最值.
本题的标准答案是由△=戾一仏…0,得b2...4ac=4x-xc2>
36,
c
估计得b...7,然后分别对b=7f8,9枚举求解,情况多种•这里利用一元二次方程实根分布的相关知识先对q进行估计,大大缩小了范围•因此,求解此类问题时,要选好对象进行估计,优化解题过程.
例5.设-—BJx兰,且方程cos2x-4acosx-a+2=0有两个不同的实解.试22
求Q的取值范围.(2007年全国高中数学联赛廿肃预赛)
由题意有2cos2x-1-4acosx-a+2=0,即倉细o-g上0+=令/=cosx,由一—^\x—,矢口0釧1.
于是原方程有两上不同的实数解等价于方程2尸—4m-d+l=0在0<
/„1范
围内有一个解•令/(r)=2t2—4加-G+1・
(2)0时,还要二次函数的对称轴2d穿过0—,,1,即
|0<
6/„1,JOj,,1,joy,1,»
丄
12a2+6?
-1=0](q+1)(2q-1)=0°
=-1或°
=丄21L2
故Q的取值范围为2,QV1或“丄.
52
解一元二次方程实根分布问题的常用方法有:
1.利用求根公式求出方程的根,再由题设中根所在的范围建立不等式进行求解;
2.利用韦达定理,结合根所在的范围建立不等式;
3.借助二次函数图象,建立相应的不等式(组)求解(如例4、例5).
比较三种方法,方法1思路清晰,但有时运算量较大;
方法2要符合根所在的范围进行适当的调整,有时技巧性较强;
方法3结合图象直观、简捷.
3二次函数与二次不等式
例6已知当xe[0,1]时,不等式x2cos0_兀(1_兀)+(1-x)2sin&
〉0恒成立,
试求0的取值范围.(1999年全国高中数学联赛)
设/(x)=X2cos0_兀(1_兀)+(1-兀)2sin&
•要使/(%)>0当xg[0,1]时恒成立,只要当xe[0,l]时,/(兀)伽>0即可.
注意到/(兀)=(l+sinP+cos&
)2-(1+2sin0)x+sin0
=(1+siflw-
2(4s0中8os)+4si
o<
1+2sin^<
1.
2(1+sin&
+cos&
)
于是,需判断二次函数图象的开口状况及对称轴与闭区间[0,1]的相对位置关系•先利用条件控制0的范围.
由于对任意的xg[0,1],恒有/(%)>0,贝Ijsin^=/(O)>O,cos^=/(l)>0.
jr
故2£
兀<
6<
2k/r——伙gZ)•此时,有l+sin&
+cos0>
0,
2
即4(1+sin0+cos0)sin0_(1+2sin&
)?
=2sin2&
—1>
0.故sin20〉丄.
jr7TStt
因止匕,2m兀+—<
20<
ZitittH,即mnH<
0<
mnH(mgZ).
661212
综上所述,9的取值范围为2kJi+—<
3<
2k;
i+—(kgZ).
1212
恒成立问题是函数问题中的常见题型.求此类问题的方法多种多样•转化
为相应的最值问题是比较常用的方法.
例7.设函数/(x)=d+8x+3(dvO).对于给定的负数q有一个最大的正数
1(a)9使得在整个区间[O,Z(a)J是,不等式1/(兀儿5都成立•问:
d为何值吋/⑷最
大?
求岀这个最大的1(a),并证明你的结论.(1998年全国高中数学联赛)
4164
注意到/(X)=tz(xd—)2+3的对称轴为兀=—・
aaa
故当x=-~吋,/(X)唤=3-丄.
aa
结合图象可分3-->
5和3-匹,,5两种情况,分别求出最大正数心)时。
的aa
值.然后取较大的/⑺)吋负数Q的值.
(1)当3-—>
5,即-8<
6z<
0时(如图1),要使得在整个区间[。
,/⑷]上,
a
不等式I/(X)L,5都成立,必须0v/(a)v-—,且2)是方程ox2+8x+3=0的较
221
——_v—=_
J16+2Q+442*
(2)当3-—„5,即a,,-8时()如图2),要使得在整个区间[0,/⑷]上,
不等式I/(X)L,5都成立,必须z(d)>
——,且3是方程OX2+8x+3=-5的较大
根,故畑”屈-廻
44_V5+1
x/4—2g—2“>
/20-2~2
当且仅当f/=-8时,上式等号成立.
由于爭冷,因此,当且仅当,一时,2)取最大值呼.
例8二次函数/(x)=or2+bx+c(a,bgR且qh0)满足条件:
(1)当兀wR时,/(x-4)=/(2-x),且/(%)...%;
(2)当"
(0,2)时,/(x)„(―)2;
(3)/(兀)在/?
上的最小值为0.
求最大值m(m>
1),使得存在twR,只要xe[l,m],就有/(x+r)„x.
(2002全国高中数学联赛)讲解:
先由已知条件求出/(朗的解析式,然后对加、(进行分类讨论,以达到
确定加的目的.因为/(%-4)=/(2-x),所以,函数的图象关于直线x=-\对称.因此一么=—lnb=2a.由条件(3),当兀=—1时,y=0,即a-b+c=0.
=丄宀丄”丄.
424
由条件
(1)、
(2)分别得/(!
)...!
f⑴,,1•则于
(1)=1,即a+b+c=l.
由上可求得心
因为所求的抛物线/(兀)的图象开口向上,而+的图象是由y=/'
(兀)的图象平移/个单位得到,要在[1,血]上,y=/(x+r)的图象在)心兀的图象的下方,且加最大,所以,1、加应该是兀的方程丄(x+r+1)2=x的两个根.
由1是方程丄(x+t+l)2=x的一个根,可解得心0或-4.
将心0代入原方程得占=兀2=1(这与加>
1矛盾);
当/=-4代入原方程得£
=1,x2=9.
因此m=9.
综上,观的最大值为9.
例9.已知函数f(x)=ax2-\-bx+c,当xg[-1,1]时,|/(x)L,1.求证:
当xg[-1,1]吋,l/(x)L,
注意到在|/(x)|=|ax2+bx+c\中有d、b、c三个变量,而题设条件中仅有“当"
[-1,1]时,|f(x)L,1”这一条件,但可以在中选取适当的值,将其对应的函数值表示为Q、h.C,再利用函数值的范围放缩求解.
/(l)=a+b+c,
/(_l)=d_b+c,解得心/(-1)+2/
(1)-/(0),心/⑴丄/(_1),
/(O)=c.
C=/(O).所以,|cH/(O)|,,1.
故I/(X)IH[*/(—1)+/(l)-/(O)]X2+*(/(l)—/(-D)X+/(O)|=1|(x2+x)/(l)+(1—兀(0)+|(xx)/(-l)I,,l|x|.|x+l|.|/(l)|+|l-x2|.|/(0)|+l|x|.|x-l|.|/(x-l)|
”—IxI(^+1)+1-X2+—IXI(1-x)
=—jc+1兀|+
=-(|x|-|)2+|
5
对于条件“一1魁兀1时,|/(兀儿1."
常用/(一1)、/(0)、/⑴表示
a、b、c,再利用1/(-1)L,1、1/(0儿1、1/(0儿1来解题。
对于“当0聚吐1时,|/(兀儿1”,常用/(0)、/(])、/
(1)表示a、b、c,再利用|/(0儿1、|/(]儿1、
If(x)L,1来解题.
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