正弦与余弦定理练习题及复习资料.docx
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正弦与余弦定理练习题及复习资料
正弦定理练习题
1.在△中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于( )
D.2
2.在△中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.4B.4C.4
3.在△中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=4,b=4,则角B为( )
A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对
4.在△中,a∶b∶c=1∶5∶6,则∶∶等于( )
A.1∶5∶6 B.6∶5∶1C.6∶1∶5D.不确定
5.在△中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A=105°,B=45°,b=,则c=( )
A.1C.2
6.在△中,若=,则△是( )
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
7.已知△中,=,=1,∠B=30°,则△的面积为( )
或或
8.△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=,b=,B=120°,则a等于( )
B.2
9.在△中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=,C=,则A=.
10.在△中,已知a=,b=4,A=30°,则=.
11.在△中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c=.
12.在△中,a=2,则△的形状为.
13.在△中,A=60°,a=6,b=12,S△=18,则=,c=.
14.在△中,已知a=3,=,S△=4,则b=.
15.在△中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=2,=,C=2,求A、B及b、c.
16.△中,=60,B=C,△的面积为15,求边b的长.
余弦定理练习题
1.在△中,如果=6,=4,=,那么等于( )
A.6 B.2C.3D.4
2.在△中,a=2,b=-1,C=30°,则c等于( )
D.2
3.在△中,a2=b2+c2+,则∠A等于( )
A.60°B.45°C.120°D.150°
4.在△中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)=,则∠B的值为( )
或或
5.在△中,a、b、c分别是A、B、C的对边,则+等于( )
A.aB.bC.cD.以上均不对
6.已知锐角三角形中,|=4,|=1,△的面积为,则·的值为( )
A.2B.-2C.4D.-4
7.在△中,b=,c=3,B=30°,则a为( )
B.2或2D.2
8.已知△的三个内角满足2B=A+C,且=1,=4,则边上的中线的长为.
9.已知a、b、c是△的三边,S是△的面积,若a=4,b=5,S=5,则边c的值为.
10.在△中,A∶B∶C=2∶3∶4,则A∶B∶C=.
11.在△中,a=3,C=,S△=4,则b=.
12.已知△的三边长分别是a、b、c,且面积S=,则角C=.
13.在△中,=a,=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两根,且2(A+B)=1,求的长.
14.在△中,=,=3,C=2A.
(1)求的值;
(2)求(2A-)的值.
正弦定理
1.在△中,∠A=45°,∠B=60°,a=2,则b等于( )
D.2
解析:
选A.应用正弦定理得:
=,求得b==.
2.在△中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.4B.4C.4
解析:
选=45°,由正弦定理得b==4.
3.在△中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=60°,a=4,b=4,则角B为( )
A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对
解析:
选C.由正弦定理=得:
==,又∵a>b,∴B<60°,∴B=45°.
4.在△中,a∶b∶c=1∶5∶6,则∶∶等于( )
A.1∶5∶6 B.6∶5∶1
C.6∶1∶5D.不确定
解析:
选A.由正弦定理知∶∶=a∶b∶c=1∶5∶6.
5.在△中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若A=105°,B=45°,b=,则c=( )
A.1C.2
解析:
选=180°-105°-45°=30°,由=得c==1.
6.在△中,若=,则△是( )
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
解析:
选D.∵=,∴=,
=,∴2A=2B
即2A=2B或2A+2B=π,即A=B,或A+B=.
7.已知△中,=,=1,∠B=30°,则△的面积为( )
或或
解析:
选=,求出=,∵>,
∴∠C有两解,即∠C=60°或120°,∴∠A=90°或30°.
再由S△=·可求面积.
8.△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=,b=,B=120°,则a等于( )
B.2
解析:
选D.由正弦定理得=,
∴=.
又∵C为锐角,则C=30°,∴A=30°,
△为等腰三角形,a=c=.
9.在△中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=,C=,则A=.
解析:
由正弦定理得:
=,
所以==.
又∵a<c,∴A<C=,∴A=.
答案:
10.在△中,已知a=,b=4,A=30°,则=.
解析:
由正弦定理得=
⇒===.
答案:
11.在△中,已知∠A=30°,∠B=120°,b=12,则a+c=.
解析:
C=180°-120°-30°=30°,∴a=c,
由=得,a==4,
∴a+c=8.
答案:
8
12.在△中,a=2,则△的形状为.
解析:
由正弦定理,得a=2R·,b=2R·,
代入式子a=2,得
2=2·2R··,
所以=2·,
即·+·=2·,
化简,整理,得(B-C)=0.
∵0°<B<180°,0°<C<180°,
∴-180°<B-C<180°,
∴B-C=0°,B=C.
答案:
等腰三角形
13.在△中,A=60°,a=6,b=12,S△=18,则=,c=.
解析:
由正弦定理得===12,又S△=,∴×12×60°×c=18,
∴c=6.
答案:
12 6
14.在△中,已知a=3,=,S△=4,则b=.
解析:
依题意,=,S△==4,
解得b=2.
答案:
2
15.在△中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,若a=2,=,C=2,求A、B及b、c.
解:
由=,得=,
又C∈(0,π),所以C=或C=.
由C=2,得
C=[1-(B+C)],
即2C=1-(B+C),
即2C+(B+C)=1,变形得
C+C=1,
即(B-C)=1,所以B=C=,B=C=(舍去),
A=π-(B+C)=.
由正弦定理==,得
b=c==2×=2.
故A=,B=,b=c=2.
=×-×=.
又0<A+B<π,∴A+B=.
(2)由
(1)知,C=,∴C=.
由正弦定理:
==得
a=b=c,即a=b,c=b.
∵a-b=-1,∴b-b=-1,∴b=1.
∴a=,c=.
16.△中,=60,B=C,△的面积为15,求边b的长.
解:
由S=C得,15=×60×C,
∴C=,∴∠C=30°或150°.
又B=C,故∠B=∠C.
当∠C=30°时,∠B=30°,∠A=120°.
又∵=60,=,∴b=2.
当∠C=150°时,∠B=150°(舍去).
故边b的长为2.
余弦定理
1.在△中,如果=6,=4,=,那么等于( )
A.6 B.2
C.3D.4
解析:
选A.由余弦定理,得
=
==6.
2.在△中,a=2,b=-1,C=30°,则c等于( )
D.2
解析:
选B.由余弦定理,得c2=a2+b2-2
=22+(-1)2-2×2×(-1)30°
=2,
∴c=.
3.在△中,a2=b2+c2+,则∠A等于( )
A.60°B.45°
C.120°D.150°
解析:
选∠A===-,
∵0°<∠A<180°,∴∠A=150°.
4.在△中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)=,则∠B的值为( )
或或
解析:
选D.由(a2+c2-b2)=,联想到余弦定理,代入得
==·=·.
显然∠B≠,∴=.∴∠B=或.
5.在△中,a、b、c分别是A、B、C的对边,则+等于( )
A.aB.b
C.cD.以上均不对
解析:
选·+b·==c.
6.已知锐角三角形中,|=4,|=1,△的面积为,则·的值为( )
A.2B.-2
C.4D.-4
解析:
选△==|·|·
=×4×1×,
∴=,又∵△为锐角三角形,
∴=,
∴·=4×1×=2.
7.在△中,b=,c=3,B=30°,则a为( )
B.2
或2D.2
解析:
选C.在△中,由余弦定理得b2=a2+c2-2,即3=a2+9-3a,
∴a2-3a+6=0,解得a=或2.
8.已知△的三个内角满足2B=A+C,且=1,=4,则边上的中线的长为.
解析:
∵2B=A+C,A+B+C=π,∴B=.
在△中,
=
==.
答案:
9.已知a、b、c是△的三边,S是△的面积,若a=4,b=5,S=5,则边c的值为.
解析:
S=,=,∴C=60°或120°.
∴=±,又∵c2=a2+b2-2,
∴c2=21或61,∴c=或.
答案:
或
10.在△中,A∶B∶C=2∶3∶4,则A∶B∶C=.
解析:
由正弦定理a∶b∶c=A∶B∶C=2∶3∶4,
设a=2k(k>0),则b=3k,c=4k,
B===,
同理可得:
A=,C=-,
∴A∶B∶C=14∶11∶(-4).
答案:
14∶11∶(-4)
11.在△中,a=3,C=,S△=4,则b=.
解析:
∵C=,∴C=.
又S△==4,
即·b·3·=4,
∴b=2.
答案:
2
12.已知△的三边长分别是a、b、c,且面积S=,则角C=.
解析:
=S==·
=,∴=,∴=1,∴C=45°.
答案:
45°
13.在△中,=a,=b,a,b是方程x2-2x+2=0的两根,且2(A+B)=1,求的长.
解:
∵A+B+C=π且2(A+B)=1,
∴(π-C)=,即=-.
又∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根,
∴a+b=2,=2.
∴2=2+2-2··
=a2+b2-2(-)
=a2+b2+=(a+b)2-
=
(2)2-2=10,
∴=.
14.在△中,=,=3,C=2A.
(1)求的值;
(2)求(2A-)的值.
解:
(1)在△中,由正弦定理=,
得==2=2.
(2)在△中,根据余弦定理,得
A==,
于是A==.
从而2A=2A=,
2A=2A-2A=.所以(2A-)=2-2=.
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