导数压轴题处理套路Word格式文档下载.docx
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∈⎡⎣e2,+∞),有
>
k,求k的取值范围
x1x2
例5.已知函数f(x)=1x2-alnx+(a-2)x,是否存在a∈R,对任意x,x
∈(0,+∞),
212
12x-x
例6.已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)≤kx2对任意x>
0成立,求实数k的取值范围;
(3)当
n>
m>
1
(m,n∈N
*)时,证明:
m.
n
专题二分离参数与分类讨论处理恒成立(含洛必达法则)
例1.已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
x+1x
(1)求a、b的值;
(2)如果当x>
0,且x≠1时,f(x)>
lnx+k,求k的取值范围.
x-1x
例2.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
例3.已知函数f(x)=x(ex-1)-ax2.
(1)若f(x)在x=-1时有极值,求函数f(x)的解析式;
(2)当x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围.
(3)当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
例4.设函数f(x)=1-e-x.
(1)证明:
当x>
-1时,f(x)≥
x+1;
(2)设当x≥0时,f(x)≤
xax+1
,求a的取值范围.
例5.设函数f(x)=
sinx
2+cosx.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)如果对任何x≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.
例6.已知函数f(x)=
λx+1
+e-x-1
当λ=0时间,f(x)≥0
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求实数λ的取值范围。
例7.已知函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R
(1)讨论函数f(x)的极值点个数,并说明理由
(2)若∀x>
0,f(x)≥0成立,求a取值范围。
例8.已知函数f(x)=ln⎛1+1ax⎫+x2-ax.(a>
0)
ç
22⎪
⎝⎭
(1)求证0<
a≤2时,f(x)在⎡1,+∞⎫上是增函数
⎢⎣2
(2)若对任意的a∈(1,2),总存在x
⎪
⎭
∈⎡1,+∞⎫使不等式f(x)>
m(1-a2)成立,求实
数m的取值范围
0⎢⎣2⎪0
例9.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.求a的取值范围;
例10.已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
专题三导数与零点问题(如何取点)
例1.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围;
例2.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2
有两个零点.求a的取值范围;
例3.设函数f(x)=e2x-alnx.讨论f(x)的导函数f'
(x)的零点的个数;
例4.已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2
有两个零点.
(2)求a的取值范围
例5.已知函数f(x)=ex-mx2-mx-1.当m<
0时,试讨论y=f(x)的零点的个数;
例6.设函数f(x)=lnx-lnx+ln(x+1),是否存在实数a,使得关于x的不等式
x+1
例7.已知函数f(x)=ae2x-(2ax+1)ex+x2+2x.当0<
a≤2时,证明f(x)必有两个零点
例8.已知函数f(x)=a+
xlnx(a∈R)
(1)求f(x)的单调区间
(2)求函数f(x)的零点个数,并证明你的结论
例9.设常数
λ>
0,a>
0
x2
,函数f(x)=-alnx,对于任意给定的正数
x+λ
λ,a
证明存在
实数x0,当x>
x0时,f(x)>
例10.已知函数f(x)=x+alnx.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)没有零点,求a的取值范围.
例11.已知函数f(x)=(x+a)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a<
1时,试确定函数g(x)=f(x-a)-x2的零点个数,并说明理由.
例12.已知函数f(x)=alnx+1(a≠0).
(2)若{xf(x)≤0}=[b,c](其中b<
c),求a的取值范围,并说明[b,c]⊆(0,1).
分析{xf(x)≤0}=[b,c]的形式类似不等式的解集,问题即转化为研究方程的根,即转化为研究函数的零点范围.
例13.已知函数f(x)=x2-(a-2)x+alnx+2a+2,其中a≤2
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范围。
例14.已知关于x的函数f(x)=ax-a(a≠0),
ex
(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;
(2)若函数F(x)=f(x)+1没有零点,求实数a的取值范围。
例15.已知函数
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围。
例16.已知函数f(x)=a+
xlnx,(a∈R)
(2)试求函数y=f(x)的零点个数,并证明。
专题四隐零点问题整体代换
例1.设函数f(x)=ex-ax-2
(1)求f(x)的单调区间
(2)若a=1,k为整数,且当x>
0时,(x-k)f'
(x)-x+1>
,求k的最大值
例2.已知函数f(x)=ax+xlnx的图像在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3
(1)求实数a的值
(2)若k∈Z,且k<
f(x)对任意x>
1恒成立,求k的最大值
x-1
例3.若对于任意x>
0,xe2x-kx-lnx-1≥0恒成立,求k的取值范围。
例4.已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,证明f(x)>
0.
例5.已知函数f(x)=2x3+x2+ax+1在(-1,0)上有两个极值点x1、x2,且x1<
x2.
(1)求实数a的取值范围;
f(x2
)>
11.
12
例6.已知a∈R,函数f(x)=ex+ax2;
g(x)是f(x)的导函数.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>
0时,求证:
存在唯一的x∈⎛-1,0⎫,使得g(x
)=0;
0ç
2a⎪0
(3)若存在实数a,b,使得f(x)≥b恒成立,求a-b的最小值.
例7.已知函数f(x)满足满足f(x)=f'
(1)ex-1-f(0)x+1x2.
(1)求f(x)的解析式及单调区间;
(2)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.
例8.已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间
(1,+∞)内有唯一解.
例9.已知函数f(x)=-2lnx+x2-2ax+a2,其中a>
0,设g(x)是f(x)的导函数.
(1)讨论g(x)的单调性;
存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
例10.已知函数f(x)=ax2-lnx+x+1,g(x)=aex+a+ax-2a-1,其中a∈R.
2x
(1)若a=2,求f(x)的极值点;
(2)试讨论f(x)的单调性;
(3)若a>
0,∀x∈(0,+∞),恒有g(x)≥f'
(x),求a的最小值.
例11.已知函数f(x)=lnx-1ax2+x,a∈R.
例12.设函数f(x)=e2x-alnx.
(1)讨论f(x)的导函数f'
当a>
0时f(x)≥2a+aln2.
a
例13.设函数f(x)=ex-ax-2.
(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'
(x)+x+1>0,求k的最大值。
例14.设函数f(x)=ex-ln(x+m).
(1)若x=0是f(x)的极值点,求m>0,并讨论f(x)的单调性;
(2)当m≤2时,求证:
f(x)>0.
例15.已知函数f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2.
(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为1,求实数m的值;
(2)当m≥1时,证明:
f(x)>
g(x)-x3.
例16.已知函数f(x)=lnx+1ax2+x+1.
(1)当a=-2时,求f(x)的极值点;
(2)当a=0时,证明:
对任意的x>0,不等式xex≥f(x)恒成立。
专题五极值点偏移
例1.已知函数f(x)=2lnx+x2+x,若正实数x,x
满足f(x)+f(x
)=4,
求证:
x1+x2≥2
例2.已知函数f(x)=lnx+x2+x,正实数x,x
满足f(x)+f(x
)+xx
=0,求证:
x1+x2≥2.
121212
例3.已知函数f(x)=xe-x.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)已知函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:
1时,
f(x)>
g(x);
(3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:
x1+x2>
2.
例4.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:
x1+x2<
例5.已知函数f(x)=xlnx的图像与直线y=m交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),求
证:
x1x2<
e2.
例6.已知函数f(x)=lnx和g(x)=ax,若存在两个实数x1,x2,且x1≠x2,满足
f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2),
(1)求证:
2e;
(2)求证:
xx>
例7.已知函数f(x)=ex-ax有两个不同的零点x,x
,其极值点为x.
2x0;
(3)求证:
2;
(4)求证:
1.
120
例8.已知f(x)=ln(x+m)-mx
(2)设m>
1,
x1,x2为函数f(x)的两个零点,求证x1+x2<
例9.已知函数f(x)=x-lnx,若两相异正实数x1,x2满足f(x1)=f(x2),求证:
(x1)+f'
(x2)<
0.
例10.已知函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若h(x)=(x2-x)f(x),且方程h(x)=m有两个不相等的实根x,x
,求证:
x2+x2>
12e
例11.已知b>
0,且blna-alnb=a-b.
a+b-ab>
1;
a+b>
1+1>
ab
例12.已知函数f(x)=2lnx-ax,若x1,x2(x1<
x2)是f(x)的两个零点,证明:
⎛x1+2x2⎫<
3⎪
例13.设函数f(x)=ex-ax+a,其图像与x轴交于点A(x,0),B(x,0),证明:
(x1x2)<
例14.已知函数f(x)=lnx-x,设x>
x
0,求证:
x1
-f(x1)-f(x2)<
12x2+x2x-x
例15.设f(x)=x-aex(a∈R),x∈R.已知函数y=f(x)有两个零点x,x,且
x1<
x2.
x2随着a的减小而增大;
x1
(3)证明:
x1+x2随着a的减小而增大.
例16.对于正数a,b,且a≠b,求证:
<
a-b
lna-lnb
a+b
,
例17.设函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x的两个零点是x,x,求证:
f'
⎛x1+x2⎫<
12ç
2⎪
例18.已知函数f(x)=lnx-1,g(x)=ax+b
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的范围;
(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx-1图像的切线a+b的最小值;
(3)当b=0时,若f(x)和g(x)的图像有两个交点A(x,y),B(x,y
),求证xx
e2
(e≈2.8,ln2≈0.7,
≈1.4)
112212
专题六导数处理数列求和不等式
例1.已知函数f(x)=x-1-alnx。
(1)若f(x)≥0
,求a的值;
(2)设m为整数,且对于任意正整数n⎛1+1⎫⎛1+
1⎫⎛1+
1⎫<
m
,求m的最小值。
2⎪ç
22⎪ç
2n⎪
è
ø
è
ø
例2.已知函数f(x)=ln(x+1)-ax在x=-1处的切线斜率为1.
(1)求f(x)的最大值;
当n∈N*时,1+1+1++1>ln(n+1).
23n
(3)设g(x)=b(ex-x),若g(x)≥f(x)恒成立,求实数b的取值范围.
例3.已知函数f(x)=lnx+
2.
x+1
(1)试比较f(x)与1的大小;
ln(n+1)>
1+1+1++1(n∈N*).
3572n+1
例4.已知函数f(x)=asin(1-x)+lnx.
(1)若f(x)在(0,1)上单调递增,求实数a的取值范围;
sin
1
(1+1)2
+
sin
(2+1)2
++sin
(8+1)2
<ln9.
5
例5.已知函数f(x)=a(x-1)-2lnx.
(1)若对于任意x≥1,有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
22
+1+1
3242
++1
n2
>2ln
2nn+1
-3.
4
例6.已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值
对于任意的正整数n,不等式2+3+4++n+1>
ln(n+1)都成立
49n2
例7.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1)
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间
⎨y-x≤0
(2)当x∈[0,+∞)时,函数y=f(x)图像上的点都在⎧x≥0
⎩
所表示的平面区域内,求实
数a的取值范围
⎛1+
2⎫⎛
⎪ç
4⎫⎛
⎛
1+
2n
n-1n
⎫
⎪<
e(其中n∈N
*,e是
⎝2⨯3⎭⎝
3⨯5⎭⎝
5⨯8⎭ç
(2+1)(2+1)⎪
例8.
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- 导数 压轴 处理 套路