直方图均衡化计算公式Word文件下载.docx

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（公式中Sk表示均衡化后的灰度值，∑表示总和，nj是原图中某个灰度色阶j的像素数量，j的范围是0~k，N是图像像素总数。

）

“色调均化”命令重新分布图像中像素的亮度值，以便它们更均匀地呈现所有范围的亮度级。

使用此命令时，Photoshop尝试对图像进行直方图均衡化（HistogramEqualization），即在整个灰度范围中均匀分布每个色阶的灰度值。

当扫描的图像显得比原稿暗，而您想平衡这些值以产生较亮的图像时，能够使用“色调均化”命令。

配合使用“色调均化”命令和“直方图”命令，能够看到亮度的前后比较。

使用“色调均化”命令：

1.选择菜单图像>

色调均化。

2.假如已选择一个图像区域，在弹出的对话框中选择要均化的内容，然后点按“好”。

∙“仅色调均化所选区域”只均匀地分布选区的像素。

∙“基于所选区域色调均化整个图像”基于选区中的像素均匀分布所有图像的像素。

原理

直方图均衡化是一种灰度变换算法，因此我们重点研究灰度图像的直方图均衡化。

绝对的均匀

图A是一个黑白灰均匀渐变，0~255的每一个色阶的灰度数量差不多上相同的。

图B的是图A的像素打乱了顺序随机分布的，每种灰度的数量都与图A的相同，因而它的直方图也与图A的相同。

图A和图B的直方图。

每种灰度数量是相同的，直方图呈一个黑色矩形。

近似的均匀

关于一般的图像，由于每种灰度的像素数量并不相同，我们没方法把每种灰度的重量调得像图A、B那么均匀，然而能够做到近似的均匀。

也确实是讲，把直方图横向平均分成几份之后，使每一份的像素数量大致相等。

下面是一幅图片的直方图，共有19200个像素，从左到右平均分成三份。

均衡化之后，每份的像素数量都在6400左右。

手工调整方法

我们拍摄或扫描的照片往往会由于光线太强或太弱，使图像对比度减弱，细节分辨不清。

如此的图像直方图灰度往往都集中在某一色阶范围之内，我们需要将这些灰度拉伸到整个灰度级上，并使它们在直方图中均匀的分布，以达到增强图像的目的。

现在我们要通过Photoshop的曲线调整（图像>

曲线）来把一幅图片的灰度分布调整均匀。

上图的直方图图形能够近似地看成三个高峰两个低谷。

先把曲线的起点和终点（黑白场）拉到与图形等宽，再通过曲线把两个低谷拉高一些，这时灰度分布就显得比较均匀了。

调整之后的图像和直方图。

直方图均衡化确实是要通过某种算法来实现上面手工调整的效果。

算法

经典算法

下面以一幅3*2像素的简单图片（图C）为例，来讲明灰度直方图均衡化的算法。

（图C）

图C的直方图：

注意看百分位（Percentile）这一项。

一般软件的百分位是当前色阶的像素数量÷

总像素数量，而Photoshop不同，Photoshop显示的是当前色阶与前面色阶的所有像素数量÷

总像素数量。

因此图C色阶为100时的百分位确实是（3+2）/6=5/6=83.33%，那个百分位事实上确实是我们要求的灰度值（范围0~1），把它转换成0~255的范围，要再乘255。

求出每个色阶的百分位之后，再乘255，就能够求出与其对应的灰度值来。

色阶数量出现频率百分位255*百分位

依照每个色阶的色阶->

255*百分位的对应关系组成一个灰度映射表，然后依照映射表来修改原来图片每个像素的灰度值。

关于图C，用128替换50，用212替换100，用255替换200。

如此，灰度直方图的均衡化就完成了。

Photoshop的算法

通过经典算法均衡化的图片，最亮的像素值总是255，因为最后一级色阶（255）的百分位一定是100%。

而最暗的是由色阶0的数量决定的，像素值不一定是0。

Photoshop通过对比度拉伸的方法使最暗的像素值变为0，其它像素也相应变暗，最亮的像素保持255不变。

对比度拉伸后的效果可能会比经典算法稍显偏暗。

对比度拉伸的算法，类似于使用色阶调整命令把黑场设成Min时的效果，Min是指像素数量不为0的第一个色阶。

对比度拉伸的公式：

C=（Level-Min）*Scale=（Level-Min）*255/（255-Min）

图C均衡化之后的灰度值分不是128、212、255，为了精确，我们使用保留2位小数的形式（127.50、212.42、255.00）来进行对比度拉伸的计算。

Min=127.50'

均衡化之后的最小值

Scale=255/（255-Min）=2

（127.50-Min）*Scale=0*2=0

（212.42-Min）*Scale=84.92*2=170

（255.00-Min）*Scale=127.5*2=255

'

新的映射表：

50->

0

100->

170

200->

255

经典算法和Photoshop算法的直方图比较。

彩色算法

彩色的直方图均衡化事实上确实是对图像某个或多个颜色通道进行灰度直方图均衡化运算，常见的有以下几种方法：

1.统计所有RGB颜色通道的直方图的数据并做均衡化运算，然后依照均衡化所得的映射表分不替换R、G、B通道颜色值。

2.分不统计R、G、B颜色通道的直方图的数据并做均衡化运算，然后依照R、G、B的映射表分不替换R、G、B通道颜色值。

3.用亮度公式或求RGB的平均值的方式计算亮度通道，然后统计亮度通道的直方图的数据并做均衡化运算，然后依照映射表分不替换R、G、B通道颜色值。

Photoshop用的是第一种方法。

总结

直方图均衡化是灰度变换的一个重要应用，它高效且易于实现，广泛应用于图像增强处理中。

图像的像素灰度变化是随机的，直方图的图形高低不齐，直方图均衡化确实是用一定的算法使直方图大致平和。

均衡化处理后的图象只能是近似均匀分布。

均衡化图象的动态范围扩大了，但其本质是扩大了量化间隔，而量化级不反而减少了，因此，原来灰度不同的象素经处理后可能变的相同，形成了一片的相同灰度的区域，各区域之间有明显的边界，从而出现了伪轮廓。

假如原始图像对比度本来就专门高，假如再均衡化则灰度调和，对比度降低。

在泛白缓和的图像中，均衡化会合并一些象素灰度，从而增大对比度。

均衡化后的图片假如再对其均衡化，则图像可不能有任何变化。

灰度直方图均衡化的算法，简单地讲，确实是把直方图的每个灰度级进行归一化处理，求每种灰度的累积分布，得到一个映射的灰度映射表，然后依照相应的灰度值来修正原图中的每个像素。

经典的直方图均衡化算法可能存在以下一些不足：

1.输出图像的实际灰度变化范围专门难达到图像格式所同意的最大灰度变化范围。

2.输出图像的灰度分布直方图尽管接近均匀分布,但其值与理想值1/n仍有可能存在较大的差异,并非是最佳值。

3.输出图像的灰度级有可能被过多地合并。

由于灰度的吞噬也易造成图像信息的丢失。

为此人们提出了许多改进的直方图均衡算法，详细内容请参阅本文末尾提供的参考资料。

公式

要写论文的同学可能需要用数学的方式来描述，下面我把前面讲的内容概括成公式，以供参考。

概率密度函数（PDF）

为了计算方便，我们需要将直方图归一化，即把灰度范围由0~255变为0~1。

归一化后的直方图事实上确实是一个概率密度函数（PDF,probabilitydensityfunction），均衡化确实是令概率密度为1。

我们用Pr（r）来表示原图像的PDF，用Ps（s）表示均衡化之后的PDF，r、s分不代表均衡化前后的灰度值，r,s∈[0,1]。

依照概率论的知识，可得出：

公式中T-1（s）代表T（r）的逆变换函数。

因为我们要求的概率密度为1，即：

因此：

由此得出：

等式两边对r积分，即可得出PDF的均衡化公式：