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了解导数与微积分的生成背景与其思想的重要性。
客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。
比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。
三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。
”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。
到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来,大约有四种主要类型的问题:
第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;
英国的巴罗、瓦里士;
德国的开普勒;
意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。
他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。
牛顿在流数术中所提出的中心问题是:
已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);
已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。
德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》。
就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。
他以含有现代的微分符号和基本微分法则。
1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。
他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。
现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。
前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的。
微积分也是这样。
不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。
英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。
其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。
比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是正是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。
他们的研究各有长处,也都各有短处。
那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。
应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。
他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。
牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;
莱布尼茨的也不能自圆其说。
这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。
才使微积分进一步的发展开来。
任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。
在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:
瑞士的雅科布·
贝努利和他的兄弟约翰·
贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……
欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。
微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。
微积分的基本内容
研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。
这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括:
极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括:
定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。
此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
哥德巴赫猜想
了解有关哥德巴赫猜想的背景与知识,提高学生学习数学的兴趣
哥德巴赫(GoldbachC.,1690.3.18~1764.11.20)是德国数学家;
出生于格奥尼格斯别尔格(现名加里宁城);
曾在英国牛津大学学习;
原学法学,由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣;
曾担任中学教师。
1725年,到了俄国,同年被选为彼得堡科学院院士;
1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书;
1742年,移居莫斯科,并在俄国外交部任职。
【哥德巴赫猜想的来源】
1729年~1764年,哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了一个命题。
他写道:
"
我的问题是这样的:
随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和:
77=53+17+7;
再任取一个奇数,比如461,
461=449+7+5,
也是这三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。
这样,我发现:
任何大于7的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢?
虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是一个别的检验。
"
欧拉回信说:
“这个命题看来是正确的,但是他也给不出严格的证明。
同时欧拉又提出了另一个命题:
任何一个大于2的偶数都是两个素数之和,但是这个命题他也没能给予证明。
”
不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:
2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4.
若欧拉的命题成立,则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。
因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。
数学改变我们的思维
高中学生学习点数学史有利于学生学好数学,有利于培养学生的思维品质,改变学生的思维习惯,调动学习数学的积极性,有利于培养学生全面发展,培养他们坚贞不屈的学习意志力。
培养他们热爱科学、团结协作、热爱祖国的优良品德,所以在高中数学教学中必须引进数学史的学习。
“学史使人明智”要学好一门学科必须掌握它的发展史,要学好数学,必须学一点数学史。
《新标准》明确提出要使学生“初步了解数学产生与发展的过程,体会数学对人类文明发展的作用”,要求培养学生的情感态度与价值观,而现阶段高中学生对数学的看法大都停留在感性的层面上——枯燥、难学。
数学的本征是什么?
当今数学究竟发展到了哪个阶段?
在科学中的地位如何?
与其它学科有什么联系?
这些问题大都不被学生全面了解,而从一些数学史中可以找到这些问题的答案。
例如:
历史上为什么要发展对数这个概念?
如果学生搞懂了对数的发展历程,就能更好地理解与应用对数,也就更大的激发学生的学习兴趣。
1.学习数学史中数学家的思维方式及坚贞不屈数学习习品质有利于培养学生正确的数学学习习惯与数学思维方式。
现行的数学教材一般都是经过了反复推敲的,语言十分精练简洁。
为了保持了知识的系统性,把教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排,缺乏自然的思维方式,对数学知识的内涵,以及相应知识的创造过程介绍也偏少。
虽利于学生接受知识,但很容易使学生产生数学知识就是先有定义,接着总结出性质、定理,然后用来解决问题的错误观点。
在教学与学习的过程中存在着这样一个矛盾:
一方面,教育者为了让学生能够更快更好的掌握数学知识,将知识系统化;
另一方面,系统化的知识无法让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善,一步一步成熟起来的。
影响了学生正确数学思维方式的形成。
我们在讲程序设计的算法案例:
秦九韶算法时讲一点数学史,介绍我国数学家陈景润在探究数论方面歌德巴赫猜想上勇摘数学皇冠省的明珠“证明了‘1+2=2’的坚贞不屈的探究精神,激发学生刻苦学好数学。
2.学习数学史有利于培养学生对数学的兴趣,调动学习数学的积极性。
动机是激励人、推动人去行动的一种力量,从心理学的观点讲,动机可分为两个部分;
人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机;
社会责任感构成了有利于创造的外部动机。
兴趣是最好的动机。
在日本中学生夺取国际IEA调查总分第一名的同时,却发现日本学生不喜欢数学的比例也是第一,这说明他们的好成绩是在社会、家长、学校的压力下获得的。
中国的情况如何呢?
尚无全面的报道,但河南省新乡市四所中学的高中生学习数学情况的调查发现:
“我不喜欢数学,但为了高考,我必须学好数学”的学生占被调查者的比例高达62.21%,而对数学“很感兴趣”的只有23.12%。
可见目前中学生的学习动机不明确,对数学的兴趣也很不够,这些都极大地影响了学习数学的效果。
但这并不是因为数学本身无趣,而是它被我们的教学所忽视了。
在数学教育中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣,克服动机因素的消极倾向。
再讲等差数列求和公式时,引进高斯的小学时的算法,既培养了学生的观察动脑学习习惯,又交给了学生研究等差数列求和公式的探究方法。
3.学习数学史培养了学生热爱科学、团结协作、热爱祖国的优良品德。
在《标准》的要求下,德育教育已经不是像以前那样主要是政治、语文、历史这些学科的事了,数学史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能,我们从下几个方面来探讨一下。
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。
现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就,对我国在数学史上的贡献提得很少,其实中国数学有着光辉的传统,有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家,有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就,对其中很多问题的研究也比国外早很多年,月球上的上就有以祖冲之命名的。
《标准》中“数学史选讲”专题3就是“中国古代数学瑰宝”,提到《九章算术》、《贾宪三角》、《勾股定理》、“孙子定理”这些有代表意义的中国古代数学成就。
然而,现阶段爱国主义教育又不能只停留在感叹我国古代数学的辉煌上。
从明代以后中国数学逐渐落后于西方,20世纪初,中国数学家踏上了学习并赶超西方先进数学的艰巨历程。
《标准》中“数学史选讲”专题11——“中国现代数学的发展”也提到要介绍“现代中国数学家奋发拼搏,赶超世界数学先进水平的光辉历程”。
在新时代的要求下,除了增强学生的民族自豪感之外,还应该培养学生的“国际意识”,让学生认识到爱国主义不是体现在“以己之长,说人之短”上,在科学发现上全人类应该相互学习、互相借鉴、共同提高,我们要尊重外国的数学成就,虚心的学习,“洋为中用”。
学习数学史可以引导学生学习数学家的优秀品质。
任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的,无理数的发现,非欧几何的创立,微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。
数学家们或是坚持真理、不畏权威,或是坚持不懈、努力追求,很多人甚至付出毕生的努力。
阿基米德在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中,为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。
欧拉31岁右眼失明,晚年视力极差最终双目失明,但他仍以坚强的毅力继续研究,他的论文多而且长,以致在他去世之后的10年内,他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。
对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说,介绍这样一些大数学家在遭遇挫折时又是如何执著追求的故事,对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。
学习数学史可以提高学生的数学素养与美学修养。
数学是美的,无数数学家都为这种数学的美所折服。
能欣赏美的事物是人的一个基本素质,数学史的学习可以引导学生领悟数学美。
很多著名的数学定理、原理都闪现着美学的光辉。
例如毕达哥拉斯定理(勾股定理)是初等数学中大家都十分熟悉的一个非常简洁而深刻的定理,有着极为广泛的应用。
两千多年来,它激起了无数人对数学的兴趣,意大利著名画家达芬奇、印度国王Bhaskara、美国第20任总统Carfield等都给出过它的证明。
1940年,美国数学家卢米斯在所著《毕达哥拉斯命题艺术》的第二版中收集了它的370种证明,充分展现了这个定理的无穷魅力。
黄金分割同样十分优美和充满魅力,早在公元前6世纪它就为毕达哥拉斯学派所研究,近代以来人们又惊讶地发现,它与著名的斐波那契数列有着十分密切的内在联系。
同时,在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时,可以形成对数学良好的情感体验,数学素养和审美素质也得到了提高。
综上所述,学习数学史是素质教育的需要,是全面教育及面向全体学生的需要,是学好数学和数学本身学习的需要,是培养学生良好品德的需要,也是培养学生成为一个合格公民的需要。
高中生必须学习数学史
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