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想一想15比10和10比15一样吗？

它们有什么不同？

（引导学生理解比的前项、后项所表示的意义不同。

（二）不同类量的比

课件出示：

“神舟”五号进入运行轨道后，在距地350km的高空作圆周运动，平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km。

那么飞船进入轨道后平均每分钟飞行多少千米？

1．读题理解题意，说说知道了哪些信息？

2．独立解答，说清解题思路。

（速度可以用“路程÷

时间”表示。

3．尝试用比表示路程和时间的关系。

（路程和时间的比是42252比90，记作42252:

90。

（三）比较分析

1．观察比较。

观察这三个比，说说它们有什么联系与区别？

（引导学生发现这三个比都表示相除的关系，但前两个比中两个量都表示长度，相比的两个量是同类量；

第三个比中的两个量，一个表示路程，一个表示时间，是不同类量，不同类量的比可以表示一个新的量。

想一想，路程与时间的比可以表示哪个量？

（速度）

2．归纳：

什么叫比？

（板书：

两个数的比表示两个数相除。

【设计意图】在比较分析中让学生进一步感受“比”和除法的联系，加深对同类量与不同类量比的意义的理解，对比的概念形成较为清晰的认识。

三、自主学习，加深认识

（一）深化理解

1．自学比的相关知识。

学生自学教材第49页“做一做”之前的内容，思考以下问题：

比各部分的名称是什么？

怎样求一个比的比值？

2．汇报交流。

（1）比各部分的名称。

15:

10=15÷

10=,让学生说出比的各部分名称。

前项、比号、后项、比值。

（2）比值的意义。

怎样求一个比的比值呢？

（比的前项除以比的后项所得的商就是比值。

（3）练习：

求出下列各比的比值：

3:

5；

0.4:

0.16；

:

8。

比和比值有什么区别？

（引导学生小结：

比表示一种关系，而比值是一个数，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。

【设计意图】自主学习也是学生探索问题、解决问题的重要途径。

教师把学习的主动权交给学生，引导学生在抽象概括出比的意义的基础上自主学习比的相关知识，促进学生自主探究能力的发展。

（二）沟通联系　　

1．师：

同桌讨论一下，比与除法、分数之间有什么联系？

比的前项、后项和比值分别相当于分数和除法算式中的什么？

比的后项可以是0吗？

讨论后根据学生交流反馈填写下表：

联系区别

比前项:

（比号）后项比值一种关系

除法被除数÷

（除号）除数商一种运算

分数分子—（分数线）分母分数值一个数

2．请尝试用字母表示比和除法、分数之间的内在联系。

根据分数与除法的关系，两个数的比还可以写成分数形式。

如15:

10也可以写成

，仍读作“15比10”。

3．师：

足球比赛中的比分3:

0与我们今天学习的比一样吗？

（引导学生理解：

各类比赛中的比不是我们这节课学习的比，它只是一种计分形式，是比较大小的，是相差关系，不是相除关系。

【设计意图】在讨论交流中，教师引导学生进一步认识比和除法、分数之间的联系与区别，体会数学知识间的内在联系。

四、巩固知识，应用拓展

1．P49“做一做”第1题。

（1）出示课件，让学生根据条件和要求写出比并求出比值。

反馈交流时，让学生说说两个相比的量是同类量吗？

并说说有什么发现？

（发现是同类量的比，这两个比的比值相等。

（2）提问：

小敏所花的钱数和练习本数之比是（）：

（），比值是（）。

请学生思考这两个比的量是同类量吗？

比值表示什么意思？

（所花钱数和练习本数是不同类的量，比值表示单价。

【设计意图】结合具体情境帮助学生巩固比的概念，为以后学习比例打下基础。

2．P49“做一做”第2题。

学生独立完成。

反馈时，说说未知的前项或后项是怎样求出的。

（引导学生根据比与除法的关系求出未知的前项或后项，归纳一般方法：

前项=比值×

后项；

后项=前项÷

比值。

【设计意图】通过练习，引导学生进一步理解比和除法的关系，学会灵活运用所学知识解决实际问题。

3．练习十一第1题。

（1）请学生独立完成，反馈交流时引导学生明确比的前项、后项是有顺序的，前项、后项所表示的量与数据之间必须一一对应；

第（3）题请学生说说比值的具体含义是什么。

（表示平均每人制作的模型数量。

你还可以写出哪几个比？

说出它们的具体含义。

（引导学生说出多个量的比。

【设计意图】在具体情境中，教师充分挖掘习题资源，引导学生从量与量的关系这一角度去认识比，明确两个量（多个量）的比表示的是它们之间的倍数关系，进一步加深对比的意义的理解，深化对比的认识。

五、回顾总结，交流收获

说说这节课我们学习了什么？

你有什么收获或问题？

【设计意图】通过回顾，理顺各个知识点，让学生明确学习了什么内容，反思自己知识掌握情况。

《比的基本性质》教学设计

人教版小学数学教材六年级上册第50～51页内容及相关练习。

1．理解和掌握比的基本性质，并能应用比的基本性质化简比，初步掌握化简比的方法。

2．在自主探索的过程中，沟通比和除法、分数之间的联系，培养观察、比较、推理、概括、合作、交流等数学能力。

3．初步渗透转化的数学思想，并使学生认识知识之间都是存在内在联系的。

理解比的基本性质

正确应用比的基本性质化简比

课件，答题纸，实物投影。

一、复习引入

同学们先来回忆一下，关于比已经学习了什么知识？

预设：

比的意义，比各部分的名称，比与分数以及除法之间的关系等。

2．你能直接说出700÷

25的商吗？

（1）你是怎么想的？

（2）依据是什么？

3．你还记得分数的基本性质吗？

举例说明。

【设计意图】影响学生学习的一个重要因素就是学生已经知道了什么，于是此环节意在通过复习、回忆让学生沟通比、除法和分数之间的关系，重现商不变性质和分数的基本性质，为类比推出比的基本性质埋下伏笔。

同时，还有机渗透了转化的数学思想，使学生感受知识之间存在着紧密的内在联系。

二、新知探究

（一）猜想比的基本性质

我们知道，比与除法、分数之间存在着极其密切的联系，而除法具有商不变性质，分数有分数的基本性质，联想这两个性质，想一想：

在比中又会有怎样的规律或性质？

比的基本性质。

2．学生纷纷猜想比的基本性质。

比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

3．根据学生的猜想教师板书：

【设计意图】比的基本性质这一内容的学习非常适合培养学生的类比推理能力，学生在掌握商不变性质和分数的基本性质的基础上，很自然地就能联想到比的基本性质，这不仅激发了学生的学习兴趣，同时也很好地培养了学生的语言表达能力。

（二）验证比的基本性质

正如大家想的，比和除法、分数一样，也具有属于它自己的规律性质，那么是否和大家猜想的“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”一样呢？

这需要我们通过研究证明。

接下来，请大家分成四人小组合作学习，共同研究并验证之前的猜想是否正确。

1．教师说明合作要求。

（1）独立完成：

写出一个比，并用自己喜欢的方法进行验证。

（2）小组讨论学习。

①每个同学分别向组内同学展示自己的研究成果，并依次交流（其他同学表明是否赞同此同学的结论）。

②如果有不同的观点，则举例说明，然后由组内同学再次进行讨论研究。

③选派一个同学代表小组进行发言。

2．集体交流（要求小组发言代表结合具体的例子在展台上进行讲解）。

根据比与除法、分数的关系进行验证；

根据比值验证。

3．全班验证。

；

16:

20=（16○□）:

（20○□）。

4．完善归纳，概括出比的基本性质。

上题中○内可以怎样填？

□内可以填任意数吗？

为什么？

（1）学生发表自己的见解并说明理由，教师完善板书。

（2）学生打开书本读一读比的基本性质，教师板书课题。

（比的基本性质）

5．质疑辨析，深化认识。

利用比的基本性质做出准确判断：

（1）

（ 

（2）

（ 

（3）

）

（4）比的前项乘3，要使比值不变，比的后项应除以3。

（ 

【设计意图】基于猜想的学习必定需要来自学生的自主探究进行验证，而合作探究又是一种良好的学习方式，但合作学习不能流于形式。

合作学习首先要让学生独立思考，让学生产生自己的想法，然后再进行合作交流，这样可以促使每个学生经历自主探究的学习过程，交流过程中不仅培养了学生的推理概括能力，同时也真正内化了来自猜想的“比的基本性质”，从而大大提高了合作学习的实效性。

三、比的基本性质的应用

同学们，你们还记得我们学习分数的基本性质的用途吗？

什么是最简分数？

今天我们发现的比的基本性质也有一个非常重要的用途──可以化简比，进而得到一个最简整数比。

（一）理解最简整数比的含义。

1．引导学生自学最简整数比的相关知识。

前项、后项互质的整数比称为最简整数比。

2．从下列各比中找出最简整数比，并简述理由。

3:

4；

18:

12；

19:

0.75:

2。

（二）初步应用。

1．化简前项、后项都是整数的比。

（课件出示教材第50页例1）

学生独立尝试，化简后交流。

（1）15:

10=（15÷

5）:

（10÷

5）=3:

2；

（2）180:

120=（180÷

□）:

（120÷

□）=（ 

）:

）。

预设：

除以最大公因数和逐步除以公因数两种方法，但重点强调除以最大公因数的方法。

2．化简前项、后项出现分数、小数的比。

（课件出示）

师：

对于前项、后项是整数的比，我们只要除以它们的最大公因数就可以了，但是像

:

和0.75:

2， 

这两个比不是最简整数比，你们能自己找到化简的方法吗？

四人小组讨论研究，找到化简的方法。

学生研究写出具体过程，总结方法，并选代表展示汇报。

教师对不同方法进行比较，引导学生掌握一般方法。

含有分数和小数的比都要先化成整数比，再进行化简。

有分数的先乘分母的最小公倍数；

有小数的先把小数化成整数之后，再进行化简。

3．归纳小结：

同学们通过自己的努力探索，总结出了将各类比化为最简整数比的方法。

化简时，如果比的前项和后项都是整数，可以同时除以它们的最大公因数；

遇到小数时先转化成整数，再进行化简；

遇到分数时，可以同时乘分母的最小公倍数。

4．方法补充，区分化简比和求比值。

还可以用什么方法化简比？

（求比值）

化简比和求比值有什么不同？

化简比的最后结果是一个比，求比值的最后结果是一个数。

5．尝试练习。

把下面各比化成最简单的整数比（出示教材第51页“做一做”）。

32:

16；

48:

40；

0.15:

0.3；

。

【设计意图】新课程标准提出教学中应该充分体现“以学生发展为本”的教学理念，充分发挥学生的主体作用，使学生成为学习的主人。

因此在运用比的基本性质化简比的教学过程中，通过自学、独立探究、小组合作等方式，为学生创造一个积极的数学活动的机会，鼓励学生自主探究，找到化简比的方法。

四、巩固练习

（一）基础练习

1．教材第53页第4题。

把下列各比化成后项是100的比。

（1）学校种植树苗，成活的棵数与种植总棵数的比是49:

50。

（2）要配制一种药水，药剂的质量与药水总质量的比是0.12:

1。

（3）某企业去年实际产值与计划产值的比是275万:

250万。

2．教材第53页第6题。

（二）拓展练习（PPT课件出示）

学生口答完成。

1．2:

3这个比中，前项增加12，要使比值不变，后项应该增加（ 

2．六

（1）班男生人数是女生人数的1.2倍，男生、女生人数的比是（ 

），男生和全班人数的比是（ 

），女生和全班人数的比是（ 

）

【设计意图】练习的设计要紧紧围绕教学的重难点，同时练习的编排应体现从易到难的层次性。

第1题是针对比的基本性质的基础练习，同时也为后续百分数的学习埋下伏笔。

第2题训练单位不同的两个数量的比的化简方法，培养学生的审题能力。

拓展练习不仅发展学生思维的灵活性、培养学生的创造能力，而且很好地巩固了本节课的知识，同时这类题型也是分数应用题、比例应用题的基础训练，也为以后分数应用题和比例应用题的学习打下扎实的基础。

五、课堂小结

这节课你有什么收获？

还有什么疑问？

《按比分配解决问题》教学设计

教学内容：

人教版小学数学教材六年级上册第54页例2及相关练习。

教学目标：

1．能在实例的分析中理解按比分配的实际意义。

2．初步掌握按比分配的解题方法，运用所学知识解决按比分配的实际问题。

3．通过贴近学生生活的实例学习，在观察、研讨、交流中让学生感受到数学学习和活动的乐趣。

教学重点：

理解按比分配的意义，能运用比的意义解决按比分配的实际问题。

教学难点：

自主探索解决按比分配实际问题的策略，能运用不同的方法多角度解决按比分配的实际问题。

　　教学准备：

课件。

　　教学过程：

　　一、情境导入

课件出示：

女生与男生的人数比是5:

7。

“女生和男生的人数比是5:

7”，从这句话中，你得到了哪些信息？

【设计意图】一条简单的现实生活信息，不但使学生体会到数学与生活的联系，激发了学生的学习兴趣，而且培养了学生分析问题、解决问题的能力。

　　二、实例探究

（一）自主探索

1．出示：

六

（2）班一共有48人，女生与男生的人数比是5:

根据这两条信息，你能求出什么？

男生、女生各有多少人呢？

你会算吗？

2．学生独立尝试。

3．同桌交流。

与同桌交流一下你的想法和做法，有不同的方法都可以写下来。

（教师巡视指导）

4．汇报：

请不同做法的学生上台板演，交流汇报。

预设

（1）：

48÷

（5+7）=4（人）；

女生：

4×

5＝20（人）；

男生：

7＝28（人）。

介绍一下你的想法吧。

第一步求的是什么？

第二步和第三步分别是什么意思？

这种方法是先求什么？

再算什么？

还有不同的解决方法吗？

预设

（2）：

女生：

（人）；

（人）。

这种方法中，

是什么意思？

呢？

5．小结：

刚才同学们用不同的方法解决了同一个问题，我们再一起来看看（配合课件演示）。

方法一是根据比的意义，看看一共分成几份，先求出一份的数量，再算几份的数量；

方法二是根据比与分数的关系，看看男生、女生各占总人数的几分之几，再用分数的知识来解决。

这两种方法都不失为好方法，你更喜欢哪种方法？

【设计意图】在引导学生探究时，没有直接用书本上的例题，而是用了班级男生、女生人数比这一实际情况。

因为是学生非常熟悉的事例，所以学生很乐意去探索、交流、实践。

这样的设计不仅降低了学习的难度，而且激发了学生的学习兴趣。

（二）揭示课题

像上题这样，把数量按一定的比来进行分配的方法叫做按比分配。

今天我们就一起学习按比分配。

按比分配）

（三）实践尝试

出示例2：

这是某种清洁剂浓缩液的稀释瓶，瓶子上标明的比表示浓缩液和水的体积之比。

按照这些比，可以配制出不同浓度的稀释液。

1．阅读与理解。

浓缩液和稀释液指的是什么？

（浓缩液是纯清洁剂，稀释液是加水之后的清洁剂。

你能用刚才的方法解决这一问题吗？

（学生独立解题，交流汇报。

2．分析与解答。

每份是500÷

5=100（mL），浓缩液有100×

1=100（mL），水有100×

4=400（mL）。

这里的5表示什么？

（把总体积平均分成5份。

浓缩液有

（mL），水有

（mL）。

表示什么？

（浓缩液占总体积的

（水占总体积的

3．回顾与反思。

可以用怎样的方法对结果进行验证？

看浓缩液与水的比是不是等于1:

4。

小结：

体现在问题解决的过程中，要看清楚1:

4到底是哪两个量之间的比。

【设计意图】把书上的例2作为尝试题，让学生独立尝试、交流，最后进行小结。

这样不但培养了学生独立审题、分析的能力，而且进一步加深对两种方法的理解，让学生初尝成功的乐趣。

三、实践应用

（一）基本练习

1．师：

打开教材第55页，看第一题。

（1）师：

用自己喜欢的方法独立算一算，看谁算得又快又对。

（2）交流：

说说你的方法。

2．出示：

李伯伯家里的菜地共800平方米，他准备种黄瓜和茄子。

请你来设计一下，可以怎么分配？

预设一：

1:

如果按1:

1分配，那么种黄瓜和茄子的面积分别是多少平方米？

（学生自主计算）

通过计算，发现按1:

1分配其实就是我们以前学过的“平均分”。

是的，平均分就是按1:

1分配，是按比分配中的特例。

对于其余各种分配方法，都让学生快速算一算再交流。

（二）发展提高

增加点难度行不行？

我把这一题变一下。

出示教材第56页第7题：

李伯伯家里的菜地共800平方米，他准备用

种西红柿，剩下的按2：

1的面积比种黄瓜和茄子。

三种蔬菜的面积分别是多少平方米？

（1）比较：

这一题和前几题相比，有什么不同？

（2）分析：

这一题是把哪个数量进行分配，按怎样的比来分配？

这个数量直接告诉我们了吗？

所以我们应该先算什么？

那你会算吗？

（3）学生尝试。

（4）交流算法。

你是怎么算的？

（展示学生作业）还有同学用其他方法做吗？

介绍一下你们的方法。

这几位同学的方法有什么共同点？

有什么不同点？

学校把栽70棵树的任务按照六年级三个班的人数分配给各班。

一班有46人，二班有44人，三班有50人。

三个班各应栽多少棵树？

（1）比较分析：

这一题又有什么不一样？

没有直接给出“比”，不能直接按比分配了，那怎么办？

我们可以先求出比，再按比进行分配。

（2）学生独立尝试，交流算法。

（三）小结

通过上面两个问题的解答，你觉得在解答按比分配的问题时应注意什么？

说得对，在解答这类问题时，我们要认真审题，看清楚是对哪个数量进行分配，是按什么比分配的；

如果题目没有直接给出比，我们要先根据题目信息求出比，再按比分配。

【设计意图】创设问题情境，从基本练习到综合性较强的问题，再到没有直接给出比的题目，层层深入，让学生在解决实际问题的过程中感受学习的乐趣和价值，不仅培养了学生独立解题的能力，而且还可以让学生在实践的探索中验证、品尝自己的学习成果，再次感受成功带来的乐趣。

四、课堂总结

学到这里，谁能告诉我们，今天这节课我们主要研究了什么？

说说你的收获和感受。

（指名回答）

2．课外延伸。

比在生活中应用非常广泛，请你课后搜集生活中的实例，编一道按比分配的题目，在下一节课中进行交流学习。

【设计意图】让学生自己抓住“收获”、“感受”来进行课堂总结，可以再次让学生对所学知识进行梳理，培养评价、反思的能力，让学生更加深切地感受到数学的魅力。