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组合与组合数公式及性质
一.复习引入
二.讲授新课
1.组合、组合数概念、排列与组合的区别和联系
2.组合数公式推导
三.总结应用四.布置作业
教学程序
教师活动设计学生活动设计
一、导入新课
示例1:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,
其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种
不同的选法
示例2:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少
种不同的选法
引出课题:
组合
..问题.
二、讲授新课
1.组合的概念:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个
元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个组合.
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题:
⑴从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览;
(组合)
⑵从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和
团支部书记.(排列)
2.组合数的概念:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的
所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元
素的组合数.用符号m
n
C表示.
在讲解时一定要让学生去分析:
要解决的问题是排列问题还是组合问
题,关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算m
C呢
3.组合数公式的推导
⑴提问:
从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的组合数3
4
C
是多少呢
启发:
由于排列是先组合再排列
.........,而从4个不同元素中取出3个元素
的排列数3
A可以求得,故我们可以考察一下3
C和3
A的关系,如下:
组合排列
dcb
cdb
bdc
dbc
cbd
bcd
dca
cda
adc
dac
cad
acd
dba
bda
adb
dab
bad
abd
cba
bca
acb
cab
bac
abc
,
→
由此可知:
每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4
个不同元素中取出3个元素的排列数3
A,可以分如下两步:
①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有3
引导观察:
示例1中不
但要求选出2名同学,
而且还要按照一定的顺
序“排列”,而示例2
只要求选出2名同学,
是与顺序无关的.
注:
1.不同元素
2.“只取不排”——无
序性3.相同组合:
元素相同
例如:
示例2中从3个
同学选出2名同学的组
合可以为:
甲乙,甲丙,
乙丙.即有3
2
3
=
C种组
合
个;
②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有3
A种方
法.由分步计数原理得:
3
A=?
C3
A,所以:
4A
A
C=.
⑵推广:
一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数
m
①先求从n个不同元素中取出m
个元素的组合数m
C;
②求每一个组合中m个元素全排列
数m
A,根据分布计数原理得:
m
A=m
Cm
?
⑶组合数的公式:
!
)1
(
)2
)(
1
+
-
或
)!
(!
n-
)
(n
N
n≤
∈*且
形成性评价试题
例本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,
有多少种不同的分
法
略解:
90
6
C
例名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践
活动小组,问组成方法共有多少种
解法一:
(直接法)小组构成有三种情形:
3男,2男1女,
1男2女,分别有3
C,1
C?
2
所以一共有3
+1
+2
=100种方法.
解法二:
(间接法)100
10
-C
作业:
证明
C-
1+
=m
C+1-m
C.
.
(2)(4)
教学后记解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理.
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