《几何画板》辅助高中数学教学的研究Word下载.docx

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也能画出任意一个初等函数的图象（给出表达式）。

不仅如此，还能够对所有画出的图形、图象进行各种“变换”，如平移、旋转、缩放、反射等。

《几何画板》还提供了“测量”、“计算”等功能，能够对所作出的对象进行度量，如线段的长度、弧长、角度、面积等等，并把结果动态地显示在屏幕上。

《几何画板》所作出的几何图形是动态的，可以在变动的状态下，保持不变的几何关系，比如，无论您拖动三角形的一个顶点怎么移动，任意一边上的高总保持与这边垂直。

《几何画板》还能对动态的对象进行“跟踪”，并能显示该对象的“轨迹”，如点的轨迹、线的轨迹，形成曲线或包络，而且这种“跟踪”可以是人工的也可以是自动的。

《几何画板》能把您认为不必要的对象“隐藏”起来，然后又可以根据需要“显示”出来。

《几何画板》还能把您的画图工作制成为“脚本”，减轻您的工作量，如把您画正方体的过程记录下来，以后使用此“脚本”画正方体，只要两、三秒钟。

2、《几何画板》在函数方面的初步应用

大家知道，指数函数y=ax（a>

0且a1）的图像，因a的取值不同它的图像产生不同的变化趋势。

传统的教法是老师要在黑板上或幻灯片分别作出若干个具体的图像，最后再“观察”总结归纳出指数函数的一般图像的变化规律和性质。

事实上这个所谓的“观察”是老师告诉学生如何如何的结果。

现在用《几何画板》作出课件《指数函数的图像》，上课时让学生自己动手拖动两个控制按钮a，就可以实现观察图像变化的整个过程，真正由学生自己通过观察归纳总结出指数函数图像在各种情况下的变化趋势和性质（如图一）。

图二

图一

在使用《几何画板》之前，讲授

（a,bR）的图像时，老师告诉学生当a,b分别取何值时，该函数的图像是如何如何变化的，学生完全是靠记忆老师讲述的结果“掌握”知识的。

所以，在实际解题应用时，经常因为单调区间不清楚而出错。

使用《几何画板》给学生演示《

的图像》，使学生真正观察到了当a>

0且b>

0、a>

0且b<

0、a<

0时的四类图像的变化过程，同时还观察到了每类图象的渐近线。

特别是对于

x[c,d]的单调区间、最值问题有了一个更形象直观的认识。

每当学生遇到这样的问题时，就可以在大脑里自动生成具有动感的图像，为理解题意、分析问题、打开了一个方便之门（如图二）。

在讲授函数y＝Asin（ωx+φ）+k的图像时，要用几个课时的时间分别对A、ω、φ、k的不同取值做出图象，然后再“观察”总结，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索。

现在用《几何画板》展示《y=Asin（ωx+φ）+k的图像》，让学生分别拖动控制按钮A、ω、φ、K，就可以真正观察到函数图像生成的变化过程及结果。

学生间可以很好的“协作”，容许学生对一切想探试的值进行探试，来加深对这一问题的认识。

仅用一课时就可以完成教学任务、实现教学目标（如图三）。

图三

3、《几何画板》在解析几何教学中的初步应用

用《几何画板》展示直线、圆、圆锥曲线非常方便。

用《几何画板》展示曲线关于某点某线的对称图形让学生一目了然，也可以用《几何画板》展示习题。

如，一个定圆C半径为r，圆C上一动点P关于定点A的对称点为Q，将CP按逆时针方向绕C点旋转90度，得到圆C上另一个点M，试求MQ的最值，以及是否存在r使M、Q两点重合的问题。

让学生做出这个课件，只需拉动点P在圆C上滑动，或让P在C上动画，就可以直观形象地观察出P在何时MQ最大或最小.,再通过拖拉按钮r，可以看出确实存在r的某一个值，使M、Q重合。

这样以来学生对习题有了一个图象形成和变化的过程，为利用代数方法的计算提供了一个动画思维的基础（如图四）。

在课件《抛物线的性质》中，通过动画给学生展示了以抛物线过焦点的弦为直径的圆总与其准线相切；

以焦半径为直径的圆总与过顶点且垂直于对称轴的直线相切的“活图”。

有了这样的动画思维，进而激发学生自己动手用所学的知识证明这一图象事实的兴趣。

图四图五

4、《几何画板》在立体几何的初步应用

《几何画板》绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形、从二维空间向三维空间过渡的难题。

因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生的眼前。

为培养学生的空间想象能力开辟了一条捷径。

《几何画板》对图形的可控变功能为一图多用提供了一宽松的环境，可以减少大量的不必要的重复做图。

如在教授棱柱、棱锥、棱台时，我制作了课件《柱锥台》，上课时只需要通过控制按钮改变所需多面体的棱数、观察视角及柱锥台的相互转化、倾斜程度。

还可以分别度量高、面积和体积。

通过《几何画板》可以将原来黑板或幻灯片上的“死图象”变成一个“活图象”，真正把学生引入数形的世界。

《几何画板》减少了许多不必要的重复劳动，节省了课堂时间，提高了上课时间的利用率，为提高45分钟的授课质量奠定了基础（如图六）。

图六

5.运用《几何画板》，突破教学难点

在数学中引入坐标，数和形就统一起来了。

有些数量关系借助图形的性质，可以形象、直观地表现出来，同样一些图形的性质，借助数量的计算也可以显示出来。

因此每位教师都非常重视数形结合的教学，上课时尽量地画好图形，力求使图形展现出其变化的趋势。

但是无论怎么画，怎么用一个又一个的幻灯片给学生展示，也只能给出一个“死图”，如若加上教师生动的语言描述，还可以使部分有图像想象能力的学生在大脑中产生“活图”。

但对另一部分学生就达不到预期的目的，也只有靠死记硬背老师所讲述的结论来“掌握”知识。

使用《几何画板》，才真正实现了有形有色有声有变化过程的“活”的图形的数形结合的教学美梦，下面以《几何画板》在平面解析几何中的应用为例说明运用《几何画板》如何突破教学难点。

平面解析几何教学中，由于受工具、课时或时空等诸多因素的局限，数与形的结合过程往往不好表现，效果不尽人意。

曲线作为动点的运动轨迹只能依靠想象，方程作为变量间的数量关系也只能依赖示意图。

这种“一本书、一张嘴、粉笔加黑板”的教学模式，不仅教师教得苦、学生学得累，而且难以发现变化的图形中，恒定不变的几何规律。

运用“几何画板”神奇的测算本领和绝妙的动态模拟，创设问题情景，激发学生学习兴趣，突破用传统教学手段不好解决的教学难点，对提高课堂教学的时效大有脾益。

（1）、运用《几何画板》，突出概念的形成过程

曲线的方程和方程的曲线是解析几何的重要概念，理解辨析“两个关系”

是教学的难点，学生不理解规定“曲线上点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”的意义何在，各自起何作用，只从字句上死记硬背，或干脆认为同义反复，随后面对充分必要条件、轨迹的纯粹性完备性等一系列数学抽象学生更加费解，以至于高三总复习时，还有相当一部份学生对90全国高考题：

（A）（B）{（2,3）}（C）（2,3）（D）{（x,y）|y=x+1}

无法进行正确选择。

例1证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1（3,4），M2（2

2）是否在这个圆上。

借助“几何画板”平台，通过上例引出两个关系，直观表示概念的形成过程。

正面演示：

在⊙O：

x2+y2=25上任取一点P，“测算”坐标值后计算平方和，显示x02+yO2=25，制作动画让点P沿⊙O移动，学生观察到随点P的运动其坐标值自动更新，但x02+yO2=25保持不变。

另一方面，选中两端点在x轴上的⊙O直径，在其上任取一点P，“测算”该点横坐标x，计算

作为纵坐标y，绘制点M、M/，缓缓拖动点P，容易发现点M、M/总在⊙O上。

这样通过上述的动态模拟，用学生的亲身体验建立起“曲线上的点”与“方程的解”之间的对应关系，完成对“两个关系”的意义构建。

构造反例：

方程

（1）

（2）x4y4+25y225x2=0是否表示⊙O的方程？

学生从直觉上判断应该不是。

教师要求用“两个关系”加以验证：

当点P在下半圆运动时，存在曲线上混有坐标不是方程

（1）的解的点；

用方程

（2）的解

绘制点，发现曲线上缺漏坐标是方程

（2）的解的点。

从中领悟到二者缺一不可的道理，这将有助于学生理解，有助于学生通其法知其理。

引入计算机辅助教学，数与形的转换变得简单易行，从静态到动态,从特殊到一般，从正面到反面,弄清概念含义，让学生逐步通过自己的发现去学习数学，从中深刻揭示概念的本质属性。

（2）、运用“几何画板”，展示公式的推导公式

应用公式解题时，学生逆用、变用公式的能力总是显得薄弱，分析几何量

时，潜意识地用特殊位置的图形进行思维，对变式图的判断亦总是出错，究其原因，与我们在公式推导证明教学中缺乏变换数式与图形的情境不无关系。

与只重结果忽视证明过程中蕴含的数学思想方法不无关系。

教材中为降低难度，一般只画出一两个代表图形作为推导的载体，教师或因节省课时或因无法展示全部无奈以依此类推，同理可证而一笔带过。

事实是学生对特殊位置（如第一象限内）获得的公式仍存有余虑，几乎没有学生会认真去依此进行类推，同理继续论证、导致以偏概全，产生误解在所难免。

“几何画板”可以作为你的有力助手，容许你对一切想考虑的各种情况进行观察验证，来全方位多角度地审视问题的全貌，弄清公式的来龙去脉。

例2求点到直线的距离。

辅助线PM∥0y是怎样想出来的？

这是教学难点。

首先在“几何画板”平台上构造直线及外一

点P，任取上一点M沿运动，观察动态几何量

——线段PM长度，使学生加深理解“连结直线外一

点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，指出

数学上将此规定为点到直线的距离。

于是首先作出PQ于Q。

然后聚焦MP和MQ的位置关系。

“测算”的倾斜角（记为）和∠MPQ（记为1）的大小，继续点M沿直线下方的运动，观察1由0°

至90°

的变化过程，无需教师开口，学生从屏幕上就会发现：

当PM∥0y时，与1相等（<

90°

）或互补（>

）这一几何规律。

此时学生对为什

么作平行线以及怎样想到作平行线，心服、口服、眼也服。

这是传统教学在静态图中所难以实现的效果。

运用类比方法，容易获得第二种辅助线作法：

PM∥0X，这时与1的和（<

）或差（>

）恒为90°

。

最后上下拖动点P，旋转直线，上述几何关系保持不变！

整个过程教师一边制作演示一边跟踪分析，没有把证明思路强加给学生，始终让学生积极参与推导的全过程，取得了良好的教学效果。

（3）、运用“几何画板”，暴露解题的思维过程。

高考试题以“注重能力考查，突出选拨功能”倍受教学第一线教师的青睐，

成为高三数学总复习的当家资料，深入研究高考试题、发挥其理想的功效，一直是广大教师孜孜不倦追求的目标。

例3设A（x1，y1）为椭圆x2+2y2=2上的任意一点，过点A作一条斜率为

的直线，又设d为原点至直线的距离，r1，r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。

试证明：

=常数。

（87年上海高考题）

略解：

设过点A的直线的方程为

即x1x+2y1y=x12+2y12

∵x12+2y12=x12+2y12

r12=（x1+1）2+y12，r22=（x11）2+y12，

∴r12r2=

（x124）2

∴

=

（定值）

初看过于平淡，无需画图就可用代数方法顺利解决，若不去作深入分析，有违选题初衷和解题原则，错过提高的宝贵时机。

在变化的图形中为什么保持数量关系恒等不变？

学生对此缺乏感性认识。

即便画出静态图（往往是不正确的），也难以发现蕴含在其中的几何原理。

引入“几何画板”辅助教学：

打开课件（如图），推测与椭圆相切.

验证：

构造动画使点A沿椭圆运动，这时学生真正看到了随点A运动时，一直保持和椭圆相切。

“测算”距离r1、r2、d，学生清晰观察到点A运动时，r1、r2、d的值被不断刷新，然而

恒为定值

探索：

“测算”AF1和AF2与所成角的大小，

并列展示在平台上，提示学生注意两角关系，当

点A再次运动时，发现这两角保持相等。

说明AF1和AF2存在反射关系。

可方便进行实验：

过A作的垂线（法线）/，并标记镜面，构造点F1关于/的对点F1'

，结果看到点F1'

在射线AF2上。

结论：

（椭圆镜面的光学性质）一焦点发出的光线经椭圆面镜反射会聚另一焦点。

再探索：

例题中椭圆x2+2y2=2改为双曲线x2-2y2=2，结论还会成立吗？

重复以上操作，学生惊奇地发现结论是如此相似，还是双曲线的切线，

依然是定值

同样得出这样一个光学特性：

一焦点发出的光线经双曲线面镜反射，反射光线延长线会聚另一焦点。

应用：

上面从数学动态模拟中探索出隐含在其中的物理光学特性，反过来，我们为什么不能从熟悉的物理现象里抽象出数学本质呢？

探照灯原理：

从焦点出发的光线经抛物面镜反射后以平行于其对称轴的方向射出。

数学发现应用：

从抛物线上一点出发的两条射线，一条经过焦点另一条（位于抛物线外部）平行于对称轴，则这个角的平分线所在直线必定是过该点的抛物线的切线。

另外教学中还可以启发学生给出常数

的几何意义，归纳出过圆锥曲线上一点的切线的画法，这里怒不赘述。

（3）、运用《几何画板》，提示知识之间的内在联系。

静态的图形、图像使原本相互联系的知识割裂开来，失去了知识之间的内在联系，以往讨论方程（5k）x2+（k1）y2=（k1）（5k）表示的曲线的形状等特征，是化成标准方程，从理论到理论，静态地进行认识，不形象、不直观。

如下图，用《几何画板》，只要拖运点K，改变K的横坐标，可以看出当k连续变化（由大到小）时，方程所表示的曲线是怎样由双曲线（开口向上下）变形椭圆，又由“竖椭圆”变成“横椭圆”，最后又变为双曲线（开口向左右）的。

（4）、用《几何画板》课件为学生提供更多的参与学习的机会，提高学生观察、分析问题的能力。

课堂教学活动应以学生为主体，要尽可能地给学生多一些思考的时间，多一些活动的余地，多一些表现自我的机会，多一些尝试成功的愉悦，让学生自始至终参与到知识形成的全过程中。

《几何画板》课件具有渐进、形象、灵活等特点，它所呈现的直观画面不仅可以反复出现，而且可以适当调整演示节奏，这样便于学生接受、加工处理信息，有利于学生形成良好的知识结构。

总结：

对于一道试题，重要的不是试题本身，而在于对待试题的态度，教学中要讲背景和条件，要讲思路和过程，重视数学思想和方法，并能提出其本质，就可能得出更进一步更一般的结论。

从上面的过程看，经历实践——认识——再实践——再认识的过程，使学生自觉、主动、深层次地参与到教学活动之中，从数理两个方面发展探索能力、培养创新精神，加强应用意识，是实施素质教育的具体表现。

布鲁纳认为“探索是数学教学的生命”。

在利用“几何画板”探索几何奥秘的过程中，数形结合使人恍然大悟，发现规律让人欣喜莫名，数理综合更叫人耳目一新，师生们从内心的创造和体验中领悟到数学的真谛。

这将极大地调动学生的学习积极性，优化教学环境，对提高教育教学质量、提高学生的数学能力都有着积极的促进作用。

6、几何画板设计课件的技巧

几何画板是一个适用于几何教学的软件。

它为教师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。

它操作简单无需编程，只要用鼠标点取工具栏和菜单，借助几何关系，就能描述各种数学模型。

动态感强是它的最大的特色，通过把抽象的几何图形形象化，可以突破传统教学中的难点。

但事物总是具有两面性的，当然几何画板也存在一些缺点：

（1） 

它不具备时下流行的软件在文字处理、交互响应等方面的功能；

（2） 

生成的*.gsp文件不能完美地嵌入其他软件中，在Authorware 

、powerpoint中插入几何画板的文件，展示过程中两软件过渡的方式非常生硬；

（3） 

几何画板的课件是封闭的。

多个*.gsp文件无法合并，文件中所含的按钮无法生成记录。

这就决定用几何画板开发课件的过程是相对连贯的，无法由多人分块完成。

如何扬长避短，充分发挥几何画板动态感强这一特色，制作出图文并茂、朴素大方而又不失活泼的课件。

本人就自己在课件制作中的一些体会，浅谈几何画板设计课件的技巧。

（1）、认真分析教材，精心构思。

课件的设计不能拘泥于课本，否则就是一本电子书。

多媒体的其中一个教学功能是表现力强，可以利用几何画板突破时空的局限，将课本的传统和几何画板的现代有机的结合起来。

例如《正弦函数、余弦函数的图像和性质》这节课中的画正弦图像，课本是对单位圆进行十二等分，然后平移正弦线，用光滑曲线把正弦线的终点连结起来的。

设计课件时则不必拘泥于此，利用几何画板的动画可以画出0到2π间任意角的正弦线，因此可以动态地显示精确的正弦函数图像如图。

（2）、养成良好的设计风格。

当课件内容比较多时，需要设计的按钮也随之增多，很容易混淆。

及时修改按钮的名称、颜色并按一定顺序排列显得非常重要。

隐藏命令的使用应当谨慎。

对于隐藏对象的重新显示，几何画板中的“显示所有隐藏对象”和“对象信息工具”这两个功能用起来都不是很方便。

建议给显示区域加上边框，初步制定的表达式、按钮按一定的顺序移至显示框的外面。

这样便于修改，也可以在此基础上重新开发更新更好的课件。

（3）、注意按钮的运用。

“移动”、“隐藏－显示”两个按钮控制的动作具有不可逆性。

为了使课件能重复使用，设计过程中应考虑对象移动或显示后的恢复。

建议“移动”和“隐藏－显示”按钮都要成对出现，前后遥相呼应。

“动画”按钮是有方向的。

如，若线段AB是按点B、点A的顺序连接而成，则点C沿着线段AB作动画的方向是从B点到A点。

“移动”和“动画”按钮存在一些差别。

设置为移动的对象终点是固定的，移动的过程不受外界影响。

设置为“动画”的对象其属性有三种：

双向、单向、一次。

其中设置为动画一次的对象，它的起点就是它的终点。

鼠标点击可以中断动画。

在设计过程中视具体情况选择“移动”和“动画”按钮。

设计图象平移时选择“移动”按钮较好。

“系列”按钮是把多个按钮按先后顺序简单的组合在一起，其父母按钮修改以后，系列无法得到更新。

故建议在课件设计后期，通过反复调试后再设置“系列”按钮。

在设计过程中充分利用几何动画和按钮可以实现丰富多彩的文字过渡方式，及简单的交互。

三、关于课整合的几点思考

经过一年的实验工作，这里有实验开始的艰苦，有成功后的喜悦。

也遇到一些具体问题，常常考虑如何将计算机技术与数学教学整合的工作做的更好。

1、优势互补

（1）计算机技术与教师的作用要优势互补。

（2）计算机辅助教学和传统教学要优势互补。

目前有一种是过分夸大计算机技术与计算机辅助教学的作用的倾向，认为计算机辅助教学就要完全离开传统的教学方法，应该与粉笔与黑板再见，整节课不顾学生的素质，完全采用多媒体技术。

从上课的第一分钟直到下课，教师除了讲解，就是点击鼠标。

认为只有这样才能解决教学中的重、难点，开拓学生的视野，开发学生的思维，体现现代教育的优势。

也有人认为数学教学是训练人的抽象思维和逻辑思维能力的，是训练人的计算能力的，计算机的引入不利于抽象思维和逻辑思维能力的培养，各种计算软件的使用更能降低学生的计算能力。

所以计算机技术引入数学课堂教学是一定的负面的影响。

从理论和实验结果来看，两种意见都有一定的道理，但也有片面性,应优势互补。

一方面教育需要技术，技术需要教师，现代技术与传统教学要来个优势互补。

对具体问题作具体的分析、具体处理。

我们的实践表明，使用同样的软件，产生不同的效果，这里从一个侧面反映了教师的数学修养、教学经验、教育理论水平起重要的作用。

同时教师在课堂上的讲解、作图，本身就是对学生的一个示范，必要的计算训练也是不可少的。

计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段。

在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别它的表述的方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。

在计算机引入数学课之后，计算机手段与传统教学完美的结合显得十分重要。

计算机作为辅助工具是为教学服务的，课堂上该用的时候就用，不该用是时候一定不要勉强使用，好比我们上立体几何课时用的模型，该用的时候拿起来，不用的时候放下来。

传统教学的优势应该保留，如教师的示范作用、教师与学生之间的及时交流，教师课堂组织能力等等。

2、抓好《几何画板》与高中数学整合的契机——动态图象

对计算机辅助教学一般理解是：

运用现代多媒体技术，从多方面、多角度来解决教学中的重、难点，开拓学生的视野，开发学生的思维。

从多年工作的情况来看，目前多媒体技术用于教学中主要的是“视、听”，这对高中数学的辅助作用远远低于其它学科。

中心主持的“整合实验”指出了一条现代技术辅助学科教学新的、更宽广的道路。

实验着重“整合”而不是“辅助”。

我个人对“整合”的理解是：

先进的计算机技术与学科教学有机的结合在一起，充分发挥技术的优势和作用，提高教学效率、突破重点难点，甚至在技术的支持下改革现有的教学方法、教学模式、教学内容和教学观念，把各种技术手段完美地适当地融合到课程中——就象在教学中使用黑板和粉笔一样自然、流畅。

（1）、结合《几何画板》的特点，分析教材，选定契机

要达到“课程整合”的目的，将计算机技术融合到数学教学中，成为教学的有机组成部分，这样要求教师不仅要熟练掌握技术手段，了解计算机进入数学教学的优势和局限性，更重要的是要深刻了解教育的本质，了解本学科教学的教学目的，了解教学中的重、难点所在，了解传统教学的优点和局限性，了解所授课班级的学生综合素